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四、解答题
10.如图所示，在$△ ABC$中，已知$AD\bot BC$，$∠ B=64°$，$∠ C=56°$。
(1)求$∠ BAD$和$∠ DAC$的度数；
(2)若$DE$平分$∠ ADB$，求$∠ AED$的度数。
10.如图所示，在$△ ABC$中，已知$AD\bot BC$，$∠ B=64°$，$∠ C=56°$。
(1)求$∠ BAD$和$∠ DAC$的度数；
(2)若$DE$平分$∠ ADB$，求$∠ AED$的度数。
答案
解：
(1) 因为$AD⊥ BC$，所以$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD + ∠ B = 90°$，
已知$∠ B=64°$，因此$∠ BAD=90° - 64°=26°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ DAC + ∠ C = 90°$，
已知$∠ C=56°$，因此$∠ DAC=90° - 56°=34°$。
(2) 因为$DE$平分$∠ ADB$，且$∠ ADB=90°$，
所以$∠ EDB=\frac{1}{2}∠ ADB=45°$。
因为$∠ AED$是$△ BDE$的外角，
所以$∠ AED=∠ B + ∠ EDB=64° + 45°=109°$。
综上，$∠ BAD=26°$，$∠ DAC=34°$，$∠ AED=109°$。
(1) 因为$AD⊥ BC$，所以$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD + ∠ B = 90°$，
已知$∠ B=64°$，因此$∠ BAD=90° - 64°=26°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ DAC + ∠ C = 90°$，
已知$∠ C=56°$，因此$∠ DAC=90° - 56°=34°$。
(2) 因为$DE$平分$∠ ADB$，且$∠ ADB=90°$，
所以$∠ EDB=\frac{1}{2}∠ ADB=45°$。
因为$∠ AED$是$△ BDE$的外角，
所以$∠ AED=∠ B + ∠ EDB=64° + 45°=109°$。
综上，$∠ BAD=26°$，$∠ DAC=34°$，$∠ AED=109°$。
解析
【分析】
(1)求解∠BAD和∠DAC时，先根据AD⊥BC确定△ABD和△ADC均为直角三角形，利用直角三角形两个锐角互余的性质，用90°分别减去已知的∠B、∠C的度数，就能得到对应所求角的度数。
(2)求解∠AED时，先根据角平分线的定义，由DE平分直角∠ADB算出∠EDB的度数，再利用三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，将∠B与∠EDB相加即可得到结果。
【解析】
(1) 因为$AD⊥ BC$，所以$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD + ∠ B = 90°$，
已知$∠ B=64°$，因此$∠ BAD=90° - 64°=26°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ DAC + ∠ C = 90°$，
已知$∠ C=56°$，因此$∠ DAC=90° - 56°=34°$。
(2) 因为$DE$平分$∠ ADB$，且$∠ ADB=90°$，
所以$∠ EDB=\frac{1}{2}∠ ADB=45°$。
因为$∠ AED$是$△ BDE$的外角，
所以$∠ AED=∠ B + ∠ EDB=64° + 45°=109°$。
【答案】
$∠ BAD=26°$，$∠ DAC=34°$，$∠ AED=109°$
【知识点】
直角三角形锐角互余；角平分线定义；三角形外角性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础常规题，综合考查了直角三角形的性质、角平分线定义和三角形外角的性质，解题时只需理清图中角的数量关系，代入数值计算即可，解题逻辑清晰直接。
【难度系数】
0.8
(1)求解∠BAD和∠DAC时，先根据AD⊥BC确定△ABD和△ADC均为直角三角形，利用直角三角形两个锐角互余的性质，用90°分别减去已知的∠B、∠C的度数，就能得到对应所求角的度数。
(2)求解∠AED时，先根据角平分线的定义，由DE平分直角∠ADB算出∠EDB的度数，再利用三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，将∠B与∠EDB相加即可得到结果。
【解析】
(1) 因为$AD⊥ BC$，所以$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD + ∠ B = 90°$，
已知$∠ B=64°$，因此$∠ BAD=90° - 64°=26°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ DAC + ∠ C = 90°$，
已知$∠ C=56°$，因此$∠ DAC=90° - 56°=34°$。
(2) 因为$DE$平分$∠ ADB$，且$∠ ADB=90°$，
所以$∠ EDB=\frac{1}{2}∠ ADB=45°$。
因为$∠ AED$是$△ BDE$的外角，
所以$∠ AED=∠ B + ∠ EDB=64° + 45°=109°$。
【答案】
$∠ BAD=26°$，$∠ DAC=34°$，$∠ AED=109°$
【知识点】
直角三角形锐角互余；角平分线定义；三角形外角性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础常规题，综合考查了直角三角形的性质、角平分线定义和三角形外角的性质，解题时只需理清图中角的数量关系，代入数值计算即可，解题逻辑清晰直接。
【难度系数】
0.8
11.为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元。
(1)若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，则购进A、B两种树苗各多少棵？
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用。
(1)若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，则购进A、B两种树苗各多少棵？
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用。
答案
11. 解:(1)设购进A种树苗$x$棵,则购进B种树苗$(17-x)$棵。
根据题意得$80x+60(17-x)=1\ 220$,解得$x=10$。
$17-x=7$。 答:购进A种树苗10棵,B种树苗7棵。
(2)设购进A种树苗$x$棵,则购进B种树苗$(17-x)$棵。 根据题意得$17-x＜x$,解得$x＞8\dfrac{1}{2}$。
购进A、B两种树苗所需费用为$80x+60(17-x)=20x+1\ 020$,则费用最省需$x$取最小整数9,此时$17-x=8$,这时所需费用为$20×9+1\ 020=1\ 200$(元)。
根据题意得$80x+60(17-x)=1\ 220$,解得$x=10$。
$17-x=7$。 答:购进A种树苗10棵,B种树苗7棵。
(2)设购进A种树苗$x$棵,则购进B种树苗$(17-x)$棵。 根据题意得$17-x＜x$,解得$x＞8\dfrac{1}{2}$。
购进A、B两种树苗所需费用为$80x+60(17-x)=20x+1\ 020$,则费用最省需$x$取最小整数9,此时$17-x=8$,这时所需费用为$20×9+1\ 020=1\ 200$(元)。
解析
【分析】
(1) 第一问是一元一次方程实际应用问题，解题思路为：先设购进A种树苗的数量为未知数，结合总购进量17棵表示出B种树苗的数量，再根据“总费用=A种树苗总花费+B种树苗总花费”的等量关系列方程，求解即可得到两种树苗的购进数量。
(2) 第二问是最优方案问题，首先根据“B种树苗数量少于A种树苗数量”的限制条件列不等式，求出A种树苗数量的取值范围；由于A种树苗单价比B种树苗高，要使总费用最少，需尽可能减少A种树苗的采购量，因此取取值范围内A种树苗的最小正整数值，代入总费用公式计算即可得到最省费用。
【解析】
(1) 设购进A种树苗$x$棵，则购进B种树苗$(17-x)$棵。
根据总费用为1220元列方程：
$80x + 60(17 - x) = 1220$
展开计算得：$80x + 1020 - 60x = 1220$
合并同类项得：$20x = 200$
解得：$x = 10$
则B种树苗的数量为$17 - 10 = 7$（棵）。
(2) 设购进A种树苗$x$棵，则购进B种树苗$(17-x)$棵。
根据B种树苗数量少于A种树苗数量，列不等式：
$17 - x ＜ x$
移项计算得：$2x ＞ 17$，解得$x ＞ 8\frac{1}{2}$。
总费用$= 80x + 60(17 - x) = 20x + 1020$，因A树苗单价更高，要费用最省需$x$取满足条件的最小整数9，此时B种树苗数量为$17 - 9 = 8$（棵），代入总费用公式得：
$20×9 + 1020 = 1200$（元）。
【答案】
(1) 购进A种树苗10棵，B种树苗7棵；
(2) 费用最省的方案为购进A种树苗9棵、B种树苗8棵，所需费用为1200元。
【知识点】
一元一次方程应用，一元一次不等式应用，最优方案选择
【点评】
本题结合生活场景出题，既考查了用方程解决实际问题的能力，也考查了结合限制条件筛选最优方案的逻辑，解题时要注意树苗数量为正整数的隐含条件，避免取值错误。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问是一元一次方程实际应用问题，解题思路为：先设购进A种树苗的数量为未知数，结合总购进量17棵表示出B种树苗的数量，再根据“总费用=A种树苗总花费+B种树苗总花费”的等量关系列方程，求解即可得到两种树苗的购进数量。
(2) 第二问是最优方案问题，首先根据“B种树苗数量少于A种树苗数量”的限制条件列不等式，求出A种树苗数量的取值范围；由于A种树苗单价比B种树苗高，要使总费用最少，需尽可能减少A种树苗的采购量，因此取取值范围内A种树苗的最小正整数值，代入总费用公式计算即可得到最省费用。
【解析】
(1) 设购进A种树苗$x$棵，则购进B种树苗$(17-x)$棵。
根据总费用为1220元列方程：
$80x + 60(17 - x) = 1220$
展开计算得：$80x + 1020 - 60x = 1220$
合并同类项得：$20x = 200$
解得：$x = 10$
则B种树苗的数量为$17 - 10 = 7$（棵）。
(2) 设购进A种树苗$x$棵，则购进B种树苗$(17-x)$棵。
根据B种树苗数量少于A种树苗数量，列不等式：
$17 - x ＜ x$
移项计算得：$2x ＞ 17$，解得$x ＞ 8\frac{1}{2}$。
总费用$= 80x + 60(17 - x) = 20x + 1020$，因A树苗单价更高，要费用最省需$x$取满足条件的最小整数9，此时B种树苗数量为$17 - 9 = 8$（棵），代入总费用公式得：
$20×9 + 1020 = 1200$（元）。
【答案】
(1) 购进A种树苗10棵，B种树苗7棵；
(2) 费用最省的方案为购进A种树苗9棵、B种树苗8棵，所需费用为1200元。
【知识点】
一元一次方程应用，一元一次不等式应用，最优方案选择
【点评】
本题结合生活场景出题，既考查了用方程解决实际问题的能力，也考查了结合限制条件筛选最优方案的逻辑，解题时要注意树苗数量为正整数的隐含条件，避免取值错误。
【难度系数】
0.7
