三、解方程
7. $\frac{2-x}{x-3}+3=\frac{2}{3-x}$。

7. $x=\frac{5}{2}$

【分析】
这是一道分式方程求解的题目，解题思路如下：首先观察方程的分母，发现x-3和3-x互为相反数，先将右侧分式的分母统一为x-3的形式，方便确定最简公分母；然后方程两边同时乘以最简公分母x-3，将分式方程转化为整式方程，求解整式方程得到未知数的值；最后必须进行检验，因为去分母时乘的整式可能为0，得到的解有可能是增根，只有代入公分母不为0的解才是原方程的解。
【解析】
解：原方程可变形为：
$\frac{2-x}{x-3} + 3 = -\frac{2}{x-3}$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-3)$（$x≠3$），去分母得：
$2 - x + 3(x - 3) = -2$
展开括号：
$2 - x + 3x - 9 = -2$
合并同类项：
$2x - 7 = -2$
移项计算得：
$2x = 5$
系数化为1得：
$x = \frac{5}{2}$
检验：将$x=\frac{5}{2}$代入$x-3$，得$\frac{5}{2}-3=-\frac{1}{2}≠0$，因此$x=\frac{5}{2}$是原分式方程的解。
【答案】
$x=\frac{5}{2}$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
本题考查分式方程的求解，解题的核心是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，需要注意两点：一是去分母时不要漏乘不含分母的项，二是解完后必须检验，排除增根。
【难度系数】
0.7

四、解答题
8. 先化简,再求值:$(\dfrac{x^2}{x-3}-\dfrac{9}{x-3})·\dfrac{1}{x^2+3x}$,其中$x=\dfrac{1}{3}$。

8. 解:原式$=\frac{x^2-9}{x-3}·\frac{1}{x(x+3)}=\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}·\frac{1}{x(x+3)}=\frac{1}{x}$。当$x=\frac{1}{3}$时,原式$=3$。

【分析】
本题是分式化简求值类题目，遵循先化简再代值的原则可大幅降低计算难度。解题思路如下：第一步先处理括号内的同分母分式减法，按照同分母分式相减、分母不变分子相减的法则计算；第二步对得到的分子、以及第二个分式的分母分别因式分解（分子$x^2-9$用平方差公式分解，分母$x^2+3x$用提公因式法分解）；第三步约去分子分母的公因式得到最简分式；最后将$x$的取值代入最简分式计算结果即可。
【解析】
解：先对原式化简：
原式$=\frac{x^2 - 9}{x - 3}·\frac{1}{x^2 + 3x}$
对分子分母因式分解得：
$=\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}·\frac{1}{x(x+3)}$
约去公因式$x-3$和$x+3$，得：
$=\frac{1}{x}$
将$x=\frac{1}{3}$代入化简后的式子，得：
原式$=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$
【答案】
$3$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；代数式求值
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题型，核心考查分式运算规则和因式分解的基础应用，先化简后代入求值的思路能有效减少计算量，解题时需注意约分的前提是约去的因式不为0。
【难度系数】
0.8

9. 在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF//AC交直线AB于点F，DE//AB交直线AC于点E。
(1)当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC。
(2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明。
(3)若AC=6，DE=4，则DF=。

(1) 证明：
∵ $DF// AC$，$DE// AB$，
∴ 四边形$AFDE$是平行四边形，
∴ $DE = AF$。
∵ $AB = AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$。
∵ $DF// AC$，
∴ $∠ FDB = ∠ C$，
∴ $∠ FDB = ∠ B$，
∴ $DF = FB$。
∵ $AB = AF + FB$，
∴ $AB = DE + DF$，
又∵ $AB = AC$，
∴ $DE + DF = AC$。
(2)
图②的数量关系：$\boldsymbol{DE - DF = AC}$；
图③的数量关系：$\boldsymbol{DF - DE = AC}$。
(3)
分三种情况计算：
1. 当点$D$在边$BC$上时，$DE+DF=AC$，代入$AC=6$，$DE=4$，得$DF=6-4=2$；
2. 当点$D$在边$BC$的延长线上时，$DE-DF=AC$，代入得$4-DF=6$，$DF=-2$，不符合实际，舍去；
3. 当点$D$在边$BC$的反向延长线上时，$DF-DE=AC$，代入得$DF=6+4=10$。
综上，$DF=\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{10}$。

【分析】
(1) 首先由两组对边分别平行可判定四边形AFDE是平行四边形，得到DE与AF的等量关系；再结合等腰三角形底角相等、平行线的同位角相等，推出△FBD为等腰三角形，得到DF与FB的等量关系；最后结合AB=AF+FB、AB=AC，通过等量代换即可证明结论。
(2) 沿用(1)的推导思路，根据点D在BC延长线、反向延长线的位置变化，调整线段的和差关系，即可得到对应数量关系。
(3) 分点D在BC边上、BC延长线上、BC反向延长线上三种情况，分别代入对应数量关系计算，舍去长度为负的不符合实际的解，即可得到DF的取值。
【解析】
(1) 证明：
∵ $DF// AC$，$DE// AB$，
∴ 四边形$AFDE$是平行四边形，
∴ $DE = AF$。
∵ $AB = AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$。
∵ $DF// AC$，
∴ $∠ FDB = ∠ C$，
∴ $∠ FDB = ∠ B$，
∴ $DF = FB$。
∵ $AB = AF + FB$，
∴ $AB = DE + DF$，
又
∵ $AB = AC$，
∴ $DE + DF = AC$。
(2) 结合位置变化推导可得：
图②的数量关系：$DE - DF = AC$；
图③的数量关系：$DF - DE = AC$。
(3) 分三种情况计算：
① 当点$D$在边$BC$上时，代入$DE+DF=AC$，$AC=6$，$DE=4$，得$DF=6-4=2$；
② 当点$D$在边$BC$的延长线上时，代入$DE-DF=AC$，得$4-DF=6$，解得$DF=-2$，线段长度不能为负，舍去；
③ 当点$D$在边$BC$的反向延长线上时，代入$DF-DE=AC$，得$DF=6+4=10$。
综上，DF的取值为2或10。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 图②：$\boldsymbol{DE - DF = AC}$，图③：$\boldsymbol{DF - DE = AC}$；
(3) $\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{10}$
【知识点】
1. 平行四边形的判定与性质
2. 等腰三角形的性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是平行四边形与等腰三角形的综合应用题，核心是通过平行四边形和等腰三角形的性质完成线段的等量代换，解题时要注意动点位置不同时线段和差关系的变化，避免漏解，同时需结合实际意义舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.6