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四、解答题
8.某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位。
(1)求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；
(2)已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元，根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆(可以坐不满)，请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金。
8.某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位。
(1)求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；
(2)已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元，根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆(可以坐不满)，请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金。
答案
8. 解:(1)设单独租用35座客车需x辆,由题意可得35x=55(x-1)-45,解得x=5。
∴35x=35×5=175(人)。 答:该校八年级学生参观社会实践活动的人数为175。
(2)设租35座客车y辆,则租55座客车(4-y)辆,由题意可得$\begin{cases}35y+55(4-y)≥175, \\320y+400(4-y)≤1500\end{cases}$
解这个不等式组,得$1\frac{1}{4}≤ y≤2\frac{1}{4}$。
∵y取正整数,
∴y=2,
∴4-y=4-2=2
∴320×2+400×2=1440(元)
答:本次社会实践活动所需车辆租金为1440元。
∴35x=35×5=175(人)。 答:该校八年级学生参观社会实践活动的人数为175。
(2)设租35座客车y辆,则租55座客车(4-y)辆,由题意可得$\begin{cases}35y+55(4-y)≥175, \\320y+400(4-y)≤1500\end{cases}$
解这个不等式组,得$1\frac{1}{4}≤ y≤2\frac{1}{4}$。
∵y取正整数,
∴y=2,
∴4-y=4-2=2
∴320×2+400×2=1440(元)
答:本次社会实践活动所需车辆租金为1440元。
解析
【分析】
(1) 要计算学生总人数，抓住“两种租车方式下学生总人数不变”这一等量关系。设单独租35座客车需x辆，分别用含x的式子表示两种租车方式对应的总人数，列一元一次方程求解即可得到总人数。
(2) 要计算租车租金，首先明确两个限制条件：① 两种车的总座位数≥学生总人数，保证所有学生有座；② 总租金≤1500元，符合预算要求。设租35座客车y辆，则55座客车为(4-y)辆，根据两个限制条件列不等式组，结合y是正整数的实际意义，求出y的取值，再计算总租金即可。
【解析】
(1) 设单独租用35座客车需x辆，根据总人数相等列方程：
$35x=55(x-1)-45$
解方程得：
$35x=55x-100$
$20x=100$
$x=5$
则学生总人数为$35x=35×5=175$（人）
(2) 设租35座客车y辆，则租55座客车$(4-y)$辆，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}35y+55(4-y)≥175 \\320y+400(4-y)≤1500\end{cases}$
解第一个不等式：
$35y+220-55y≥175$
$-20y≥-45$
$y≤2\frac{1}{4}$
解第二个不等式：
$320y+1600-400y≤1500$
$-80y≤-100$
$y≥1\frac{1}{4}$
因此不等式组的解集为$1\frac{1}{4}≤ y≤2\frac{1}{4}$
∵y代表车辆数，需取正整数
∴$y=2$，对应租55座客车的数量为$4-2=2$辆
总租金为$320×2+400×2=1440$（元）
【答案】
(1) 该校八年级参加社会实践活动的人数为175人；(2) 本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元
【知识点】
一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合实际租车场景，考查方程与不等式组的综合应用，解题的核心是准确梳理题目中的等量关系和不等关系，同时要注意未知数的实际意义，这类问题是生活中常见的方案选择类应用题，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 要计算学生总人数，抓住“两种租车方式下学生总人数不变”这一等量关系。设单独租35座客车需x辆，分别用含x的式子表示两种租车方式对应的总人数，列一元一次方程求解即可得到总人数。
(2) 要计算租车租金，首先明确两个限制条件：① 两种车的总座位数≥学生总人数，保证所有学生有座；② 总租金≤1500元，符合预算要求。设租35座客车y辆，则55座客车为(4-y)辆，根据两个限制条件列不等式组，结合y是正整数的实际意义，求出y的取值，再计算总租金即可。
【解析】
(1) 设单独租用35座客车需x辆，根据总人数相等列方程：
$35x=55(x-1)-45$
解方程得：
$35x=55x-100$
$20x=100$
$x=5$
则学生总人数为$35x=35×5=175$（人）
(2) 设租35座客车y辆，则租55座客车$(4-y)$辆，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}35y+55(4-y)≥175 \\320y+400(4-y)≤1500\end{cases}$
解第一个不等式：
$35y+220-55y≥175$
$-20y≥-45$
$y≤2\frac{1}{4}$
解第二个不等式：
$320y+1600-400y≤1500$
$-80y≤-100$
$y≥1\frac{1}{4}$
因此不等式组的解集为$1\frac{1}{4}≤ y≤2\frac{1}{4}$
∵y代表车辆数，需取正整数
∴$y=2$，对应租55座客车的数量为$4-2=2$辆
总租金为$320×2+400×2=1440$（元）
【答案】
(1) 该校八年级参加社会实践活动的人数为175人；(2) 本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元
【知识点】
一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合实际租车场景，考查方程与不等式组的综合应用，解题的核心是准确梳理题目中的等量关系和不等关系，同时要注意未知数的实际意义，这类问题是生活中常见的方案选择类应用题，实用性较强。
【难度系数】
0.7
9. 如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,∠B=30°,∠DAB=45°。
(1)求∠DAC的度数；
(2)求证:DC=AB。
(1)求∠DAC的度数；
(2)求证:DC=AB。
答案
解：(1)
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ C = ∠ B = 30°$，
由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 30° - 30° = 120°$，
又∵ $∠ DAB = 45°$，
∴ $∠ DAC = ∠ BAC - ∠ DAB = 120° - 45° = 75°$。
(2)证明：
∵ $∠ ADC$是$△ ABD$的外角，
∴ $∠ ADC = ∠ B + ∠ DAB = 30° + 45° = 75°$，
∴ $∠ ADC = ∠ DAC$，
∴ $AC = DC$，
又∵ $AB=AC$，
∴ $DC=AB$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ C = ∠ B = 30°$，
由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 30° - 30° = 120°$，
又∵ $∠ DAB = 45°$，
∴ $∠ DAC = ∠ BAC - ∠ DAB = 120° - 45° = 75°$。
(2)证明：
∵ $∠ ADC$是$△ ABD$的外角，
∴ $∠ ADC = ∠ B + ∠ DAB = 30° + 45° = 75°$，
∴ $∠ ADC = ∠ DAC$，
∴ $AC = DC$，
又∵ $AB=AC$，
∴ $DC=AB$。
解析
【分析】
(1) 求∠DAC的度数时，首先利用等腰三角形等边对等角的性质，由AB=AC得到∠C和∠B相等，再结合三角形内角和为180°计算出顶角∠BAC的度数，最后用∠BAC减去已知的∠DAB的度数即可得到结果。
(2) 证明DC=AB时，已知AB=AC，可将问题转化为证明DC=AC。根据等角对等边的性质，只需证明DC、AC对应的角∠ADC和∠DAC相等即可。利用三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，等于与它不相邻的两个内角∠B、∠DAB的和，计算出∠ADC的度数后和∠DAC对比，得到两角相等即可推出边相等，再通过等量替换得到最终结论。
【解析】
(1) 解：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ C = ∠ B = 30°$，
由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 30° - 30° = 120°$，
又
∵ $∠ DAB = 45°$，
∴ $∠ DAC = ∠ BAC - ∠ DAB = 120° - 45° = 75°$。
(2) 证明：
∵ $∠ ADC$是$△ ABD$的外角，
∴ $∠ ADC = ∠ B + ∠ DAB = 30° + 45° = 75°$，
∴ $∠ ADC = ∠ DAC$，
∴ $AC = DC$，
又
∵ $AB=AC$，
∴ $DC=AB$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠DAC=75°}$；(2) 证明成立，$\boldsymbol{DC=AB}$。
【知识点】
等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考察三角形基础性质和等腰三角形边角关系的应用，解题的关键是灵活运用等量转换的思路，将待求、待证的量和已知条件建立关联，属于对基础应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
(1) 求∠DAC的度数时，首先利用等腰三角形等边对等角的性质，由AB=AC得到∠C和∠B相等，再结合三角形内角和为180°计算出顶角∠BAC的度数，最后用∠BAC减去已知的∠DAB的度数即可得到结果。
(2) 证明DC=AB时，已知AB=AC，可将问题转化为证明DC=AC。根据等角对等边的性质，只需证明DC、AC对应的角∠ADC和∠DAC相等即可。利用三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，等于与它不相邻的两个内角∠B、∠DAB的和，计算出∠ADC的度数后和∠DAC对比，得到两角相等即可推出边相等，再通过等量替换得到最终结论。
【解析】
(1) 解：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ C = ∠ B = 30°$，
由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 30° - 30° = 120°$，
又
∵ $∠ DAB = 45°$，
∴ $∠ DAC = ∠ BAC - ∠ DAB = 120° - 45° = 75°$。
(2) 证明：
∵ $∠ ADC$是$△ ABD$的外角，
∴ $∠ ADC = ∠ B + ∠ DAB = 30° + 45° = 75°$，
∴ $∠ ADC = ∠ DAC$，
∴ $AC = DC$，
又
∵ $AB=AC$，
∴ $DC=AB$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠DAC=75°}$；(2) 证明成立，$\boldsymbol{DC=AB}$。
【知识点】
等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考察三角形基础性质和等腰三角形边角关系的应用，解题的关键是灵活运用等量转换的思路，将待求、待证的量和已知条件建立关联，属于对基础应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
