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8.用四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形,已知大正方形的面积是144,小正方形的面积是4,若用$x,y$分别表示长方形的长和宽$(x＞y)$,则下列关系式中不正确的是 (
A.$x+y=12$
B.$x-y=2$
C.$xy=35$
D.$x^2 + y^2 =144$
D
)A.$x+y=12$
B.$x-y=2$
C.$xy=35$
D.$x^2 + y^2 =144$
答案
8.D
解析
【分析】
解题时先利用正方形面积公式分别求出大、小正方形的边长，再结合图形特征找到长方形的长x、宽y与两个正方形边长的数量关系，先验证A、B选项是否正确；再通过得到的x和y的关系式求出x、y的具体值，依次计算xy、x²+y²的结果，验证C、D选项，最终选出不正确的关系式。
【解析】
1. 求大正方形边长，验证A选项：
已知大正方形面积是144，根据正方形面积=边长×边长，且$12^2=144$，可得大正方形边长为12。
结合图形可知，大正方形的边长等于长方形的长与宽之和，即$x+y=12$，故A选项正确，不符合题意。
2. 求小正方形边长，验证B选项：
已知小正方形面积是4，且$2^2=4$，可得小正方形边长为2。
结合图形可知，小正方形的边长等于长方形的长与宽之差，即$x-y=2$，故B选项正确，不符合题意。
3. 求解x、y的值，验证C、D选项：
联立$\begin{cases}x+y=12\\x-y=2\end{cases}$，将两个等式相加得$2x=14$，解得$x=7$，代入$x+y=12$得$y=5$。
计算$xy=7×5=35$，故C选项正确，不符合题意；
计算$x^2+y^2=7^2+5^2=49+25=74≠144$，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算，二元一次方程组应用，代数式求值
【点评】
本题是数形结合的典型题型，解题核心是从图形中提取出长、宽和正方形边长的等量关系，再通过代数计算判断选项，既考查了几何图形的性质，也考查了代数运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时先利用正方形面积公式分别求出大、小正方形的边长，再结合图形特征找到长方形的长x、宽y与两个正方形边长的数量关系，先验证A、B选项是否正确；再通过得到的x和y的关系式求出x、y的具体值，依次计算xy、x²+y²的结果，验证C、D选项，最终选出不正确的关系式。
【解析】
1. 求大正方形边长，验证A选项：
已知大正方形面积是144，根据正方形面积=边长×边长，且$12^2=144$，可得大正方形边长为12。
结合图形可知，大正方形的边长等于长方形的长与宽之和，即$x+y=12$，故A选项正确，不符合题意。
2. 求小正方形边长，验证B选项：
已知小正方形面积是4，且$2^2=4$，可得小正方形边长为2。
结合图形可知，小正方形的边长等于长方形的长与宽之差，即$x-y=2$，故B选项正确，不符合题意。
3. 求解x、y的值，验证C、D选项：
联立$\begin{cases}x+y=12\\x-y=2\end{cases}$，将两个等式相加得$2x=14$，解得$x=7$，代入$x+y=12$得$y=5$。
计算$xy=7×5=35$，故C选项正确，不符合题意；
计算$x^2+y^2=7^2+5^2=49+25=74≠144$，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算，二元一次方程组应用，代数式求值
【点评】
本题是数形结合的典型题型，解题核心是从图形中提取出长、宽和正方形边长的等量关系，再通过代数计算判断选项，既考查了几何图形的性质，也考查了代数运算能力。
【难度系数】
0.7
二、填空题
9.若方程$(m + 1)xy + 3y^{|m|} + x = 5$是关于$x,y$的二元一次方程，则$m$的值为
9.若方程$(m + 1)xy + 3y^{|m|} + x = 5$是关于$x,y$的二元一次方程，则$m$的值为
-1
。答案
9.-1
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数为1的整式方程。首先观察方程各项：$(m+1)xy$是x、y次数的和，也就是2次的二次项，要满足“一次”的要求，必须让这个二次项的系数为0，消去二次项；再看$3y^{|m|}$项，它的次数是$|m|$，要符合一次的要求，次数必须等于1；最后还要验证得到的m值代入后，方程确实含有x、y两个未知数，满足二元的要求。
【解析】
根据二元一次方程的定义逐步推导：
1. 消去二次项：方程中$(m+1)xy$是二次项，要使方程为一次方程，需二次项系数为0，即：
$m+1=0$，解得$m=-1$。
2. 验证次数要求：当$m=-1$时，$|m|=|-1|=1$，此时$3y^{|m|}=3y$，是一次项，符合次数规定。
3. 验证二元属性：把$m=-1$代入原方程，得到$0· xy +3y +x =5$，化简为$x+3y=5$，含有x、y两个未知数，且最高次数为1，完全符合二元一次方程的定义。
综上，m的值为-1。
【答案】
-1
【知识点】
二元一次方程的定义；绝对值的性质
【点评】
本题是二元一次方程概念的典型易错题，解题核心是注意到xy项的次数为2，必须令其系数为0消去二次项，不能只关注y项的次数，否则容易出现多解的错误。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数为1的整式方程。首先观察方程各项：$(m+1)xy$是x、y次数的和，也就是2次的二次项，要满足“一次”的要求，必须让这个二次项的系数为0，消去二次项；再看$3y^{|m|}$项，它的次数是$|m|$，要符合一次的要求，次数必须等于1；最后还要验证得到的m值代入后，方程确实含有x、y两个未知数，满足二元的要求。
【解析】
根据二元一次方程的定义逐步推导：
1. 消去二次项：方程中$(m+1)xy$是二次项，要使方程为一次方程，需二次项系数为0，即：
$m+1=0$，解得$m=-1$。
2. 验证次数要求：当$m=-1$时，$|m|=|-1|=1$，此时$3y^{|m|}=3y$，是一次项，符合次数规定。
3. 验证二元属性：把$m=-1$代入原方程，得到$0· xy +3y +x =5$，化简为$x+3y=5$，含有x、y两个未知数，且最高次数为1，完全符合二元一次方程的定义。
综上，m的值为-1。
【答案】
-1
【知识点】
二元一次方程的定义；绝对值的性质
【点评】
本题是二元一次方程概念的典型易错题，解题核心是注意到xy项的次数为2，必须令其系数为0消去二次项，不能只关注y项的次数，否则容易出现多解的错误。
【难度系数】
0.6
10. 已知$\begin{cases} x=2, \\ y=3 \end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程$2ax - 3y =7$的解，那么$a$的值是________。
答案
10.4
解析
【分析】
根据二元一次方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此我们可以先将已知的x、y的值代入原二元一次方程，把原方程转化为只含未知数a的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤计算，就能求出a的值。
【解析】
解：已知$\begin{cases} x=2, \\ y=3 \end{cases}$是二元一次方程$2ax - 3y =7$的解，将$x=2$、$y=3$代入方程得：
$2a×2 - 3×3 =7$
化简可得：$4a - 9 =7$
移项得：$4a=7+9$
合并同类项得：$4a=16$
系数化为1得：$a=4$
【答案】
4
【知识点】
二元一次方程的解的定义，解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，重点考查对二元一次方程解的概念的应用，解题的关键是牢记将方程的解代入原方程后等式仍然成立。
【难度系数】
0.9
根据二元一次方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此我们可以先将已知的x、y的值代入原二元一次方程，把原方程转化为只含未知数a的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤计算，就能求出a的值。
【解析】
解：已知$\begin{cases} x=2, \\ y=3 \end{cases}$是二元一次方程$2ax - 3y =7$的解，将$x=2$、$y=3$代入方程得：
$2a×2 - 3×3 =7$
化简可得：$4a - 9 =7$
移项得：$4a=7+9$
合并同类项得：$4a=16$
系数化为1得：$a=4$
【答案】
4
【知识点】
二元一次方程的解的定义，解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，重点考查对二元一次方程解的概念的应用，解题的关键是牢记将方程的解代入原方程后等式仍然成立。
【难度系数】
0.9
11. 已知方程组$\begin{cases}x + 2y = 4k, \\2x + y = 6 - k,\end{cases}$若$x + y = 2024$，则$k =$ ______ .
答案
11.2022
解析
【分析】
解题时先观察方程组中两个方程的系数特点，可发现两个方程里x的系数之和为3，y的系数之和也为3，因此无需单独求解x、y的具体值，直接将两个方程的左右两边分别相加，就能整理得到x+y关于k的表达式，再结合已知条件x+y=2024，代入表达式即可求出k的值，使用整体代入的思路比分别求解x、y更简便。
【解析】
解：记方程组为：
$\begin{cases}x + 2y = 4k&① \\2x + y = 6 - k&②\end{cases}$
将①+②，左边相加得：$x+2y+2x+y=3x+3y=3(x+y)$
右边相加得：$4k + 6 - k = 3k + 6$
因此可得$3(x+y)=3k+6$，两边同时除以3得：$x+y = k + 2$
已知$x+y=2024$，将其代入上式得：$k + 2 = 2024$
解得$k=2024-2=2022$
【答案】
2022
【知识点】
二元一次方程组的解法，整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整体思想在二元一次方程组计算中的应用，通过观察方程系数特征选择整体相加的方法，可大幅简化计算步骤，避免单独求解x、y的繁琐运算。
【难度系数】
0.8
解题时先观察方程组中两个方程的系数特点，可发现两个方程里x的系数之和为3，y的系数之和也为3，因此无需单独求解x、y的具体值，直接将两个方程的左右两边分别相加，就能整理得到x+y关于k的表达式，再结合已知条件x+y=2024，代入表达式即可求出k的值，使用整体代入的思路比分别求解x、y更简便。
【解析】
解：记方程组为：
$\begin{cases}x + 2y = 4k&① \\2x + y = 6 - k&②\end{cases}$
将①+②，左边相加得：$x+2y+2x+y=3x+3y=3(x+y)$
右边相加得：$4k + 6 - k = 3k + 6$
因此可得$3(x+y)=3k+6$，两边同时除以3得：$x+y = k + 2$
已知$x+y=2024$，将其代入上式得：$k + 2 = 2024$
解得$k=2024-2=2022$
【答案】
2022
【知识点】
二元一次方程组的解法，整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整体思想在二元一次方程组计算中的应用，通过观察方程系数特征选择整体相加的方法，可大幅简化计算步骤，避免单独求解x、y的繁琐运算。
【难度系数】
0.8
12. 已知二元一次方程$2x + 3y - 1 = 0$的一个解为$\begin{cases}x = a, \\ y = b,\end{cases}$则$2a + 3b + 2024 =$ ______ .
答案
12.2025
解析
【分析】
解题时首先回忆二元一次方程解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=a、y=b是方程的解，所以将其代入原方程即可得到关于a、b的等式，整理就能得出2a+3b的整体值，再把这个整体值直接代入待求的代数式计算即可，无需单独求出a、b的具体值，用整体代入法更简便。
【解析】
∵ $\begin{cases}x = a \\ y = b\end{cases}$ 是二元一次方程$2x + 3y - 1 = 0$的一个解，
∴ 将$\begin{cases}x = a \\ y = b\end{cases}$代入方程得：$2a + 3b - 1 = 0$，
移项可得：$2a + 3b = 1$，
将$2a + 3b = 1$代入$2a + 3b + 2024$得：
原式$=1 + 2024 = 2025$。
【答案】
2025
【知识点】
二元一次方程的解的定义；代数式求值
【点评】
本题考查对二元一次方程解的概念的应用，核心是利用方程的解满足原方程得到所求代数式中含字母部分的整体值，属于基础题，熟练掌握整体代入的思想可以快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二元一次方程解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=a、y=b是方程的解，所以将其代入原方程即可得到关于a、b的等式，整理就能得出2a+3b的整体值，再把这个整体值直接代入待求的代数式计算即可，无需单独求出a、b的具体值，用整体代入法更简便。
【解析】
∵ $\begin{cases}x = a \\ y = b\end{cases}$ 是二元一次方程$2x + 3y - 1 = 0$的一个解，
∴ 将$\begin{cases}x = a \\ y = b\end{cases}$代入方程得：$2a + 3b - 1 = 0$，
移项可得：$2a + 3b = 1$，
将$2a + 3b = 1$代入$2a + 3b + 2024$得：
原式$=1 + 2024 = 2025$。
【答案】
2025
【知识点】
二元一次方程的解的定义；代数式求值
【点评】
本题考查对二元一次方程解的概念的应用，核心是利用方程的解满足原方程得到所求代数式中含字母部分的整体值，属于基础题，熟练掌握整体代入的思想可以快速解题。
【难度系数】
0.9
三、解答题
13. 解下列方程组：
(1) $\begin{cases} \dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{4} = 1, \\ \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 2; \end{cases}$
(2)
13. 解下列方程组：
(1) $\begin{cases} \dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{4} = 1, \\ \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 2; \end{cases}$
(2)
答案
13.(1)$\begin{cases} x=\dfrac{60}{17}, \\ y=\dfrac{12}{17} \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=\dfrac{26}{23}, \\ y=\dfrac{8}{23} \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=\dfrac{26}{23}, \\ y=\dfrac{8}{23} \end{cases}$
解析
【分析】
求解二元一次方程组的核心思路是消元，先将原方程组中含分母、括号的方程通过去分母、去括号、合并同类项化简为标准的二元一次方程组形式，再选择加减消元法或代入消元法消去一个未知数，求出另一个未知数的值后，代入回方程求出剩余未知数即可。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases} \dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{4} = 1① \\ \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 2② \end{cases}$
第一步：去分母，①两边同乘12得：$4x - 3y = 12$ ③；②两边同乘6得：$3x + 2y = 12$ ④
第二步：加减消元，③×2得：$8x - 6y = 24$ ⑤；④×3得：$9x + 6y = 36$ ⑥
第三步：⑤+⑥得：$17x = 60$，解得$x=\dfrac{60}{17}$
第四步：把$x=\dfrac{60}{17}$代入③，得$4×\dfrac{60}{17} - 3y =12$，解得$y=\dfrac{12}{17}$
(2) 对于方程组$\begin{cases} \dfrac{x+y}{2} + \dfrac{x-y}{3} = 1① \\ 4(x+y) - 5(x-y) = 2② \end{cases}$
第一步：化简方程，①两边同乘6去分母得：$3(x+y)+2(x-y)=6$，展开合并同类项得：$5x + y =6$ ③
第二步：化简②，去括号得：$4x+4y -5x +5y =2$，合并同类项得：$-x +9y =2$ ④
第三步：代入消元，由③得$y=6-5x$，代入④得：$-x +9(6-5x)=2$
第四步：计算得$-x +54 -45x =2$，即$-46x=-52$，解得$x=\dfrac{26}{23}$
第五步：把$x=\dfrac{26}{23}$代入$y=6-5x$，得$y=6 -5×\dfrac{26}{23}=\dfrac{8}{23}$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=\dfrac{60}{17} \\ y=\dfrac{12}{17} \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=\dfrac{26}{23} \\ y=\dfrac{8}{23} \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，去分母法则，消元法
【点评】
本题是二元一次方程组求解的常规题型，解题的关键是先将非标准形式的方程组化简为标准形式，计算时要注意去分母时不要漏乘常数项、去括号时注意符号变化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
求解二元一次方程组的核心思路是消元，先将原方程组中含分母、括号的方程通过去分母、去括号、合并同类项化简为标准的二元一次方程组形式，再选择加减消元法或代入消元法消去一个未知数，求出另一个未知数的值后，代入回方程求出剩余未知数即可。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases} \dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{4} = 1① \\ \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 2② \end{cases}$
第一步：去分母，①两边同乘12得：$4x - 3y = 12$ ③；②两边同乘6得：$3x + 2y = 12$ ④
第二步：加减消元，③×2得：$8x - 6y = 24$ ⑤；④×3得：$9x + 6y = 36$ ⑥
第三步：⑤+⑥得：$17x = 60$，解得$x=\dfrac{60}{17}$
第四步：把$x=\dfrac{60}{17}$代入③，得$4×\dfrac{60}{17} - 3y =12$，解得$y=\dfrac{12}{17}$
(2) 对于方程组$\begin{cases} \dfrac{x+y}{2} + \dfrac{x-y}{3} = 1① \\ 4(x+y) - 5(x-y) = 2② \end{cases}$
第一步：化简方程，①两边同乘6去分母得：$3(x+y)+2(x-y)=6$，展开合并同类项得：$5x + y =6$ ③
第二步：化简②，去括号得：$4x+4y -5x +5y =2$，合并同类项得：$-x +9y =2$ ④
第三步：代入消元，由③得$y=6-5x$，代入④得：$-x +9(6-5x)=2$
第四步：计算得$-x +54 -45x =2$，即$-46x=-52$，解得$x=\dfrac{26}{23}$
第五步：把$x=\dfrac{26}{23}$代入$y=6-5x$，得$y=6 -5×\dfrac{26}{23}=\dfrac{8}{23}$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=\dfrac{60}{17} \\ y=\dfrac{12}{17} \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=\dfrac{26}{23} \\ y=\dfrac{8}{23} \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，去分母法则，消元法
【点评】
本题是二元一次方程组求解的常规题型，解题的关键是先将非标准形式的方程组化简为标准形式，计算时要注意去分母时不要漏乘常数项、去括号时注意符号变化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
14. 已知$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$是方程组$\begin{cases} 2x + (m - 1)y = 2, \\ nx + y = 1 \end{cases}$的解，求$(m + n)^{2025}$的值。
答案
14.解:把$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$代入方程组,得:
$\begin{cases} 4 + (m - 1) = 2, \\ 2n + 1 = 1, \end{cases}$解得$\begin{cases} m = -1, \\ n = 0, \end{cases}$
所以$(m + n)^{2025} = (-1)^{2025} = -1.$
$\begin{cases} 4 + (m - 1) = 2, \\ 2n + 1 = 1, \end{cases}$解得$\begin{cases} m = -1, \\ n = 0, \end{cases}$
所以$(m + n)^{2025} = (-1)^{2025} = -1.$
解析
【分析】
解题时首先要明确二元一次方程组的解的含义：方程组的解能同时满足方程组中的所有方程。第一步先将已知的$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$代入原方程组，就能得到两个仅含参数m、n的一元一次方程；第二步分别解这两个一元一次方程，求出m和n的具体数值；第三步把m、n的值代入代数式$(m+n)^{2025}$，按照乘方的运算规则算出最终结果即可。
【解析】
解：把$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$代入方程组$\begin{cases} 2x + (m - 1)y = 2, \\ nx + y = 1 \end{cases}$，得：
$\begin{cases} 2×2 + (m - 1)×1 = 2, \\ 2n + 1 = 1 \end{cases}$
化简后得到：
$\begin{cases} 4 + m - 1 = 2, \\ 2n + 1 = 1 \end{cases}$
分别求解两个方程：
对$4 + m - 1 = 2$整理得$m+3=2$，解得$m=-1$；
对$2n + 1 = 1$整理得$2n=0$，解得$n=0$。
将$m=-1$、$n=0$代入$(m+n)^{2025}$计算：
$(m+n)^{2025}=(-1+0)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义，解一元一次方程，有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考点是方程组解的性质，代入解转化为一元一次方程求解参数后再计算代数式的值，整体逻辑清晰，计算难度低，掌握方程组解的含义就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确二元一次方程组的解的含义：方程组的解能同时满足方程组中的所有方程。第一步先将已知的$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$代入原方程组，就能得到两个仅含参数m、n的一元一次方程；第二步分别解这两个一元一次方程，求出m和n的具体数值；第三步把m、n的值代入代数式$(m+n)^{2025}$，按照乘方的运算规则算出最终结果即可。
【解析】
解：把$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$代入方程组$\begin{cases} 2x + (m - 1)y = 2, \\ nx + y = 1 \end{cases}$，得：
$\begin{cases} 2×2 + (m - 1)×1 = 2, \\ 2n + 1 = 1 \end{cases}$
化简后得到：
$\begin{cases} 4 + m - 1 = 2, \\ 2n + 1 = 1 \end{cases}$
分别求解两个方程：
对$4 + m - 1 = 2$整理得$m+3=2$，解得$m=-1$；
对$2n + 1 = 1$整理得$2n=0$，解得$n=0$。
将$m=-1$、$n=0$代入$(m+n)^{2025}$计算：
$(m+n)^{2025}=(-1+0)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义，解一元一次方程，有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考点是方程组解的性质，代入解转化为一元一次方程求解参数后再计算代数式的值，整体逻辑清晰，计算难度低，掌握方程组解的含义就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
