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1.如图所示，观察下列银行标志，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确两种对称图形的判定规则：①轴对称图形：沿某一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合；②中心对称图形：绕图形的中心旋转180°后，能与原图形完全重合。接下来我们逐个判断四个标志是否同时满足两个条件，统计符合要求的数量即可得到答案。
【解析】
我们对四个标志依次判断：
1. 第一个标志：绕中心旋转180°后能与自身重合，是中心对称图形，但找不到一条直线使它对折后两侧完全重合，不是轴对称图形，不符合要求；
2. 第二个标志：沿过中心的竖直线、水平线对折都能重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后也能和自身重合，是中心对称图形，符合要求；
3. 第三个标志：沿过中心的竖直线、水平线对折都能重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后也能和自身重合，是中心对称图形，符合要求；
4. 第四个标志：存在多条过中心的直线使它对折后重合，是轴对称图形，但绕中心旋转180°后，中间图案会倒置，无法与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求。
综上，共有2个图形同时满足两个条件，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形识别、中心对称图形识别
【点评】
本题是对称性判定的基础题型，解题核心是准确掌握两种对称图形的定义，逐一验证图形即可，注意判断中心对称时要确保图形旋转180°后完全和原图形一致，避免因细节判断失误失分。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确两种对称图形的判定规则：①轴对称图形：沿某一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合；②中心对称图形：绕图形的中心旋转180°后，能与原图形完全重合。接下来我们逐个判断四个标志是否同时满足两个条件，统计符合要求的数量即可得到答案。
【解析】
我们对四个标志依次判断：
1. 第一个标志：绕中心旋转180°后能与自身重合，是中心对称图形，但找不到一条直线使它对折后两侧完全重合，不是轴对称图形，不符合要求；
2. 第二个标志：沿过中心的竖直线、水平线对折都能重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后也能和自身重合，是中心对称图形，符合要求；
3. 第三个标志：沿过中心的竖直线、水平线对折都能重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后也能和自身重合，是中心对称图形，符合要求；
4. 第四个标志：存在多条过中心的直线使它对折后重合，是轴对称图形，但绕中心旋转180°后，中间图案会倒置，无法与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求。
综上，共有2个图形同时满足两个条件，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形识别、中心对称图形识别
【点评】
本题是对称性判定的基础题型，解题核心是准确掌握两种对称图形的定义，逐一验证图形即可，注意判断中心对称时要确保图形旋转180°后完全和原图形一致，避免因细节判断失误失分。
【难度系数】
0.7
2.如果多项式$4a^2-(6-c)^2=M(2a-6+c)$，则M表示的多项式应为(
A.$2a-6+c$
B.$2a-6-c$
C.$2a+6+c$
D.$2a+6-c$
D
)A.$2a-6+c$
B.$2a-6-c$
C.$2a+6+c$
D.$2a+6-c$
答案
2.D
解析
【分析】
观察等式左边的多项式，是两个整式的平方作差的形式，符合平方差公式的结构特征，因此我们可以先利用平方差公式对左边的多项式进行因式分解，再将分解得到的因式与等式右边的已知因式对比，即可求出M表示的多项式。解题时要注意去括号时的符号变化，避免出现符号错误。
【解析】
解：等式左边的多项式$4a^2-(6-c)^2$可变形为$(2a)^2 - (6 - c)^2$，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的结构，其中$a=2a$，$b=6 - c$。
根据平方差公式分解得：
$\begin{aligned}4a^2-(6-c)^2&=(2a + (6 - c))(2a - (6 - c))\\&=(2a + 6 - c)(2a - 6 + c)\end{aligned}$
已知$4a^2-(6-c)^2=M(2a-6+c)$，对比分解结果可得$M=2a + 6 - c$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，因式分解，整式化简
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查平方差公式的应用，解题的关键是准确识别平方差公式的结构，分解因式时注意去括号的符号规则，避免因符号混淆选错答案。
【难度系数】
0.7
观察等式左边的多项式，是两个整式的平方作差的形式，符合平方差公式的结构特征，因此我们可以先利用平方差公式对左边的多项式进行因式分解，再将分解得到的因式与等式右边的已知因式对比，即可求出M表示的多项式。解题时要注意去括号时的符号变化，避免出现符号错误。
【解析】
解：等式左边的多项式$4a^2-(6-c)^2$可变形为$(2a)^2 - (6 - c)^2$，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的结构，其中$a=2a$，$b=6 - c$。
根据平方差公式分解得：
$\begin{aligned}4a^2-(6-c)^2&=(2a + (6 - c))(2a - (6 - c))\\&=(2a + 6 - c)(2a - 6 + c)\end{aligned}$
已知$4a^2-(6-c)^2=M(2a-6+c)$，对比分解结果可得$M=2a + 6 - c$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，因式分解，整式化简
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查平方差公式的应用，解题的关键是准确识别平方差公式的结构，分解因式时注意去括号的符号规则，避免因符号混淆选错答案。
【难度系数】
0.7
3.要使分式$\frac{x^2 -9}{x-3}$的值为0，那么x的值是（
A.－3
B.3
C.±3
D.0
A
）A.－3
B.3
C.±3
D.0
答案
3.A
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，需牢记分式值为0必须同时满足两个条件：一是分子的值为0，二是分母的值不能为0（分母为0时分式无意义）。解题时先求出使分子为0的x的所有可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是正确结果。
【解析】
若分式$\frac{x^2 -9}{x-3}$的值为0，需同时满足：
1. 分子等于0：$x^2 -9=0$，解得$x^2=9$，即$x=3$或$x=-3$；
2. 分母不等于0：$x-3≠0$，即$x≠3$。
综合两个条件，排除$x=3$，故$x=-3$。
【答案】
A
【知识点】
分式值为零的条件、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的常考基础题，易错点是仅考虑分子为0的情况，忽略分母不能为0的要求，从而误选C，解题时需注意两个条件必须同时成立。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，需牢记分式值为0必须同时满足两个条件：一是分子的值为0，二是分母的值不能为0（分母为0时分式无意义）。解题时先求出使分子为0的x的所有可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是正确结果。
【解析】
若分式$\frac{x^2 -9}{x-3}$的值为0，需同时满足：
1. 分子等于0：$x^2 -9=0$，解得$x^2=9$，即$x=3$或$x=-3$；
2. 分母不等于0：$x-3≠0$，即$x≠3$。
综合两个条件，排除$x=3$，故$x=-3$。
【答案】
A
【知识点】
分式值为零的条件、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的常考基础题，易错点是仅考虑分子为0的情况，忽略分母不能为0的要求，从而误选C，解题时需注意两个条件必须同时成立。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 因式分解：$27x^2 - 3y^2 =$
4. 因式分解：$27x^2 - 3y^2 =$
3(3x+y)(3x−y)
。答案
4. 3(3x+y)(3x−y)
解析
【分析】
解这道因式分解题需遵循因式分解的常规思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，若有则优先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构，若符合则套用公式继续分解，直到每个因式都不能再分解为止。本题可先找出两项的公因式，再判断剩余部分的结构即可完成分解。
【解析】
1. 提取公因式：多项式$27x^2 - 3y^2$的各项公因式为3，提取公因式可得：
$27x^2 - 3y^2 = 3(9x^2 - y^2)$
2. 套用平方差公式分解：观察剩余部分$9x^2 - y^2$，可变形为$(3x)^2 - y^2$，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的结构，其中$a=3x$，$b=y$，因此：
$9x^2 - y^2=(3x+y)(3x-y)$
3. 整理结果，确认所有因式均无法再分解，得到最终结果。
【答案】
$3(3x+y)(3x-y)$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础操作，解题时要注意遵循“先提公因式、再用公式”的顺序，最后要验证分解结果是否彻底，避免出现提取公因式后未继续分解的错误。
【难度系数】
0.8
解这道因式分解题需遵循因式分解的常规思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，若有则优先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构，若符合则套用公式继续分解，直到每个因式都不能再分解为止。本题可先找出两项的公因式，再判断剩余部分的结构即可完成分解。
【解析】
1. 提取公因式：多项式$27x^2 - 3y^2$的各项公因式为3，提取公因式可得：
$27x^2 - 3y^2 = 3(9x^2 - y^2)$
2. 套用平方差公式分解：观察剩余部分$9x^2 - y^2$，可变形为$(3x)^2 - y^2$，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的结构，其中$a=3x$，$b=y$，因此：
$9x^2 - y^2=(3x+y)(3x-y)$
3. 整理结果，确认所有因式均无法再分解，得到最终结果。
【答案】
$3(3x+y)(3x-y)$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础操作，解题时要注意遵循“先提公因式、再用公式”的顺序，最后要验证分解结果是否彻底，避免出现提取公因式后未继续分解的错误。
【难度系数】
0.8
5. 如果点$P(x,y)$关于原点的对称点为$(-2,3)$，则$x+y=$
-1
。答案
5. -1
解析
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律：两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们已知点P关于原点的对称点坐标，可先求出x、y的取值，再代入计算x+y的结果即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：若两点关于原点对称，则两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知点P(x,y)关于原点的对称点为(-2,3)，因此：
$x=-(-2)=2$，
$y=-3$，
代入计算得$x+y=2+(-3)=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
原点对称的坐标特征；有理数加法运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查点关于原点对称的坐标性质，掌握对称点的坐标变化规律是解题的核心，题目计算量小，熟练掌握知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律：两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们已知点P关于原点的对称点坐标，可先求出x、y的取值，再代入计算x+y的结果即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：若两点关于原点对称，则两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知点P(x,y)关于原点的对称点为(-2,3)，因此：
$x=-(-2)=2$，
$y=-3$，
代入计算得$x+y=2+(-3)=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
原点对称的坐标特征；有理数加法运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查点关于原点对称的坐标性质，掌握对称点的坐标变化规律是解题的核心，题目计算量小，熟练掌握知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9
6.如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=
15°
。答案
6. 15°
解析
【分析】
解题时先从已知的等边三角形入手，首先利用等边三角形内角为60°的性质，求出∠ACB的邻补角∠ACD的度数；再根据CG=CD判定△CGD为等腰三角形，结合三角形内角和定理求出底角∠CDG的度数；最后根据DF=DE判定△DEF为等腰三角形，结合三角形外角等于不相邻两内角和的性质，即可推导出∠E的度数。
【解析】
解：
1.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°。
2.
∵CG=CD，
∴△CGD是等腰三角形，∠CGD=∠CDG，
根据三角形内角和为180°，得：
∠CDG=(180°-∠ACD)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
3.
∵DF=DE，
∴△DEF是等腰三角形，∠E=∠DFE，
又
∵∠CDG是△DEF的外角，根据三角形外角性质：
∠CDG=∠E+∠DFE=2∠E，
∴∠E=∠CDG÷2=30°÷2=15°。
【答案】
15°
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合基础题，解题的关键是灵活运用等边三角形、等腰三角形的性质以及三角形外角定理，逐步推导角度关系即可求解，是几何角度计算的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等边三角形入手，首先利用等边三角形内角为60°的性质，求出∠ACB的邻补角∠ACD的度数；再根据CG=CD判定△CGD为等腰三角形，结合三角形内角和定理求出底角∠CDG的度数；最后根据DF=DE判定△DEF为等腰三角形，结合三角形外角等于不相邻两内角和的性质，即可推导出∠E的度数。
【解析】
解：
1.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°。
2.
∵CG=CD，
∴△CGD是等腰三角形，∠CGD=∠CDG，
根据三角形内角和为180°，得：
∠CDG=(180°-∠ACD)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
3.
∵DF=DE，
∴△DEF是等腰三角形，∠E=∠DFE，
又
∵∠CDG是△DEF的外角，根据三角形外角性质：
∠CDG=∠E+∠DFE=2∠E，
∴∠E=∠CDG÷2=30°÷2=15°。
【答案】
15°
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合基础题，解题的关键是灵活运用等边三角形、等腰三角形的性质以及三角形外角定理，逐步推导角度关系即可求解，是几何角度计算的常见题型。
【难度系数】
0.7
7.不等式组$\begin{cases}\dfrac{x+1}{2} ≤ 1, \\ 1-2x ＜ 4\end{cases}$的正整数解是 ______ 。
答案
7. 1
解析
【分析】
求解本题需分三步：第一步分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集；第二步取两个解集的公共部分，得到不等式组的总解集；第三步在总解集范围内筛选出符合要求的正整数即可。需要注意：解不等式时，若两边同时除以负数，不等号方向要发生改变。
【解析】
1. 解不等式$\dfrac{x+1}{2} ≤ 1$：
不等式两边同时乘2，得$x+1 ≤ 2$，
移项化简得$x ≤ 1$。
2. 解不等式$1-2x ＜ 4$：
移项得$-2x ＜ 4-1$，即$-2x ＜ 3$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ＞ -\dfrac{3}{2}$。
3. 取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为$-\dfrac{3}{2} ＜ x ≤ 1$。
4. 在该解集内的正整数只有1。
【答案】
1
【知识点】
一元一次不等式组的解法、不等式的性质、不等式整数解求解
【点评】
本题属于不等式组的基础考查题，核心检验解一元一次不等式的规范操作，易错点为解第二个不等式时系数化为1忘记改变不等号方向，或是忽略“正整数”的限定条件误将0计入结果。
【难度系数】
0.8
求解本题需分三步：第一步分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集；第二步取两个解集的公共部分，得到不等式组的总解集；第三步在总解集范围内筛选出符合要求的正整数即可。需要注意：解不等式时，若两边同时除以负数，不等号方向要发生改变。
【解析】
1. 解不等式$\dfrac{x+1}{2} ≤ 1$：
不等式两边同时乘2，得$x+1 ≤ 2$，
移项化简得$x ≤ 1$。
2. 解不等式$1-2x ＜ 4$：
移项得$-2x ＜ 4-1$，即$-2x ＜ 3$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ＞ -\dfrac{3}{2}$。
3. 取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为$-\dfrac{3}{2} ＜ x ≤ 1$。
4. 在该解集内的正整数只有1。
【答案】
1
【知识点】
一元一次不等式组的解法、不等式的性质、不等式整数解求解
【点评】
本题属于不等式组的基础考查题，核心检验解一元一次不等式的规范操作，易错点为解第二个不等式时系数化为1忘记改变不等号方向，或是忽略“正整数”的限定条件误将0计入结果。
【难度系数】
0.8
8.当m
=1
时，关于x的方程$\frac{1}{3 - x}=2+\frac{m - 2}{x - 3}$有增根。答案
8. =1
解析
【分析】
要解决分式方程有增根求参数的问题，首先需明确增根的性质：增根是使原分式方程分母为0的未知数的值，同时也是分式方程去分母后得到的整式方程的根。解题时先找令原方程分母为0的x的值确定增根，再将分式方程转化为整式方程，最后把增根代入整式方程即可求出参数m的值。
【解析】
步骤1：确定增根的可能值
原方程的分母为$3-x$和$x-3$，令分母为0，可得$3-x=0$即$x=3$，因此该方程的增根只能是$x=3$。
步骤2：将分式方程化为整式方程
先将原方程变形为：$\frac{-1}{x-3}=2+\frac{m-2}{x-3}$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-3)$，去分母得：
$-1=2(x-3)+m-2$
步骤3：代入增根求m
因为增根$x=3$是上述整式方程的根，将$x=3$代入整式方程：
左边$=-1$，右边$=2×(3-3)+m-2=m-2$
因此有：$-1=m-2$，解得$m=1$
【答案】
=1
【知识点】
1. 分式方程增根的概念
2. 分式方程去分母法则
【点评】
本题是分式方程增根相关的典型题型，解题的核心是掌握增根的两个特征，计算去分母后的整式方程时要注意符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.6
要解决分式方程有增根求参数的问题，首先需明确增根的性质：增根是使原分式方程分母为0的未知数的值，同时也是分式方程去分母后得到的整式方程的根。解题时先找令原方程分母为0的x的值确定增根，再将分式方程转化为整式方程，最后把增根代入整式方程即可求出参数m的值。
【解析】
步骤1：确定增根的可能值
原方程的分母为$3-x$和$x-3$，令分母为0，可得$3-x=0$即$x=3$，因此该方程的增根只能是$x=3$。
步骤2：将分式方程化为整式方程
先将原方程变形为：$\frac{-1}{x-3}=2+\frac{m-2}{x-3}$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-3)$，去分母得：
$-1=2(x-3)+m-2$
步骤3：代入增根求m
因为增根$x=3$是上述整式方程的根，将$x=3$代入整式方程：
左边$=-1$，右边$=2×(3-3)+m-2=m-2$
因此有：$-1=m-2$，解得$m=1$
【答案】
=1
【知识点】
1. 分式方程增根的概念
2. 分式方程去分母法则
【点评】
本题是分式方程增根相关的典型题型，解题的核心是掌握增根的两个特征，计算去分母后的整式方程时要注意符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.6
三、计算题
9. 求满足不等式组$\begin{cases}2x+5＞1, \\3x-8≤10\end{cases}$的整数解。
9. 求满足不等式组$\begin{cases}2x+5＞1, \\3x-8≤10\end{cases}$的整数解。
答案
9. 解:由①得$x＞-2$,由②得$x≤6$,$\therefore$不等式组的解是$-2＜x≤6$。$\therefore$满足不等式组的整数解为$-1,0,1,2,3,4,5,6$。
解析
【分析】
解题遵循解一元一次不等式组的常规思路：第一步分别求解两个一元一次不等式，得到各自的解集；第二步根据解集确定规则找到两个解集的公共部分，即为不等式组的总解集；第三步在总解集范围内找出所有整数，即为所求的整数解。解不等式时注意本题未知数系数均为正数，不等号方向无需改变，确定整数解时要留意边界值是否包含在内。
【解析】
记不等式组为$\begin{cases}2x+5＞1 \ \ \ \ \ \ ①\\3x-8≤10 \ \ \ \ ②\end{cases}$
解不等式①：
移项得$2x＞1-5$，即$2x＞-4$，
两边同时除以2，得$x＞-2$。
解不等式②：
移项得$3x≤10+8$，即$3x≤18$，
两边同时除以3，得$x≤6$。
因此不等式组的解集为$-2＜x≤6$，
在该解集范围内的整数为$-1,0,1,2,3,4,5,6$。
【答案】
满足不等式组的整数解为$-1,0,1,2,3,4,5,6$
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式组解集确定
3. 整数解求解
【点评】
本题是不等式组的基础常考题，核心考查解不等式的基本操作和不等式组解集、整数解的确定能力，解题时需注意边界值的取舍，避免漏算符合条件的端点整数或多算范围外的数值。
【难度系数】
0.85
解题遵循解一元一次不等式组的常规思路：第一步分别求解两个一元一次不等式，得到各自的解集；第二步根据解集确定规则找到两个解集的公共部分，即为不等式组的总解集；第三步在总解集范围内找出所有整数，即为所求的整数解。解不等式时注意本题未知数系数均为正数，不等号方向无需改变，确定整数解时要留意边界值是否包含在内。
【解析】
记不等式组为$\begin{cases}2x+5＞1 \ \ \ \ \ \ ①\\3x-8≤10 \ \ \ \ ②\end{cases}$
解不等式①：
移项得$2x＞1-5$，即$2x＞-4$，
两边同时除以2，得$x＞-2$。
解不等式②：
移项得$3x≤10+8$，即$3x≤18$，
两边同时除以3，得$x≤6$。
因此不等式组的解集为$-2＜x≤6$，
在该解集范围内的整数为$-1,0,1,2,3,4,5,6$。
【答案】
满足不等式组的整数解为$-1,0,1,2,3,4,5,6$
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式组解集确定
3. 整数解求解
【点评】
本题是不等式组的基础常考题，核心考查解不等式的基本操作和不等式组解集、整数解的确定能力，解题时需注意边界值的取舍，避免漏算符合条件的端点整数或多算范围外的数值。
【难度系数】
0.85
