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三、解答题
11. 如图，请画出由A地经过B地到河边l的最短路线.
（1）确定由A地到B地的最短路线的依据是
（2）确定由B地到河边l的最短路线的依据是
11. 如图，请画出由A地经过B地到河边l的最短路线.
（1）确定由A地到B地的最短路线的依据是
两点之间，线段最短
；（2）确定由B地到河边l的最短路线的依据是
垂线段最短
.答案
11. 解：如图所示. （1）两点之间，线段最短 （2）垂线段最短
解析
【分析】
要得到A地经过B地到河边l的最短路线，需分段分析最短路径：首先A到B是两点之间的路径问题，根据两点之间线段最短的原理，直接连接两点即可得到该段最短路线；其次B到河边l是直线外一点到已知直线的路径问题，根据垂线段最短的原理，过B作l的垂线段即可得到该段最短路线，两段拼接即为总最短路线，两个填空分别对应这两个原理。
【解析】
1. 画图步骤：
① 用直尺连接点A和点B，得到线段AB，即A地到B地的最短路线；
② 借助三角板作过点B垂直于直线l的垂线段，垂足为点C，线段BC即B地到河边l的最短路线，折线A→B→C即为所求的总最短路线。
2. 依据填空：
（1）A地到B地是两点之间的最短路径，依据为两点之间，线段最短；
（2）B地到河边l是直线外一点到直线的最短路径，依据为垂线段最短。
【答案】
如图所示.
（1）两点之间，线段最短
（2）垂线段最短
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 垂线段的性质
【点评】
本题属于基础的最短路径作图题，分别考查了两点之间、点到直线两类最短路径的基本原理，掌握对应的几何原理和基础作图方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
要得到A地经过B地到河边l的最短路线，需分段分析最短路径：首先A到B是两点之间的路径问题，根据两点之间线段最短的原理，直接连接两点即可得到该段最短路线；其次B到河边l是直线外一点到已知直线的路径问题，根据垂线段最短的原理，过B作l的垂线段即可得到该段最短路线，两段拼接即为总最短路线，两个填空分别对应这两个原理。
【解析】
1. 画图步骤：
① 用直尺连接点A和点B，得到线段AB，即A地到B地的最短路线；
② 借助三角板作过点B垂直于直线l的垂线段，垂足为点C，线段BC即B地到河边l的最短路线，折线A→B→C即为所求的总最短路线。
2. 依据填空：
（1）A地到B地是两点之间的最短路径，依据为两点之间，线段最短；
（2）B地到河边l是直线外一点到直线的最短路径，依据为垂线段最短。
【答案】
如图所示.
（1）两点之间，线段最短
（2）垂线段最短
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 垂线段的性质
【点评】
本题属于基础的最短路径作图题，分别考查了两点之间、点到直线两类最短路径的基本原理，掌握对应的几何原理和基础作图方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
12.（1）已知$∠ 1$和$∠ 2$互为邻补角，且$∠ 1$比$∠ 2$的3倍小$20°$，求$∠ 1$和$∠ 2$的度数；
（2）一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数。
（2）一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数。
答案
12. 解：（1）由题意得$∠ 1=3∠ 2-20°$.
因为$∠ 1$ 和$∠ 2$ 互为邻补角，所以$∠ 1+∠ 2=180°$. 所以 $4∠ 2-20°=180°$. 解得$∠ 2=50°$. 所以$∠ 1=180°-∠ 2=180°-50°=130°$.
（2）设这个角为 $x°$. 根据题意可得$180-x=3(90-x)$. 解得 $x=45$. 即这个角的度数为 $45°$.
因为$∠ 1$ 和$∠ 2$ 互为邻补角，所以$∠ 1+∠ 2=180°$. 所以 $4∠ 2-20°=180°$. 解得$∠ 2=50°$. 所以$∠ 1=180°-∠ 2=180°-50°=130°$.
（2）设这个角为 $x°$. 根据题意可得$180-x=3(90-x)$. 解得 $x=45$. 即这个角的度数为 $45°$.
解析
【分析】
（1）解决第一问首先要明确邻补角的性质：互为邻补角的两个角之和为180°，结合题目给出的∠1和∠2的数量关系，将两个关系联立即可通过解方程求出两个角的度数，先代入数量关系求出∠2，再计算∠1即可。
（2）解决第二问需要先掌握余角、补角的定义：和为90°的两个角互为余角，和为180°的两个角互为补角。我们可以设这个角的度数为未知数，分别表示出它的余角和补角，再根据“补角是余角的3倍”的等量关系列方程求解。
【解析】
（1）由题意可得∠1和∠2的数量关系：$∠ 1=3∠ 2-20°$
因为∠1和∠2互为邻补角，所以$∠ 1+∠ 2=180°$
将$∠ 1=3∠ 2-20°$代入上式得：$3∠ 2-20°+∠ 2=180°$
整理得$4∠ 2=200°$，解得$∠ 2=50°$
则$∠ 1=180°-∠ 2=180°-50°=130°$
（2）设这个角的度数为$x°$，则它的补角为$(180-x)°$，余角为$(90-x)°$
根据题意列方程：$180-x=3(90-x)$
去括号得：$180-x=270-3x$
移项合并同类项得：$2x=90$
解得$x=45$，即这个角的度数为45°
【答案】
（1）$∠ 1=130°$，$∠ 2=50°$；（2）$45°$
【知识点】
邻补角性质，余角与补角，一元一次方程应用
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题关键是熟练掌握邻补角、余角、补角的数量关系，能够结合题干给出的等量关系列方程求解，核心考查方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.85
（1）解决第一问首先要明确邻补角的性质：互为邻补角的两个角之和为180°，结合题目给出的∠1和∠2的数量关系，将两个关系联立即可通过解方程求出两个角的度数，先代入数量关系求出∠2，再计算∠1即可。
（2）解决第二问需要先掌握余角、补角的定义：和为90°的两个角互为余角，和为180°的两个角互为补角。我们可以设这个角的度数为未知数，分别表示出它的余角和补角，再根据“补角是余角的3倍”的等量关系列方程求解。
【解析】
（1）由题意可得∠1和∠2的数量关系：$∠ 1=3∠ 2-20°$
因为∠1和∠2互为邻补角，所以$∠ 1+∠ 2=180°$
将$∠ 1=3∠ 2-20°$代入上式得：$3∠ 2-20°+∠ 2=180°$
整理得$4∠ 2=200°$，解得$∠ 2=50°$
则$∠ 1=180°-∠ 2=180°-50°=130°$
（2）设这个角的度数为$x°$，则它的补角为$(180-x)°$，余角为$(90-x)°$
根据题意列方程：$180-x=3(90-x)$
去括号得：$180-x=270-3x$
移项合并同类项得：$2x=90$
解得$x=45$，即这个角的度数为45°
【答案】
（1）$∠ 1=130°$，$∠ 2=50°$；（2）$45°$
【知识点】
邻补角性质，余角与补角，一元一次方程应用
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题关键是熟练掌握邻补角、余角、补角的数量关系，能够结合题干给出的等量关系列方程求解，核心考查方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.85
13. 如图，直线AF，BD相交于点C，过点C作射线CE，使得CD平分∠ECF，连接AB。若∠B=∠ACB，证明AB//CE。
答案
13. 证明：因为 $CD$ 平分 $∠ ECF$，所以$∠ ECD=∠ DCF$. 因为对顶角相等，所以$∠ ACB=∠ DCF$. 所以$∠ ACB=∠ ECD$. 因为 $∠ B = ∠ ACB$，所以$∠ B=∠ ECD$. 所以 $AB// CE$.
解析
【分析】
要证明AB//CE，可依据“同位角相等，两直线平行”的判定规则，先推导AB和CE被BD所截形成的同位角∠B与∠ECD相等。首先利用角平分线的性质得到一组相等的角，再结合对顶角相等的性质，通过多次等量代换即可得到所需的同位角相等关系，进而证明平行。
【解析】
证明：
∵ CD平分∠ECF，
∴ ∠ECD=∠DCF（角平分线的定义）。
∵ ∠ACB和∠DCF是对顶角，
∴ ∠ACB=∠DCF（对顶角相等）。
∴ ∠ACB=∠ECD（等量代换）。
又
∵ ∠B=∠ACB（已知），
∴ ∠B=∠ECD（等量代换）。
∴ AB//CE（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
证明：因为 $CD$ 平分 $∠ ECF$，所以$∠ ECD=∠ DCF$. 因为对顶角相等，所以$∠ ACB=∠ DCF$. 所以$∠ ACB=∠ ECD$. 因为 $∠ B = ∠ ACB$，所以$∠ B=∠ ECD$. 所以 $AB// CE$.
【知识点】
角平分线的定义；对顶角的性质；平行线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，重点考察角的性质和平行线判定的综合应用，解题的核心是通过等量代换得到判定平行需要的角相等关系，熟练掌握基础定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要证明AB//CE，可依据“同位角相等，两直线平行”的判定规则，先推导AB和CE被BD所截形成的同位角∠B与∠ECD相等。首先利用角平分线的性质得到一组相等的角，再结合对顶角相等的性质，通过多次等量代换即可得到所需的同位角相等关系，进而证明平行。
【解析】
证明：
∵ CD平分∠ECF，
∴ ∠ECD=∠DCF（角平分线的定义）。
∵ ∠ACB和∠DCF是对顶角，
∴ ∠ACB=∠DCF（对顶角相等）。
∴ ∠ACB=∠ECD（等量代换）。
又
∵ ∠B=∠ACB（已知），
∴ ∠B=∠ECD（等量代换）。
∴ AB//CE（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
证明：因为 $CD$ 平分 $∠ ECF$，所以$∠ ECD=∠ DCF$. 因为对顶角相等，所以$∠ ACB=∠ DCF$. 所以$∠ ACB=∠ ECD$. 因为 $∠ B = ∠ ACB$，所以$∠ B=∠ ECD$. 所以 $AB// CE$.
【知识点】
角平分线的定义；对顶角的性质；平行线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，重点考察角的性质和平行线判定的综合应用，解题的核心是通过等量代换得到判定平行需要的角相等关系，熟练掌握基础定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
