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15.已知$x=1$是关于$x$的一元一次方程$ax -1=2(x -b)$的解，$y=1$是关于$y$的一元一次方程$b(y -3)=2(1 -a)$的解.在$y=ax^2 +bx -3$中，求当$x=-3$时，$y$的值.
答案
15.解:将$x=1,y=1$分别代入已知的两个方程,得
$\begin{cases} a - 1 = 2(1 - b), \\ b(1 - 3) = 2(1 - a), \end{cases}$解方程组,得$\begin{cases} a=\dfrac{5}{3}, \\ b=\dfrac{2}{3}, \end{cases}$所以$y = \dfrac{5}{3}x^2 + \dfrac{2}{3}x - 3.$当$x = -3$时,$y = \dfrac{5}{3} × (-3)^2 + \dfrac{2}{3} × (-3) - 3 = 15 - 2 - 3 = 10.$
$\begin{cases} a - 1 = 2(1 - b), \\ b(1 - 3) = 2(1 - a), \end{cases}$解方程组,得$\begin{cases} a=\dfrac{5}{3}, \\ b=\dfrac{2}{3}, \end{cases}$所以$y = \dfrac{5}{3}x^2 + \dfrac{2}{3}x - 3.$当$x = -3$时,$y = \dfrac{5}{3} × (-3)^2 + \dfrac{2}{3} × (-3) - 3 = 15 - 2 - 3 = 10.$
解析
【分析】
解题时首先利用方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。将题目给出的两个方程的解分别对应代入两个一元一次方程，就能得到关于参数a、b的二元一次方程组；接下来求解这个方程组得到a、b的具体数值；再把a、b代入二次代数式$y=ax^2+bx-3$中，得到只含x的代数式；最后将$x=-3$代入该代数式，按运算顺序计算即可求出y的值。
【解析】
解：将$x=1$代入方程$ax -1=2(x -b)$，将$y=1$代入方程$b(y -3)=2(1 -a)$，可得：
$\begin{cases} a - 1 = 2(1 - b) \\ b×(1 - 3) = 2(1 - a) \end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases} a + 2b = 3 ① \\ 2a - 2b = 2 ② \end{cases}$
①+②得：$3a=5$，解得$a=\dfrac{5}{3}$
将$a=\dfrac{5}{3}$代入①得：$\dfrac{5}{3} + 2b =3$，解得$b=\dfrac{2}{3}$
将$a=\dfrac{5}{3}$，$b=\dfrac{2}{3}$代入$y=ax^2+bx-3$，得：
$y = \dfrac{5}{3}x^2 + \dfrac{2}{3}x - 3$
当$x=-3$时，代入上式：
$y = \dfrac{5}{3} × (-3)^2 + \dfrac{2}{3} × (-3) - 3$
$= 15 - 2 - 3$
$=10$
【答案】
$10$
【知识点】
方程的解的定义，二元一次方程组的解法，代数式求值
【点评】
本题属于基础综合题，核心是利用方程解的意义建立参数方程组，解题时注意计算的准确性，尤其是代入负数求值时要注意符号运算规则。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。将题目给出的两个方程的解分别对应代入两个一元一次方程，就能得到关于参数a、b的二元一次方程组；接下来求解这个方程组得到a、b的具体数值；再把a、b代入二次代数式$y=ax^2+bx-3$中，得到只含x的代数式；最后将$x=-3$代入该代数式，按运算顺序计算即可求出y的值。
【解析】
解：将$x=1$代入方程$ax -1=2(x -b)$，将$y=1$代入方程$b(y -3)=2(1 -a)$，可得：
$\begin{cases} a - 1 = 2(1 - b) \\ b×(1 - 3) = 2(1 - a) \end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases} a + 2b = 3 ① \\ 2a - 2b = 2 ② \end{cases}$
①+②得：$3a=5$，解得$a=\dfrac{5}{3}$
将$a=\dfrac{5}{3}$代入①得：$\dfrac{5}{3} + 2b =3$，解得$b=\dfrac{2}{3}$
将$a=\dfrac{5}{3}$，$b=\dfrac{2}{3}$代入$y=ax^2+bx-3$，得：
$y = \dfrac{5}{3}x^2 + \dfrac{2}{3}x - 3$
当$x=-3$时，代入上式：
$y = \dfrac{5}{3} × (-3)^2 + \dfrac{2}{3} × (-3) - 3$
$= 15 - 2 - 3$
$=10$
【答案】
$10$
【知识点】
方程的解的定义，二元一次方程组的解法，代数式求值
【点评】
本题属于基础综合题，核心是利用方程解的意义建立参数方程组，解题时注意计算的准确性，尤其是代入负数求值时要注意符号运算规则。
【难度系数】
0.7
16.某服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知3 m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600 m长的这种布料生产学生服装，分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？
答案
16.解:设用$x$ m布料生产上衣,$y$ m布料生产裤子才能恰好配套,则
$\begin{cases} x + y = 600, \\ \dfrac{2}{3}x = y, \end{cases}$解得$\begin{cases} x = 360, \\ y = 240, \end{cases}$$\dfrac{360}{3} × 2 = 240$(套).
答:用360 m布料生产上衣,240 m布料生产裤子才能恰好配套,共能生产240套.
$\begin{cases} x + y = 600, \\ \dfrac{2}{3}x = y, \end{cases}$解得$\begin{cases} x = 360, \\ y = 240, \end{cases}$$\dfrac{360}{3} × 2 = 240$(套).
答:用360 m布料生产上衣,240 m布料生产裤子才能恰好配套,共能生产240套.
解析
【分析】
这是典型的生产配套类应用题，解题核心是找到两个等量关系：①生产上衣的布料长度+生产裤子的布料长度=总布料长度600m；②生产出的上衣总数量=裤子总数量（才能恰好配套）。我们可以设两个未知数分别表示生产上衣、裤子的布料长度，结合“3m布料做2件上衣、3m布料做3条裤子”的条件，表示出上衣和裤子的总数量，根据等量关系列二元一次方程组即可求解。
【解析】
解：设用$x$ m布料生产上衣，$y$ m布料生产裤子才能恰好配套。
根据总布料长度可列方程：$x + y = 600$
已知1m布料可做上衣$\frac{2}{3}$件，1m布料可做裤子1条，配套时上衣数量等于裤子数量，可列方程：$\frac{2}{3}x = y$
联立得方程组：
$\begin{cases} x + y = 600 \\ \dfrac{2}{3}x = y \end{cases}$
将第二个方程代入第一个方程，得$x+\frac{2}{3}x=600$，解得$x=360$
把$x=360$代入$\frac{2}{3}x = y$，得$y=240$
总生产套数等于上衣（或裤子）的数量：$\frac{360}{3} × 2 = 240$（套）
答：用360 m布料生产上衣，240 m布料生产裤子才能恰好配套，共能生产240套。
【答案】
用360 m布料生产上衣，240 m布料生产裤子才能恰好配套，共能生产240套。
【知识点】
二元一次方程组的应用，配套问题，等量关系建立
【点评】
本题是常见的生产配套类应用题，解题的关键是抓住“配套时对应产品数量相等”的隐含等量关系，只要能准确梳理布料长度与产品数量的换算关系，即可顺利列方程求解。
【难度系数】
0.7
这是典型的生产配套类应用题，解题核心是找到两个等量关系：①生产上衣的布料长度+生产裤子的布料长度=总布料长度600m；②生产出的上衣总数量=裤子总数量（才能恰好配套）。我们可以设两个未知数分别表示生产上衣、裤子的布料长度，结合“3m布料做2件上衣、3m布料做3条裤子”的条件，表示出上衣和裤子的总数量，根据等量关系列二元一次方程组即可求解。
【解析】
解：设用$x$ m布料生产上衣，$y$ m布料生产裤子才能恰好配套。
根据总布料长度可列方程：$x + y = 600$
已知1m布料可做上衣$\frac{2}{3}$件，1m布料可做裤子1条，配套时上衣数量等于裤子数量，可列方程：$\frac{2}{3}x = y$
联立得方程组：
$\begin{cases} x + y = 600 \\ \dfrac{2}{3}x = y \end{cases}$
将第二个方程代入第一个方程，得$x+\frac{2}{3}x=600$，解得$x=360$
把$x=360$代入$\frac{2}{3}x = y$，得$y=240$
总生产套数等于上衣（或裤子）的数量：$\frac{360}{3} × 2 = 240$（套）
答：用360 m布料生产上衣，240 m布料生产裤子才能恰好配套，共能生产240套。
【答案】
用360 m布料生产上衣，240 m布料生产裤子才能恰好配套，共能生产240套。
【知识点】
二元一次方程组的应用，配套问题，等量关系建立
【点评】
本题是常见的生产配套类应用题，解题的关键是抓住“配套时对应产品数量相等”的隐含等量关系，只要能准确梳理布料长度与产品数量的换算关系，即可顺利列方程求解。
【难度系数】
0.7
17.小明的作业本上一个被滴上墨水的方程组如下：$\begin{cases} \blacksquare x + \blacksquare y = 2, ① \\ -11x -7y =8. ② \end{cases}$
小明回忆：“这个方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=-2, \end{cases}$而我求出的解是$\begin{cases} x=-2, \\ y=2, \end{cases}$经检查后发现，我出错是由于抄错了第二个方程中的x的系数.”请你根据小明的回忆，把原方程组还原出来.
小明回忆：“这个方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=-2, \end{cases}$而我求出的解是$\begin{cases} x=-2, \\ y=2, \end{cases}$经检查后发现，我出错是由于抄错了第二个方程中的x的系数.”请你根据小明的回忆，把原方程组还原出来.
答案
17.解:设方程①为$mx + ny = 2$,根据题意可把$\begin{cases} x=3, \\ y=-2, \end{cases}$$\begin{cases} x=-2, \\ y=2 \end{cases}$分别代入此方程,
得$\begin{cases} 3m - 2n = 2, \\ -2m + 2n = 2, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=4, \\ n=5, \end{cases}$即原方程组中方程①为$4x + 5y = 2$. 设原方程组第二个方程中$x$的系数为$a$,因为$\begin{cases} x=3, \\ y=-2 \end{cases}$是原方程组的解,所以把它代入原方程组中第二个方程,得$a × 3 + 14 = 8$,解得$a = -2.$
所以,原方程组为$\begin{cases} 4x + 5y = 2, \\ -2x -7y = 8. \end{cases}$
得$\begin{cases} 3m - 2n = 2, \\ -2m + 2n = 2, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=4, \\ n=5, \end{cases}$即原方程组中方程①为$4x + 5y = 2$. 设原方程组第二个方程中$x$的系数为$a$,因为$\begin{cases} x=3, \\ y=-2 \end{cases}$是原方程组的解,所以把它代入原方程组中第二个方程,得$a × 3 + 14 = 8$,解得$a = -2.$
所以,原方程组为$\begin{cases} 4x + 5y = 2, \\ -2x -7y = 8. \end{cases}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 小明仅抄错了第二个方程中x的系数，说明第一个方程没有抄写错误，因此原方程组的正确解和小明算错得到的解都满足第一个方程，我们可以利用这两组解求出第一个方程的两个未知系数；2. 原方程组的正确解一定满足第二个方程，将正确解代入第二个方程即可求出被墨水遮挡的x的系数，进而还原整个原方程组。
【解析】
设原方程组方程①为$mx + ny = 2$，
因为第一个方程无抄写错误，所以$\begin{cases} x=3, \\ y=-2, \end{cases}$和$\begin{cases} x=-2, \\ y=2 \end{cases}$都满足方程①，代入得：
$\begin{cases} 3m - 2n = 2, \\ -2m + 2n = 2, \end{cases}$
将两个方程相加得$m=4$，
把$m=4$代入$3m - 2n = 2$，得$12 - 2n = 2$，解得$n=5$，
因此方程①为$4x + 5y = 2$。
设原方程组方程②中x的系数为$a$，则方程②为$ax -7y =8$，
因为$\begin{cases} x=3, \\ y=-2 \end{cases}$是原方程组的解，代入方程②得：
$3a -7×(-2) = 8$，即$3a +14 =8$，
解得$a=-2$，
因此方程②为$-2x -7y =8$。
【答案】
$\begin{cases} 4x + 5y = 2, \\ -2x -7y = 8 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，待定系数法
【点评】
本题考查对二元一次方程组解的定义的理解，解题关键是抓住“抄错第二个方程系数时两组解均满足第一个方程”的隐含条件，再结合正确解满足第二个方程即可求出所有未知系数，计算难度较低，注意符号运算不要出错即可。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 小明仅抄错了第二个方程中x的系数，说明第一个方程没有抄写错误，因此原方程组的正确解和小明算错得到的解都满足第一个方程，我们可以利用这两组解求出第一个方程的两个未知系数；2. 原方程组的正确解一定满足第二个方程，将正确解代入第二个方程即可求出被墨水遮挡的x的系数，进而还原整个原方程组。
【解析】
设原方程组方程①为$mx + ny = 2$，
因为第一个方程无抄写错误，所以$\begin{cases} x=3, \\ y=-2, \end{cases}$和$\begin{cases} x=-2, \\ y=2 \end{cases}$都满足方程①，代入得：
$\begin{cases} 3m - 2n = 2, \\ -2m + 2n = 2, \end{cases}$
将两个方程相加得$m=4$，
把$m=4$代入$3m - 2n = 2$，得$12 - 2n = 2$，解得$n=5$，
因此方程①为$4x + 5y = 2$。
设原方程组方程②中x的系数为$a$，则方程②为$ax -7y =8$，
因为$\begin{cases} x=3, \\ y=-2 \end{cases}$是原方程组的解，代入方程②得：
$3a -7×(-2) = 8$，即$3a +14 =8$，
解得$a=-2$，
因此方程②为$-2x -7y =8$。
【答案】
$\begin{cases} 4x + 5y = 2, \\ -2x -7y = 8 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，待定系数法
【点评】
本题考查对二元一次方程组解的定义的理解，解题关键是抓住“抄错第二个方程系数时两组解均满足第一个方程”的隐含条件，再结合正确解满足第二个方程即可求出所有未知系数，计算难度较低，注意符号运算不要出错即可。
【难度系数】
0.7
