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1. 不等式组$\begin{cases}2x+3＞x, \\ \frac{1}{2}x≥ x-3\end{cases}$的解集是 ______ 。
答案
1. $-3＜x≤6$
解析
【分析】
要解一元一次不等式组，需先分别求出每个不等式的解集，再根据解集的规律找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集。解每个不等式时按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行即可，注意系数为负数时，不等号方向要改变。
【解析】
解不等式$2x+3＞x$：
移项得：$2x - x ＞ -3$
合并同类项得：$x ＞ -3$
解不等式$\frac{1}{2}x≥ x-3$：
移项得：$\frac{1}{2}x - x ≥ -3$
合并同类项得：$-\frac{1}{2}x ≥ -3$
系数化为1（两边同时乘$-2$，不等号方向改变）得：$x ≤ 6$
根据“大小小大中间找”的解集确定规律，两个不等式解集的公共部分为$-3＜x≤6$。
【答案】
$-3＜x≤6$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法 2. 不等式组解集的确定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式组的求解方法，解题的关键是正确求解每个不等式，同时注意系数化为1时若系数为负，不等号方向需反转，熟练掌握解集的判定规律即可快速得到结果。
【难度系数】
0.9
要解一元一次不等式组，需先分别求出每个不等式的解集，再根据解集的规律找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集。解每个不等式时按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行即可，注意系数为负数时，不等号方向要改变。
【解析】
解不等式$2x+3＞x$：
移项得：$2x - x ＞ -3$
合并同类项得：$x ＞ -3$
解不等式$\frac{1}{2}x≥ x-3$：
移项得：$\frac{1}{2}x - x ≥ -3$
合并同类项得：$-\frac{1}{2}x ≥ -3$
系数化为1（两边同时乘$-2$，不等号方向改变）得：$x ≤ 6$
根据“大小小大中间找”的解集确定规律，两个不等式解集的公共部分为$-3＜x≤6$。
【答案】
$-3＜x≤6$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法 2. 不等式组解集的确定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式组的求解方法，解题的关键是正确求解每个不等式，同时注意系数化为1时若系数为负，不等号方向需反转，熟练掌握解集的判定规律即可快速得到结果。
【难度系数】
0.9
2.若不等式组$\begin{cases}x＞a, \\ 4-2x＞0\end{cases}$的解集是$-1＜x＜2$,则$a=$ ______ 。
答案
2. $-1$
解析
【分析】
解决本题的思路是先求解不等式组中不含参数的不等式，再结合第一个含参数的不等式写出不等式组的解集形式，最后将得到的解集和题目给出的已知解集对比，即可求出参数a的值。首先处理第二个不等式4-2x＞0，求出x的取值范围，再根据“大小小大中间找”的不等式组解集确定规则，写出该不等式组的解集，和已知解集对应相等就能得到a的取值。
【解析】
第一步，解不等式$4-2x＞0$：
移项得：$-2x＞-4$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x＜2$。
第二步，结合第一个不等式$x＞a$，可得不等式组的解集为$a＜x＜2$。
第三步，已知该不等式组的解集是$-1＜x＜2$，对比两个解集可得$a=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 不等式组解集确定
3. 含参不等式组求解
【点评】
本题是一元一次不等式组的常规基础题，解题核心是先解出不含参数的不等式，再结合不等式组解集的确定规则得到含参数的解集，与已知解集对应即可得到参数值，掌握解集的确定规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解决本题的思路是先求解不等式组中不含参数的不等式，再结合第一个含参数的不等式写出不等式组的解集形式，最后将得到的解集和题目给出的已知解集对比，即可求出参数a的值。首先处理第二个不等式4-2x＞0，求出x的取值范围，再根据“大小小大中间找”的不等式组解集确定规则，写出该不等式组的解集，和已知解集对应相等就能得到a的取值。
【解析】
第一步，解不等式$4-2x＞0$：
移项得：$-2x＞-4$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x＜2$。
第二步，结合第一个不等式$x＞a$，可得不等式组的解集为$a＜x＜2$。
第三步，已知该不等式组的解集是$-1＜x＜2$，对比两个解集可得$a=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 不等式组解集确定
3. 含参不等式组求解
【点评】
本题是一元一次不等式组的常规基础题，解题核心是先解出不含参数的不等式，再结合不等式组解集的确定规则得到含参数的解集，与已知解集对应即可得到参数值，掌握解集的确定规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3.若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x＞2, \\ x＞m\end{cases}$的解集是$x＞2$，则$m$的取值范围是 ______ 。
答案
3. $m≤2$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆一元一次不等式组的解集判定规则，当两个不等式都是“大于”形式时，遵循“同大取大”的原则，即解集取两个边界中更大的那个数作为分界。已知该不等式组的解集是$x＞2$，说明2是两个边界2和m中更大的，或二者相等，我们可以通过分类讨论验证m的取值：若$m＞2$，解集就会是$x＞m$，不符合题意；若$m=2$，两个不等式均为$x＞2$，解集仍为$x＞2$，符合要求；若$m＜2$，按照同大取大，解集就是$x＞2$，符合要求，综上就能得到m的取值范围。
【解析】
对于由两个“大于”型不等式组成的不等式组，解集确定遵循“同大取大”的规则：
1. 若$m＞2$，则不等式组的解集为$x＞m$，与题目给出的解集$x＞2$矛盾，不符合要求；
2. 若$m=2$，不等式组变为$\begin{cases}x＞2 \\ x＞2\end{cases}$，解集为$x＞2$，符合题意；
3. 若$m＜2$，按照“同大取大”，不等式组的解集为$x＞2$，符合题意。
因此，m的取值范围是$m≤2$。
【答案】
$m≤2$
【知识点】
1. 一元一次不等式组解集判定
2. 同大取大原则
【点评】
本题是不等式组解集的基础题型，核心考查对“同大取大”解集规则的掌握，易错点是容易遗漏$m=2$的情况，求解这类问题时要注意验证等号是否满足题意，避免漏解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆一元一次不等式组的解集判定规则，当两个不等式都是“大于”形式时，遵循“同大取大”的原则，即解集取两个边界中更大的那个数作为分界。已知该不等式组的解集是$x＞2$，说明2是两个边界2和m中更大的，或二者相等，我们可以通过分类讨论验证m的取值：若$m＞2$，解集就会是$x＞m$，不符合题意；若$m=2$，两个不等式均为$x＞2$，解集仍为$x＞2$，符合要求；若$m＜2$，按照同大取大，解集就是$x＞2$，符合要求，综上就能得到m的取值范围。
【解析】
对于由两个“大于”型不等式组成的不等式组，解集确定遵循“同大取大”的规则：
1. 若$m＞2$，则不等式组的解集为$x＞m$，与题目给出的解集$x＞2$矛盾，不符合要求；
2. 若$m=2$，不等式组变为$\begin{cases}x＞2 \\ x＞2\end{cases}$，解集为$x＞2$，符合题意；
3. 若$m＜2$，按照“同大取大”，不等式组的解集为$x＞2$，符合题意。
因此，m的取值范围是$m≤2$。
【答案】
$m≤2$
【知识点】
1. 一元一次不等式组解集判定
2. 同大取大原则
【点评】
本题是不等式组解集的基础题型，核心考查对“同大取大”解集规则的掌握，易错点是容易遗漏$m=2$的情况，求解这类问题时要注意验证等号是否满足题意，避免漏解。
【难度系数】
0.8
4.在$△ ABC$中，$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，最短边$BC=4\mathrm{cm}$，最长边$AB$的长是（
A.5cm
B.6cm
C.$\sqrt{5}\mathrm{cm}$
D.8cm
D
）A.5cm
B.6cm
C.$\sqrt{5}\mathrm{cm}$
D.8cm
答案
4. D
解析
【分析】
解题时首先看到三个内角的度数比，可结合三角形内角和为180°的性质，先计算出三个内角的具体度数，判断三角形的类型；再根据三角形大角对大边的规律，明确最短边、最长边分别对应的角；最后结合含30°角的直角三角形的特殊边角关系，就能算出最长边的长度。
【解析】
解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为$x$、$2x$、$3x$。
根据三角形内角和定理可得：
$x + 2x + 3x = 180°$
解得$x=30°$，因此三个角分别为$∠ A=30°$，$∠ B=60°$，$∠ C=90°$，即$△ ABC$是直角三角形。
其中直角$∠ C$对应的边$AB$为最长边，$30°$角$∠ A$对应的边$BC$为最短边。
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$BC=\frac{1}{2}AB$。
已知$BC=4\mathrm{cm}$，代入得$AB=2BC=2×4=8\mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 含30°角的直角三角形性质
3. 三角形边角关系
【点评】
本题是基础常考题，解题关键是先通过角度比例和内角和定理判断三角形为含30°角的直角三角形，再结合特殊直角三角形的边角关系计算边长，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先看到三个内角的度数比，可结合三角形内角和为180°的性质，先计算出三个内角的具体度数，判断三角形的类型；再根据三角形大角对大边的规律，明确最短边、最长边分别对应的角；最后结合含30°角的直角三角形的特殊边角关系，就能算出最长边的长度。
【解析】
解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为$x$、$2x$、$3x$。
根据三角形内角和定理可得：
$x + 2x + 3x = 180°$
解得$x=30°$，因此三个角分别为$∠ A=30°$，$∠ B=60°$，$∠ C=90°$，即$△ ABC$是直角三角形。
其中直角$∠ C$对应的边$AB$为最长边，$30°$角$∠ A$对应的边$BC$为最短边。
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$BC=\frac{1}{2}AB$。
已知$BC=4\mathrm{cm}$，代入得$AB=2BC=2×4=8\mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 含30°角的直角三角形性质
3. 三角形边角关系
【点评】
本题是基础常考题，解题关键是先通过角度比例和内角和定理判断三角形为含30°角的直角三角形，再结合特殊直角三角形的边角关系计算边长，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
5.点A(-3,-5)向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度到点B，则点B的坐标为(
A.(1,-8)
B.(1,-2)
C.(-6,-1)
D.(0,-1)
C
)A.(1,-8)
B.(1,-2)
C.(-6,-1)
D.(0,-1)
答案
5. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：上下平移只改变纵坐标，向上平移纵坐标加，向下平移纵坐标减；左右平移只改变横坐标，向左平移横坐标减，向右平移横坐标加。我们按照题目给出的平移顺序，分步计算每次平移后的坐标，就能得到点B的最终坐标。
【解析】
已知点A的坐标为$(-3,-5)$：
1. 先向上平移4个单位长度：根据“上加下减”规则，纵坐标加4，横坐标保持不变，此时得到的点坐标为$(-3,\ -5+4)$，即$(-3,-1)$。
2. 再向左平移3个单位长度：根据“左减右加”规则，横坐标减3，纵坐标保持不变，此时点B的坐标为$(-3-3,\ -1)$，即$(-6,-1)$。
所以对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
点的平移规律，平面直角坐标系基础
【点评】
本题属于基础题，核心考查点平移的坐标变化规则，只要牢记“上加下减、左减右加”的规律，按平移顺序分步计算即可得分，做题时注意不要混淆横纵坐标的变化方向。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：上下平移只改变纵坐标，向上平移纵坐标加，向下平移纵坐标减；左右平移只改变横坐标，向左平移横坐标减，向右平移横坐标加。我们按照题目给出的平移顺序，分步计算每次平移后的坐标，就能得到点B的最终坐标。
【解析】
已知点A的坐标为$(-3,-5)$：
1. 先向上平移4个单位长度：根据“上加下减”规则，纵坐标加4，横坐标保持不变，此时得到的点坐标为$(-3,\ -5+4)$，即$(-3,-1)$。
2. 再向左平移3个单位长度：根据“左减右加”规则，横坐标减3，纵坐标保持不变，此时点B的坐标为$(-3-3,\ -1)$，即$(-6,-1)$。
所以对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
点的平移规律，平面直角坐标系基础
【点评】
本题属于基础题，核心考查点平移的坐标变化规则，只要牢记“上加下减、左减右加”的规律，按平移顺序分步计算即可得分，做题时注意不要混淆横纵坐标的变化方向。
【难度系数】
0.9
6.如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为(
A.9
B.7
C.12
D.9或12
C
)A.9
B.7
C.12
D.9或12
答案
6. C
解析
【分析】
首先等腰三角形的两条腰长度相等，题目仅给出两边长为2和5，未明确腰和底，因此需要分两种情况分类讨论。其次，构成三角形必须满足“任意两边之和大于第三边”的三边关系，所以每种情况讨论后都要先验证是否能构成三角形，排除不符合要求的情况后再计算周长。第一步先假设腰长为2、底长为5，验证三边关系；第二步再假设腰长为5、底长为2，验证三边关系，最后计算符合条件的周长即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若等腰三角形腰长为2，底边长为5：
此时三边长为2、2、5，
∵2+2=4＜5，不满足三角形三边关系，
∴该情况无法构成三角形，舍去；
② 若等腰三角形腰长为5，底边长为2：
此时三边长为5、5、2，
∵5+2＞5，5+5＞2，满足三角形三边关系，
∴该情况成立，周长为5+5+2=12。
综上，该等腰三角形的周长为12。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；周长计算
【点评】
本题易错点是忽略三角形三边关系的验证，仅按等腰三角形两边相等的性质计算两种情况的周长，容易误选D选项，解题时分类讨论后必须先验证三边能否构成三角形，再进行后续计算。
【难度系数】
0.6
首先等腰三角形的两条腰长度相等，题目仅给出两边长为2和5，未明确腰和底，因此需要分两种情况分类讨论。其次，构成三角形必须满足“任意两边之和大于第三边”的三边关系，所以每种情况讨论后都要先验证是否能构成三角形，排除不符合要求的情况后再计算周长。第一步先假设腰长为2、底长为5，验证三边关系；第二步再假设腰长为5、底长为2，验证三边关系，最后计算符合条件的周长即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若等腰三角形腰长为2，底边长为5：
此时三边长为2、2、5，
∵2+2=4＜5，不满足三角形三边关系，
∴该情况无法构成三角形，舍去；
② 若等腰三角形腰长为5，底边长为2：
此时三边长为5、5、2，
∵5+2＞5，5+5＞2，满足三角形三边关系，
∴该情况成立，周长为5+5+2=12。
综上，该等腰三角形的周长为12。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；周长计算
【点评】
本题易错点是忽略三角形三边关系的验证，仅按等腰三角形两边相等的性质计算两种情况的周长，容易误选D选项，解题时分类讨论后必须先验证三边能否构成三角形，再进行后续计算。
【难度系数】
0.6
三、解下列不等式组
7. $\begin{cases}\frac{1}{2}(x+4) ＜ 2, \\x - 3(x - 1) ＞ 5。\end{cases}$
7. $\begin{cases}\frac{1}{2}(x+4) ＜ 2, \\x - 3(x - 1) ＞ 5。\end{cases}$
答案
7. $x＜-1$
解析
【分析】
解一元一次不等式组需先分别求出每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集。首先处理第一个带分数系数的不等式，先去分母再逐步化简求解；第二个带括号的不等式先去括号，再合并同类项求解，最后结合两个解集的范围确定公共部分。
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式$\frac{1}{2}(x+4) ＜ 2$：
两边同时乘2去分母，得：$x + 4 ＜ 4$
移项，得：$x ＜ 4 - 4$
计算得：$x ＜ 0$
2. 解不等式$x - 3(x - 1) ＞ 5$：
去括号，得：$x - 3x + 3 ＞ 5$
合并同类项，得：$-2x + 3 ＞ 5$
移项，得：$-2x ＞ 5 - 3$
计算得：$-2x ＞ 2$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ＜ -1$
取两个解集$x ＜ 0$和$x ＜ -1$的公共部分，可得不等式组的解集为$x ＜ -1$
【答案】
$x ＜ -1$
【知识点】
一元一次不等式解法；不等式组解集确定
【点评】
本题属于不等式组的基础计算题，解题时要注意两个易错点：一是去括号时符号的变化，二是不等式两边同时乘除负数时不等号方向要反转，确定公共解集时可借助数轴直观判断，避免出错。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组需先分别求出每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集。首先处理第一个带分数系数的不等式，先去分母再逐步化简求解；第二个带括号的不等式先去括号，再合并同类项求解，最后结合两个解集的范围确定公共部分。
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式$\frac{1}{2}(x+4) ＜ 2$：
两边同时乘2去分母，得：$x + 4 ＜ 4$
移项，得：$x ＜ 4 - 4$
计算得：$x ＜ 0$
2. 解不等式$x - 3(x - 1) ＞ 5$：
去括号，得：$x - 3x + 3 ＞ 5$
合并同类项，得：$-2x + 3 ＞ 5$
移项，得：$-2x ＞ 5 - 3$
计算得：$-2x ＞ 2$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ＜ -1$
取两个解集$x ＜ 0$和$x ＜ -1$的公共部分，可得不等式组的解集为$x ＜ -1$
【答案】
$x ＜ -1$
【知识点】
一元一次不等式解法；不等式组解集确定
【点评】
本题属于不等式组的基础计算题，解题时要注意两个易错点：一是去括号时符号的变化，二是不等式两边同时乘除负数时不等号方向要反转，确定公共解集时可借助数轴直观判断，避免出错。
【难度系数】
0.8
