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一、填空题
1.化简：$(1-\dfrac{1}{a+1})÷ a=$
1.化简：$(1-\dfrac{1}{a+1})÷ a=$
$\frac{1}{a+1}$
。答案
1.$\frac{1}{a+1}$
解析
【分析】
本题属于分式混合运算化简题，解题时遵循分式运算顺序，先计算括号内的减法，再计算括号外的除法。第一步处理括号内的异分母分式减法：先将整数1通分为分母为a+1的分式，再按同分母分式减法法则计算；第二步将分式除法转化为乘法运算，最后通过约分得到最简结果即可。
【解析】
解：先计算括号内的减法：
$1-\dfrac{1}{a+1} = \dfrac{a+1}{a+1} - \dfrac{1}{a+1} = \dfrac{a+1-1}{a+1} = \dfrac{a}{a+1}$
再计算除法，除以一个数等于乘这个数的倒数：
$(1-\dfrac{1}{a+1})÷ a = \dfrac{a}{a+1} × \dfrac{1}{a}$
约去分子分母的公因式a，得：
$\dfrac{a}{a+1} × \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{a+1}$
【答案】
$\dfrac{1}{a+1}$
【知识点】
1.分式混合运算 2.异分母分式加减法 3.分式除法法则
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查分式运算的顺序和通分、约分、除法转乘法的基本运算规则，计算时需注意先处理括号内的运算，转化为乘法后再约分，细心计算即可正确作答。
【难度系数】
0.8
本题属于分式混合运算化简题，解题时遵循分式运算顺序，先计算括号内的减法，再计算括号外的除法。第一步处理括号内的异分母分式减法：先将整数1通分为分母为a+1的分式，再按同分母分式减法法则计算；第二步将分式除法转化为乘法运算，最后通过约分得到最简结果即可。
【解析】
解：先计算括号内的减法：
$1-\dfrac{1}{a+1} = \dfrac{a+1}{a+1} - \dfrac{1}{a+1} = \dfrac{a+1-1}{a+1} = \dfrac{a}{a+1}$
再计算除法，除以一个数等于乘这个数的倒数：
$(1-\dfrac{1}{a+1})÷ a = \dfrac{a}{a+1} × \dfrac{1}{a}$
约去分子分母的公因式a，得：
$\dfrac{a}{a+1} × \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{a+1}$
【答案】
$\dfrac{1}{a+1}$
【知识点】
1.分式混合运算 2.异分母分式加减法 3.分式除法法则
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查分式运算的顺序和通分、约分、除法转乘法的基本运算规则，计算时需注意先处理括号内的运算，转化为乘法后再约分，细心计算即可正确作答。
【难度系数】
0.8
2.若分式$\frac{3 - |x|}{x^2 - 2x - 3}$的值是0，则x的值是
$-3$
。答案
2.$-3$
解析
【分析】要解决分式值为0的问题，首先需明确分式值为0的两个必要条件：一是分子的值为0，二是分母的值不能为0（保证分式有意义），二者缺一不可。解题时先通过分子为0求出x的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是正确结果。
【解析】若分式$\frac{3 - |x|}{x^2 - 2x - 3}$的值为0，需同时满足两个条件：
1. 分子为0：$3 - |x| = 0$
移项得$|x| = 3$，解得$x = 3$或$x = -3$
2. 分母不为0：$x^2 - 2x - 3 ≠ 0$
对分母因式分解得：$(x - 3)(x + 1) ≠ 0$
即$x ≠ 3$且$x ≠ -1$
结合两个条件，排除$x = 3$，因此$x = -3$。
【答案】$-3$
【知识点】分式值为0的条件；绝对值方程求解；因式分解
【点评】本题是分式相关的典型基础题，易错点是解题时仅考虑分子为0，忽略分母不为0的分式有意义的前提，从而错解为$x=\pm3$，解答这类问题时要注意两个条件需同时验证。
【难度系数】0.7
【解析】若分式$\frac{3 - |x|}{x^2 - 2x - 3}$的值为0，需同时满足两个条件：
1. 分子为0：$3 - |x| = 0$
移项得$|x| = 3$，解得$x = 3$或$x = -3$
2. 分母不为0：$x^2 - 2x - 3 ≠ 0$
对分母因式分解得：$(x - 3)(x + 1) ≠ 0$
即$x ≠ 3$且$x ≠ -1$
结合两个条件，排除$x = 3$，因此$x = -3$。
【答案】$-3$
【知识点】分式值为0的条件；绝对值方程求解；因式分解
【点评】本题是分式相关的典型基础题，易错点是解题时仅考虑分子为0，忽略分母不为0的分式有意义的前提，从而错解为$x=\pm3$，解答这类问题时要注意两个条件需同时验证。
【难度系数】0.7
3.若方程$\frac{2x}{1-2x}+3+\frac{1}{2x-1}=0$有增根，则增根是
$\frac{1}{2}$
。答案
3.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
首先明确分式方程增根的两个特征：一是增根会使原分式方程的分母为0，二是增根是原方程去分母后得到的整式方程的根。解题时先找出原方程中所有分母，令分母等于0，得到增根的候选值，再验证该候选是否是去分母后整式方程的根即可。本题中原方程的分母为1-2x和2x-1，二者互为相反数，令分母为0可直接得到可能的增根，再代入整式方程验证即可。
【解析】
第一步：确定原分式方程分母为0时x的取值
原方程的分母为$1-2x$和$2x-1$，若方程有增根，则分母为0：
令$1-2x=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，同时$2x-1=0$时也解得$x=\frac{1}{2}$，因此增根的候选值只有$x=\frac{1}{2}$。
第二步：验证该值是否为去分母后整式方程的根
将原方程变形为：$\frac{2x}{1-2x}+3-\frac{1}{1-2x}=0$，两边同时乘以最简公分母$1-2x$去分母得：
$2x + 3(1-2x) -1 = 0$
展开计算：$2x + 3 -6x -1 = 0$
合并同类项：$-4x +2 = 0$
解得：$x=\frac{1}{2}$
该值刚好是使原分母为0的根，因此是原方程的增根。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的相关概念，掌握增根需要满足的两个条件是解题的关键，整体解题思路清晰，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
首先明确分式方程增根的两个特征：一是增根会使原分式方程的分母为0，二是增根是原方程去分母后得到的整式方程的根。解题时先找出原方程中所有分母，令分母等于0，得到增根的候选值，再验证该候选是否是去分母后整式方程的根即可。本题中原方程的分母为1-2x和2x-1，二者互为相反数，令分母为0可直接得到可能的增根，再代入整式方程验证即可。
【解析】
第一步：确定原分式方程分母为0时x的取值
原方程的分母为$1-2x$和$2x-1$，若方程有增根，则分母为0：
令$1-2x=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，同时$2x-1=0$时也解得$x=\frac{1}{2}$，因此增根的候选值只有$x=\frac{1}{2}$。
第二步：验证该值是否为去分母后整式方程的根
将原方程变形为：$\frac{2x}{1-2x}+3-\frac{1}{1-2x}=0$，两边同时乘以最简公分母$1-2x$去分母得：
$2x + 3(1-2x) -1 = 0$
展开计算：$2x + 3 -6x -1 = 0$
合并同类项：$-4x +2 = 0$
解得：$x=\frac{1}{2}$
该值刚好是使原分母为0的根，因此是原方程的增根。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的相关概念，掌握增根需要满足的两个条件是解题的关键，整体解题思路清晰，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
4.把分式
的系数化为整数的结果为
的系数化为整数的结果为$\frac{12a+4b}{9a-12b}$
。答案
4.$\frac{12a+4b}{9a-12b}$
解析
【分析】
要将分式中各项的系数化为整数，首先观察分子、分母中各项分数系数的分母，分别是3和4，先求出它们的最小公倍数为12；再根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以同一个不为0的整式，分式的值不变，将分子、分母同时乘以12，分别计算乘后分子、分母的结果即可，注意计算时不要漏乘分子、分母中的任意一项。
【解析】
观察分式$\frac{a+\frac{1}{3}b}{\frac{3}{4}a-b}$，分子、分母中各项系数的分母为3和4，二者的最小公倍数是12。
根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以12：
分子变为：$12× a + 12× \frac{1}{3}b = 12a + 4b$
分母变为：$12× \frac{3}{4}a - 12× b = 9a - 12b$
因此系数化为整数后的分式为$\frac{12a+4b}{9a-12b}$。
【答案】
$\frac{12a+4b}{9a-12b}$
【知识点】
分式的基本性质；最小公倍数计算；整式乘法
【点评】
本题是分式系数化整的常规题型，解题核心是找准各分数系数分母的最小公倍数，计算时需注意给分子、分母的每一项都乘这个公倍数，避免漏乘常数项导致错误。
【难度系数】
0.8
要将分式中各项的系数化为整数，首先观察分子、分母中各项分数系数的分母，分别是3和4，先求出它们的最小公倍数为12；再根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以同一个不为0的整式，分式的值不变，将分子、分母同时乘以12，分别计算乘后分子、分母的结果即可，注意计算时不要漏乘分子、分母中的任意一项。
【解析】
观察分式$\frac{a+\frac{1}{3}b}{\frac{3}{4}a-b}$，分子、分母中各项系数的分母为3和4，二者的最小公倍数是12。
根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以12：
分子变为：$12× a + 12× \frac{1}{3}b = 12a + 4b$
分母变为：$12× \frac{3}{4}a - 12× b = 9a - 12b$
因此系数化为整数后的分式为$\frac{12a+4b}{9a-12b}$。
【答案】
$\frac{12a+4b}{9a-12b}$
【知识点】
分式的基本性质；最小公倍数计算；整式乘法
【点评】
本题是分式系数化整的常规题型，解题核心是找准各分数系数分母的最小公倍数，计算时需注意给分子、分母的每一项都乘这个公倍数，避免漏乘常数项导致错误。
【难度系数】
0.8
5. 下列不等式变形正确的是(
A.由$a＞b$,得$a-2＜b-2$
B.由$a＞b$,得$-2a＜-2b$
C.由$a＞b$,得$|a|＞|b|$
D.由$a＞b$,得$a^2＞b^2$
B
)A.由$a＞b$,得$a-2＜b-2$
B.由$a＞b$,得$-2a＜-2b$
C.由$a＞b$,得$|a|＞|b|$
D.由$a＞b$,得$a^2＞b^2$
答案
5.B
解析
【分析】
本题考查不等式变形的正误判断，解题思路是先回忆不等式的基本性质，再逐一分析每个选项：符合不等式性质的变形正确，不符合的可通过举反例验证排除，最终选出正确选项。
【解析】
结合不等式的基本性质和反例法逐一判断：
1. 分析选项A：根据不等式的性质1，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变。由$a＞b$，两边同时减2，应得$a-2＞b-2$，因此A变形错误。
2. 分析选项B：根据不等式的性质3，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变。由$a＞b$，两边同时乘$-2$，可得$-2a＜-2b$，因此B变形正确。
3. 分析选项C：举反例，当$a=1$，$b=-2$时，满足$a＞b$，但$|a|=1＜|b|=2$，因此C变形错误。
4. 分析选项D：举反例，当$a=1$，$b=-2$时，满足$a＞b$，但$a^2=1＜b^2=4$，因此D变形错误。
综上，变形正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
不等式的基本性质、绝对值的意义、有理数的乘方
【点评】
本题是基础类题目，重点考查对不等式基本性质的掌握，尤其要注意不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号方向必须改变；对于不确定的变形，可通过举符合条件的反例快速判断正误。
【难度系数】
0.8
本题考查不等式变形的正误判断，解题思路是先回忆不等式的基本性质，再逐一分析每个选项：符合不等式性质的变形正确，不符合的可通过举反例验证排除，最终选出正确选项。
【解析】
结合不等式的基本性质和反例法逐一判断：
1. 分析选项A：根据不等式的性质1，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变。由$a＞b$，两边同时减2，应得$a-2＞b-2$，因此A变形错误。
2. 分析选项B：根据不等式的性质3，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变。由$a＞b$，两边同时乘$-2$，可得$-2a＜-2b$，因此B变形正确。
3. 分析选项C：举反例，当$a=1$，$b=-2$时，满足$a＞b$，但$|a|=1＜|b|=2$，因此C变形错误。
4. 分析选项D：举反例，当$a=1$，$b=-2$时，满足$a＞b$，但$a^2=1＜b^2=4$，因此D变形错误。
综上，变形正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
不等式的基本性质、绝对值的意义、有理数的乘方
【点评】
本题是基础类题目，重点考查对不等式基本性质的掌握，尤其要注意不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号方向必须改变；对于不确定的变形，可通过举符合条件的反例快速判断正误。
【难度系数】
0.8
6. 不等式 $ x ＜ 2 $ 在数轴上表示正确的是(
A
) 答案
6.A
解析
【分析】
要判断不等式x＜2在数轴上的表示是否正确，需牢记不等式解集在数轴上的表示规则：第一步先判断分界点的标记：如果不等式不含等号，分界点处画空心圆圈，含等号则画实心点；第二步判断折线方向：大于分界点时折线向右画，小于分界点时折线向左画。我们按照这两个步骤逐一判断选项即可。
【解析】
首先分析不等式x＜2的特征：
1. 该不等式不含等号，因此在数轴上表示时，分界点2的位置应为空心圆圈，选项B、D在2处为实心点，不符合要求，排除B、D；
2. 不等号为“＜”，说明解集是2左侧的所有数，因此折线应向左延伸，选项C折线向右延伸，不符合要求，排除C；
只有选项A符合上述两个要求。
【答案】
A
【知识点】
不等式解集的数轴表示、不等号的含义
【点评】
本题是基础类题目，核心考查不等式解集在数轴上的表示规则，解题时只要抓住“空心/实心的判断”和“方向的判断”两个关键点，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
要判断不等式x＜2在数轴上的表示是否正确，需牢记不等式解集在数轴上的表示规则：第一步先判断分界点的标记：如果不等式不含等号，分界点处画空心圆圈，含等号则画实心点；第二步判断折线方向：大于分界点时折线向右画，小于分界点时折线向左画。我们按照这两个步骤逐一判断选项即可。
【解析】
首先分析不等式x＜2的特征：
1. 该不等式不含等号，因此在数轴上表示时，分界点2的位置应为空心圆圈，选项B、D在2处为实心点，不符合要求，排除B、D；
2. 不等号为“＜”，说明解集是2左侧的所有数，因此折线应向左延伸，选项C折线向右延伸，不符合要求，排除C；
只有选项A符合上述两个要求。
【答案】
A
【知识点】
不等式解集的数轴表示、不等号的含义
【点评】
本题是基础类题目，核心考查不等式解集在数轴上的表示规则，解题时只要抓住“空心/实心的判断”和“方向的判断”两个关键点，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
7.下列命题中的真命题是(
A.锐角大于它的余角
B.锐角大于它的补角
C.钝角大于它的补角
D.锐角与钝角之和等于平角
C
)A.锐角大于它的余角
B.锐角大于它的补角
C.钝角大于它的补角
D.锐角与钝角之和等于平角
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先要明确余角、补角的核心定义：两个角和为90°则互为余角，和为180°则互为补角，再结合锐角（0°＜锐角＜90°）、钝角（90°＜钝角＜180°）、平角（180°）的定义，对每个选项要么通过公式推导验证，要么举反例推翻，就能判断出真命题。
【解析】
首先明确基础概念：①互为余角的两个角度数和为90°；②互为补角的两个角度数和为180°；③锐角范围是0°＜α＜90°，钝角范围是90°＜β＜180°，平角为180°。
对各选项逐一判断：
A. 举反例：取锐角α=30°，它的余角为90°-30°=60°，此时30°＜60°，即锐角小于它的余角，故A为假命题；
B. 锐角的补角为180°-α，因为α＜90°，所以180°-α＞90°，即锐角的补角是钝角，锐角小于钝角，故B为假命题；
C. 钝角β的补角为180°-β，因为β＞90°，所以180°-β＜90°，即钝角的补角是锐角，钝角大于锐角，因此钝角大于它的补角，故C为真命题；
D. 举反例：取锐角α=20°，钝角β=100°，两角之和为120°≠180°，即不等于平角，故D为假命题。
【答案】
C
【知识点】
余角与补角；命题真假判断；角的分类
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是对余角、补角定义的准确掌握，判断时优先用定义推导，遇到不确定的选项举反例即可快速排除错误选项。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确余角、补角的核心定义：两个角和为90°则互为余角，和为180°则互为补角，再结合锐角（0°＜锐角＜90°）、钝角（90°＜钝角＜180°）、平角（180°）的定义，对每个选项要么通过公式推导验证，要么举反例推翻，就能判断出真命题。
【解析】
首先明确基础概念：①互为余角的两个角度数和为90°；②互为补角的两个角度数和为180°；③锐角范围是0°＜α＜90°，钝角范围是90°＜β＜180°，平角为180°。
对各选项逐一判断：
A. 举反例：取锐角α=30°，它的余角为90°-30°=60°，此时30°＜60°，即锐角小于它的余角，故A为假命题；
B. 锐角的补角为180°-α，因为α＜90°，所以180°-α＞90°，即锐角的补角是钝角，锐角小于钝角，故B为假命题；
C. 钝角β的补角为180°-β，因为β＞90°，所以180°-β＜90°，即钝角的补角是锐角，钝角大于锐角，因此钝角大于它的补角，故C为真命题；
D. 举反例：取锐角α=20°，钝角β=100°，两角之和为120°≠180°，即不等于平角，故D为假命题。
【答案】
C
【知识点】
余角与补角；命题真假判断；角的分类
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是对余角、补角定义的准确掌握，判断时优先用定义推导，遇到不确定的选项举反例即可快速排除错误选项。
【难度系数】
0.85
8.已知下列命题:①相等的角是对顶角;②互补的角就是平角;③互补的两个角一定是一个为锐角,另一个为钝角;④平行于同一条直线的两直线平行。其中,真命题的个数为（
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
B
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
8.B
解析
【分析】
要判断真命题的个数，需结合几何基础定义、性质逐个分析4个命题的真假：假命题只需找到1个反例即可判定，真命题需符合已学的公理或定理。我们可以先回忆对顶角、互补、平角、平行线的相关概念，再逐一验证每个命题是否成立。
【解析】
逐一判断各命题的真假：
①对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时得到的同位角相等，但同位角不属于对顶角，因此①是假命题；
②互补的角是指两个角的度数和为180°，仅体现两个角的数量关系，而平角是度数为180°的单个角，二者概念不同，因此②是假命题；
③若两个角都是直角，90°+90°=180°，也满足互补的要求，因此互补的两个角也可能都是直角，并非一定一个为锐角一个为钝角，因此③是假命题；
④根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两直线互相平行，因此④是真命题。
综上，真命题只有1个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
对顶角的性质；补角的定义；平行公理推论
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对几何基础概念的理解，解题时要注意区分相似概念的差异，可通过举反例快速判断假命题。
【难度系数】
0.7
要判断真命题的个数，需结合几何基础定义、性质逐个分析4个命题的真假：假命题只需找到1个反例即可判定，真命题需符合已学的公理或定理。我们可以先回忆对顶角、互补、平角、平行线的相关概念，再逐一验证每个命题是否成立。
【解析】
逐一判断各命题的真假：
①对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时得到的同位角相等，但同位角不属于对顶角，因此①是假命题；
②互补的角是指两个角的度数和为180°，仅体现两个角的数量关系，而平角是度数为180°的单个角，二者概念不同，因此②是假命题；
③若两个角都是直角，90°+90°=180°，也满足互补的要求，因此互补的两个角也可能都是直角，并非一定一个为锐角一个为钝角，因此③是假命题；
④根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两直线互相平行，因此④是真命题。
综上，真命题只有1个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
对顶角的性质；补角的定义；平行公理推论
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对几何基础概念的理解，解题时要注意区分相似概念的差异，可通过举反例快速判断假命题。
【难度系数】
0.7
