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1.已知关于$x$的不等式$ax+1＞0(a≠0)$的解集是$x＜1$，则直线$y=ax+1$与$x$轴的交点是(
A.$(0,1)$
B.$(-1,0)$
C.$(0,-1)$
D.$(1,0)$
D
)A.$(0,1)$
B.$(-1,0)$
C.$(0,-1)$
D.$(1,0)$
答案
1.D
解析
【分析】
解题可分两步思考：第一步先根据不等式的解集求出参数a的值：首先对不等式$ax+1＞0$移项得到$ax＞-1$，已知解集为$x＜1$，不等号方向发生改变，根据不等式的性质可知a是负数，将不等式两边除以a后可得$x ＜ -\frac{1}{a}$，对比解集$x＜1$即可求出a的取值；第二步求直线与x轴的交点：x轴上点的纵坐标为0，将$y=0$代入直线解析式求解x，即可得到交点坐标。也可直接结合一次函数与一元一次不等式的关系：不等式$ax+1＞0$的解集就是直线$y=ax+1$在x轴上方对应的x的范围，已知该范围为$x＜1$，说明$x=1$时直线刚好与x轴相交，可直接得到交点。
【解析】
1. 求参数a的值：
对不等式$ax+1＞0$移项，得$ax ＞ -1$，
已知不等式的解集是$x＜1$，不等号方向改变，说明$a＜0$，
不等式两边同时除以a，得$x ＜ -\frac{1}{a}$，
对比解集$x＜1$，可得$-\frac{1}{a}=1$，解得$a=-1$。
2. 求直线与x轴的交点：
将$a=-1$代入直线解析式，得$y=-x+1$，
x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，代入得$0=-x+1$，解得$x=1$，
所以直线与x轴的交点为$(1,0)$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
不等式的性质；一次函数与一元一次不等式；一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是一次函数和不等式结合的基础题，解题核心是根据不等式的解集确定参数的取值，也可利用函数与不等式的对应关系快速解题，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题可分两步思考：第一步先根据不等式的解集求出参数a的值：首先对不等式$ax+1＞0$移项得到$ax＞-1$，已知解集为$x＜1$，不等号方向发生改变，根据不等式的性质可知a是负数，将不等式两边除以a后可得$x ＜ -\frac{1}{a}$，对比解集$x＜1$即可求出a的取值；第二步求直线与x轴的交点：x轴上点的纵坐标为0，将$y=0$代入直线解析式求解x，即可得到交点坐标。也可直接结合一次函数与一元一次不等式的关系：不等式$ax+1＞0$的解集就是直线$y=ax+1$在x轴上方对应的x的范围，已知该范围为$x＜1$，说明$x=1$时直线刚好与x轴相交，可直接得到交点。
【解析】
1. 求参数a的值：
对不等式$ax+1＞0$移项，得$ax ＞ -1$，
已知不等式的解集是$x＜1$，不等号方向改变，说明$a＜0$，
不等式两边同时除以a，得$x ＜ -\frac{1}{a}$，
对比解集$x＜1$，可得$-\frac{1}{a}=1$，解得$a=-1$。
2. 求直线与x轴的交点：
将$a=-1$代入直线解析式，得$y=-x+1$，
x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，代入得$0=-x+1$，解得$x=1$，
所以直线与x轴的交点为$(1,0)$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
不等式的性质；一次函数与一元一次不等式；一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是一次函数和不等式结合的基础题，解题核心是根据不等式的解集确定参数的取值，也可利用函数与不等式的对应关系快速解题，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
2.若不等式组$\begin{cases}5-3x≥0, \\x-m≥0\end{cases}$有实数解，则实数$m$的取值范围是（ ）
A.$m≤\frac{5}{3}$
B.$m＜\frac{5}{3}$
C.$m＞\frac{5}{3}$
D.$m≥\frac{5}{3}$
A.$m≤\frac{5}{3}$
B.$m＜\frac{5}{3}$
C.$m＞\frac{5}{3}$
D.$m≥\frac{5}{3}$
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：第一步，先分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集；第二步，根据“不等式组有实数解”的条件，即两个解集存在公共部分，结合不等式组解集的判定规则（大小小大中间找，大大小小找不到），即可求出参数m的取值范围。解题时要注意，解不等式时两边同时除以负数，不等号方向需要改变，同时判断公共部分时不要遗漏等号的情况。
【解析】
首先分别求解两个不等式：
1. 解不等式$5-3x≥0$：
移项得$-3x≥-5$，
两边同时除以$-3$，不等号方向改变，解得$x≤\frac{5}{3}$。
2. 解不等式$x-m≥0$：
移项得$x≥ m$。
因为不等式组有实数解，说明两个解集$x≤\frac{5}{3}$和$x≥ m$存在公共部分，因此$m$需要满足$m≤\frac{5}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组解法，不等式组有解判定
【点评】
本题是不等式组的基础题型，主要考查对不等式组解集判定规则的运用，解题的易错点是解含负系数的不等式时忘记改变不等号方向，以及判断有解时忽略等号成立的情况。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：第一步，先分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集；第二步，根据“不等式组有实数解”的条件，即两个解集存在公共部分，结合不等式组解集的判定规则（大小小大中间找，大大小小找不到），即可求出参数m的取值范围。解题时要注意，解不等式时两边同时除以负数，不等号方向需要改变，同时判断公共部分时不要遗漏等号的情况。
【解析】
首先分别求解两个不等式：
1. 解不等式$5-3x≥0$：
移项得$-3x≥-5$，
两边同时除以$-3$，不等号方向改变，解得$x≤\frac{5}{3}$。
2. 解不等式$x-m≥0$：
移项得$x≥ m$。
因为不等式组有实数解，说明两个解集$x≤\frac{5}{3}$和$x≥ m$存在公共部分，因此$m$需要满足$m≤\frac{5}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组解法，不等式组有解判定
【点评】
本题是不等式组的基础题型，主要考查对不等式组解集判定规则的运用，解题的易错点是解含负系数的不等式时忘记改变不等号方向，以及判断有解时忽略等号成立的情况。
【难度系数】
0.8
3.如果在正八边形硬纸板上剪下一个三角形(如图①中的阴影部分),那么图②、图③、图④中的阴影部分,均可由这个三角形通过一次平移、对称或旋转而得到。要得到图②、图③、图④中的阴影部分,依次进行的变换不可行的是(
A.平移、对称、旋转
B.平移、旋转、对称
C.平移、旋转、旋转
D.旋转、对称、旋转
D
)A.平移、对称、旋转
B.平移、旋转、对称
C.平移、旋转、旋转
D.旋转、对称、旋转
答案
3.D
解析
【分析】首先回忆平移、旋转、轴对称三种图形变换的核心特征：平移不改变图形的方向、形状和大小，仅改变位置；旋转是图形绕某定点转动一定角度，会改变图形的朝向，若绕正八边形中心旋转，阴影三角形的中心顶点位置固定，只能落在八边形内部的8个等分三角形区域；轴对称是图形沿对称轴翻折，若对称轴过正八边形中心，翻折后阴影的中心顶点仍在中心，也只能落在内部等分区域。观察图②的阴影位于正八边形外部，且与原阴影朝向一致，因此要得到图②的阴影，第一步必须用平移，无法通过一次旋转或轴对称实现，据此即可判断不可行的选项。
【解析】解：逐一分析变换的可行性：
1. 要得到图②的阴影：原阴影位于正八边形内部右上角，图②阴影位于八边形外部左侧，且二者朝向完全相同。若用旋转，一次旋转要么改变图形朝向，要么（转360°）回到原位，无法得到位置改变、朝向相同且位于外部的阴影；若用过中心的轴对称，翻折后阴影仍在内部，也无法得到图②的阴影，因此第一步只能选择平移。
2. 观察选项，A、B、C的第一个变换均为平移，符合要求；D的第一个变换为旋转，无法得到图②的阴影，因此D的变换不可行。
【答案】D
【知识点】平移的性质；旋转的性质；轴对称的性质
【点评】本题考查对三种常见图形变换特点的辨析，解题的关键是抓住不同变换对图形位置、朝向的影响，结合阴影的位置特征快速判断第一步的变换类型，即可快速得出答案。
【难度系数】0.7
【解析】解：逐一分析变换的可行性：
1. 要得到图②的阴影：原阴影位于正八边形内部右上角，图②阴影位于八边形外部左侧，且二者朝向完全相同。若用旋转，一次旋转要么改变图形朝向，要么（转360°）回到原位，无法得到位置改变、朝向相同且位于外部的阴影；若用过中心的轴对称，翻折后阴影仍在内部，也无法得到图②的阴影，因此第一步只能选择平移。
2. 观察选项，A、B、C的第一个变换均为平移，符合要求；D的第一个变换为旋转，无法得到图②的阴影，因此D的变换不可行。
【答案】D
【知识点】平移的性质；旋转的性质；轴对称的性质
【点评】本题考查对三种常见图形变换特点的辨析，解题的关键是抓住不同变换对图形位置、朝向的影响，结合阴影的位置特征快速判断第一步的变换类型，即可快速得出答案。
【难度系数】0.7
4. 两个相似三角形对应边的比为6，则它们周长的比为
6
。答案
4.6
解析
【分析】
解题时首先明确相似三角形对应边的比叫做相似比，再回忆相似三角形的周长相关性质：相似三角形的周长比等于相似比。本题已经直接给出对应边的比为6，即相似比为6，直接代入性质就能得到周长的比。
【解析】
根据相似三角形的性质可知：
1. 相似三角形对应边的比为相似比，本题中两个相似三角形的相似比为6；
2. 相似三角形的周长比等于相似比，因此这两个相似三角形的周长比等于相似比6。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题是对相似三角形基础性质的直接考察，解题的关键是牢记相似三角形周长比与相似比的关系，注意区分周长比和面积比与相似比的对应关系，避免混淆。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确相似三角形对应边的比叫做相似比，再回忆相似三角形的周长相关性质：相似三角形的周长比等于相似比。本题已经直接给出对应边的比为6，即相似比为6，直接代入性质就能得到周长的比。
【解析】
根据相似三角形的性质可知：
1. 相似三角形对应边的比为相似比，本题中两个相似三角形的相似比为6；
2. 相似三角形的周长比等于相似比，因此这两个相似三角形的周长比等于相似比6。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题是对相似三角形基础性质的直接考察，解题的关键是牢记相似三角形周长比与相似比的关系，注意区分周长比和面积比与相似比的对应关系，避免混淆。
【难度系数】
0.9
5.如图,点 D,E 分别在△ABC 的边 AB,AC 上,且∠AED=∠ABC,若 DE=3,BC=6,AB=8,则 AE 的长为
4
。答案
5.4
解析
【分析】
解题时首先观察图形中△AED与△ABC的角的关系：两个三角形有公共角∠A，再结合已知条件∠AED=∠ABC，可根据两角分别相等判定两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式代入已知边长即可求出AE的长度。
【解析】
在△AED和△ABC中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ A\quad (\mathrm{公共角})\\∠ AED=∠ ABC\quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴$△ AED ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$
将$DE=3$，$BC=6$，$AB=8$代入上式：
$\frac{AE}{8}=\frac{3}{6}$
解得：$AE=4$
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是通过角的相等关系判定三角形相似，再利用相似的性质列比例式求解，解题时需注意准确对应相似三角形的边，避免对应边混淆出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形中△AED与△ABC的角的关系：两个三角形有公共角∠A，再结合已知条件∠AED=∠ABC，可根据两角分别相等判定两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式代入已知边长即可求出AE的长度。
【解析】
在△AED和△ABC中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ A\quad (\mathrm{公共角})\\∠ AED=∠ ABC\quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴$△ AED ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$
将$DE=3$，$BC=6$，$AB=8$代入上式：
$\frac{AE}{8}=\frac{3}{6}$
解得：$AE=4$
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是通过角的相等关系判定三角形相似，再利用相似的性质列比例式求解，解题时需注意准确对应相似三角形的边，避免对应边混淆出错。
【难度系数】
0.8
6.如图，在$□ ABCD$中，$AE=EB$，$AF=2$，则$FC$等于
4
。答案
6.4
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形的性质得到AB与CD平行且相等的关系，再结合AE=EB推出AE与CD的长度比；接下来根据AB//CD可得到两组内错角相等，判定△AEF和△CDF相似，得到对应边的比例关系，最后代入AF的长度即可求出FC的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵AE=EB，
∴$AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD$，即 $\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}$，
∵AB//CD，
∴∠FAE=∠FCD，∠FEA=∠FDC，
∴△AEF∽△CDF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AF}{FC}=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}$，
把AF=2代入得：$\frac{2}{FC}=\frac{1}{2}$，
解得FC=4。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何常考基础题，核心是通过平行四边形的对边平行关系构造相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例求解线段长度，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用平行四边形的性质得到AB与CD平行且相等的关系，再结合AE=EB推出AE与CD的长度比；接下来根据AB//CD可得到两组内错角相等，判定△AEF和△CDF相似，得到对应边的比例关系，最后代入AF的长度即可求出FC的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵AE=EB，
∴$AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD$，即 $\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}$，
∵AB//CD，
∴∠FAE=∠FCD，∠FEA=∠FDC，
∴△AEF∽△CDF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AF}{FC}=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}$，
把AF=2代入得：$\frac{2}{FC}=\frac{1}{2}$，
解得FC=4。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何常考基础题，核心是通过平行四边形的对边平行关系构造相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例求解线段长度，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键。
【难度系数】
0.7
