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四、解答题
10.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,且AD＜BC,BC=18cm,CD=15cm,AD=10cm,AB=12cm,动点P,Q分别从A,C同时出发,点P以2cm/s的速度由A向D运动,点Q以3cm/s的速度由C向B运动。
(1)几秒后,四边形ABQP为平行四边形?并求出四边形ABQP的周长。
(2)几秒后,四边形PDCQ为平行四边形?并求出四边形PDCQ的周长。
10.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,且AD＜BC,BC=18cm,CD=15cm,AD=10cm,AB=12cm,动点P,Q分别从A,C同时出发,点P以2cm/s的速度由A向D运动,点Q以3cm/s的速度由C向B运动。
(1)几秒后,四边形ABQP为平行四边形?并求出四边形ABQP的周长。
(2)几秒后,四边形PDCQ为平行四边形?并求出四边形PDCQ的周长。
答案
10.解:(1)设xs后,四边形ABQP为平行四边形,则2x=18-3x,解得x=3.6,
3.6s后,四边形ABQP
为平行四边形,此时四边形ABQP的周长是3.6×2×2+12×2=38.4(cm)。(2)设ys后,四边形PDCQ为平行四边形,则10-2y=3y,解得y=2,
2s后,四边形PDCQ为平行四边形,此时四边形PDCQ的周长是3×2×2+15×2=42(cm)。
解析
【分析】
本题属于动点与平行四边形结合的应用题，解题思路可按以下步骤梳理：①首先由已知AD//BC可知，待判定的两个四边形都已经满足一组对边平行的条件，根据平行四边形“一组对边平行且相等即为平行四边形”的判定定理，只需让这组平行的对边长度相等即可。②将动点运动的路程用含时间的代数式表示，根据边长相等的关系列一元一次方程，求解出对应的时间。③最后利用平行四边形对边相等的性质，代入数值计算对应周长即可。
【解析】
(1) 设x s后，四边形ABQP为平行四边形。
点P的速度为2cm/s，x秒运动的路程AP=2x cm；点Q的速度为3cm/s，x秒运动的路程CQ=3x cm，因此BQ=BC-CQ=(18-3x)cm。
∵AD//BC，
∴AP//BQ，当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，列方程得：
$2x=18-3x$
解得$x=3.6$
此时平行四边形ABQP的周长$=2× AP + 2× AB = 2×2×3.6 + 2×12 = 38.4(\mathrm{cm})$。
(2) 设y s后，四边形PDCQ为平行四边形。
y秒时点P运动的路程AP=2y cm，因此PD=AD-AP=(10-2y)cm，点Q运动的路程CQ=3y cm。
∵AD//BC，
∴PD//QC，当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，列方程得：
$10-2y=3y$
解得$y=2$
此时平行四边形PDCQ的周长$=2× CQ + 2× CD = 2×3×2 + 2×15 = 42(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1)设xs后,四边形ABQP为平行四边形,则2x=18-3x,解得x=3.6,
3.6s后,四边形ABQP为平行四边形,此时四边形ABQP的周长是3.6×2×2+12×2=38.4(cm)。
(2)设ys后,四边形PDCQ为平行四边形,则10-2y=3y,解得y=2,
2s后,四边形PDCQ为平行四边形,此时四边形PDCQ的周长是3×2×2+15×2=42(cm)。
【知识点】
平行四边形的判定；一元一次方程的应用；平行四边形周长计算
【点评】
本题是动点类几何基础题，核心考察平行四边形的判定与性质应用，解题关键是结合动点的运动路程，利用“一组对边平行且相等”的判定条件建立方程求解，难度较低，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
本题属于动点与平行四边形结合的应用题，解题思路可按以下步骤梳理：①首先由已知AD//BC可知，待判定的两个四边形都已经满足一组对边平行的条件，根据平行四边形“一组对边平行且相等即为平行四边形”的判定定理，只需让这组平行的对边长度相等即可。②将动点运动的路程用含时间的代数式表示，根据边长相等的关系列一元一次方程，求解出对应的时间。③最后利用平行四边形对边相等的性质，代入数值计算对应周长即可。
【解析】
(1) 设x s后，四边形ABQP为平行四边形。
点P的速度为2cm/s，x秒运动的路程AP=2x cm；点Q的速度为3cm/s，x秒运动的路程CQ=3x cm，因此BQ=BC-CQ=(18-3x)cm。
∵AD//BC，
∴AP//BQ，当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，列方程得：
$2x=18-3x$
解得$x=3.6$
此时平行四边形ABQP的周长$=2× AP + 2× AB = 2×2×3.6 + 2×12 = 38.4(\mathrm{cm})$。
(2) 设y s后，四边形PDCQ为平行四边形。
y秒时点P运动的路程AP=2y cm，因此PD=AD-AP=(10-2y)cm，点Q运动的路程CQ=3y cm。
∵AD//BC，
∴PD//QC，当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，列方程得：
$10-2y=3y$
解得$y=2$
此时平行四边形PDCQ的周长$=2× CQ + 2× CD = 2×3×2 + 2×15 = 42(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1)设xs后,四边形ABQP为平行四边形,则2x=18-3x,解得x=3.6,
3.6s后,四边形ABQP
为平行四边形,此时四边形ABQP的周长是3.6×2×2+12×2=38.4(cm)。(2)设ys后,四边形PDCQ为平行四边形,则10-2y=3y,解得y=2,
2s后,四边形PDCQ为平行四边形,此时四边形PDCQ的周长是3×2×2+15×2=42(cm)。
【知识点】
平行四边形的判定；一元一次方程的应用；平行四边形周长计算
【点评】
本题是动点类几何基础题，核心考察平行四边形的判定与性质应用，解题关键是结合动点的运动路程，利用“一组对边平行且相等”的判定条件建立方程求解，难度较低，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
11. 如图所示,每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上。
(1)写出点A,B,C的坐标；
(2)以原点O为对称中心,画出△ABC关于原点O对称的△A₁B₁C₁,并写出点A₁,B₁,C₁的坐标。
(1)写出点A,B,C的坐标；
(2)以原点O为对称中心,画出△ABC关于原点O对称的△A₁B₁C₁,并写出点A₁,B₁,C₁的坐标。
答案
解：
(1) 由平面直角坐标系可得各点坐标：
$A(1,-3)$，$B(4,-3)$，$C(3,-1)$。
(2) 分别确定点$A,B,C$关于原点$O$的对称点：
$A_1(-1,3)$，$B_1(-4,3)$，$C_1(-3,1)$，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到所求的$△ A_1B_1C_1$。
(1) 由平面直角坐标系可得各点坐标：
$A(1,-3)$，$B(4,-3)$，$C(3,-1)$。
(2) 分别确定点$A,B,C$关于原点$O$的对称点：
$A_1(-1,3)$，$B_1(-4,3)$，$C_1(-3,1)$，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到所求的$△ A_1B_1C_1$。
解析
【分析】
(1) 确定平面直角坐标系中点的坐标时，横坐标为点向x轴作垂线对应的x轴数值，纵坐标为点向y轴作垂线对应的y轴数值，x轴向右为正、y轴向上为负，观察三个点所在的位置，数对应的格数即可得到坐标。
(2) 关于原点对称的点的坐标规律为横、纵坐标都互为相反数，先根据该规律求出三个顶点的对称点坐标，再在坐标系中描出对称点，顺次连接就能得到对称后的三角形。
【解析】
(1) 观察各点在坐标系中的位置：
点A在x轴正方向1个单位、y轴负方向3个单位处，故坐标为$A(1,-3)$；
点B在x轴正方向4个单位、y轴负方向3个单位处，故坐标为$B(4,-3)$；
点C在x轴正方向3个单位、y轴负方向1个单位处，故坐标为$C(3,-1)$。
(2) 若点$(x,y)$关于原点O对称，对称点的坐标为$(-x,-y)$，据此可得：
A的对称点$A_1(-1,3)$，B的对称点$B_1(-4,3)$，C的对称点$C_1(-3,1)$。
在坐标系中依次描出$A_1、B_1、C_1$三个点，再顺次连接$A_1B_1、B_1C_1、C_1A_1$，即可得到与$△ ABC$关于原点O对称的$△ A_1B_1C_1$。
【答案】
(1) $A(1,-3)$，$B(4,-3)$，$C(3,-1)$；
(2) 作图如上，$A_1(-1,3)$，$B_1(-4,3)$，$C_1(-3,1)$
【知识点】
点的坐标确定；关于原点对称的坐标规律；中心对称作图
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题，主要考察坐标的读写和原点对称的坐标性质，掌握基础规律就能快速准确解答。
【难度系数】
0.8
(1) 确定平面直角坐标系中点的坐标时，横坐标为点向x轴作垂线对应的x轴数值，纵坐标为点向y轴作垂线对应的y轴数值，x轴向右为正、y轴向上为负，观察三个点所在的位置，数对应的格数即可得到坐标。
(2) 关于原点对称的点的坐标规律为横、纵坐标都互为相反数，先根据该规律求出三个顶点的对称点坐标，再在坐标系中描出对称点，顺次连接就能得到对称后的三角形。
【解析】
(1) 观察各点在坐标系中的位置：
点A在x轴正方向1个单位、y轴负方向3个单位处，故坐标为$A(1,-3)$；
点B在x轴正方向4个单位、y轴负方向3个单位处，故坐标为$B(4,-3)$；
点C在x轴正方向3个单位、y轴负方向1个单位处，故坐标为$C(3,-1)$。
(2) 若点$(x,y)$关于原点O对称，对称点的坐标为$(-x,-y)$，据此可得：
A的对称点$A_1(-1,3)$，B的对称点$B_1(-4,3)$，C的对称点$C_1(-3,1)$。
在坐标系中依次描出$A_1、B_1、C_1$三个点，再顺次连接$A_1B_1、B_1C_1、C_1A_1$，即可得到与$△ ABC$关于原点O对称的$△ A_1B_1C_1$。
【答案】
(1) $A(1,-3)$，$B(4,-3)$，$C(3,-1)$；
(2) 作图如上，$A_1(-1,3)$，$B_1(-4,3)$，$C_1(-3,1)$
【知识点】
点的坐标确定；关于原点对称的坐标规律；中心对称作图
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题，主要考察坐标的读写和原点对称的坐标性质，掌握基础规律就能快速准确解答。
【难度系数】
0.8
