10 如图，$△ ABD$，$△ AEC$都是等边三角形，$DC$与$BE$交于点$O$，则$∠ BOC$的度数是。

（第10题图）
（第11题图）

10.120° 【解析】
∵△ABD,△AEC都是等边三角形,
∴AD=AB,AE=AC,∠DAB=∠CAE=∠ADB=∠DBA=60°,
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
∴∠DAC=∠BAE,
∴△DAC≌△BAE(SAS),
∴∠ADC=∠ABE,
∴∠BOC=∠BDO+∠DBA+∠ABE = ∠BDO + ∠DBA + ∠ADC = ∠ADB + ∠DBA = 60°+60° = 120°,
∴∠BOC的度数是120°.

11 新考法[2026江苏盐城期中]如图,在$△ ABC$中,$BP$,$CP$分别平分$∠ ABC$,$∠ ACB$,且$PD// AB$,$PE// AC$,$△ PDE$的周长为$10$,则$BC$的长为.

11.10 【解析】
∵BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB,
∴∠PBA=∠PBD,∠PCA=∠PCE.
∵PD//AB,PE//AC,
∴∠DPB=∠PBA,∠EPC=∠PCA,
∴∠DPB=∠PBD,∠EPC=∠PCE,
∴BD=PD,CE=PE,
∴BC=BD+DE+CE=PD+DE+PE.
∵△PDE的周长为10,
∴PD+DE+PE=10,
∴BC=PD+DE+PE=10.故答案为10.

12 过等腰三角形顶角顶点的一条直线,将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形,则原等腰三角形的底角度数为.

12.36°或45° 【解析】如图(1),△ABC中,AB=AC,BD=AD,AC=CD,
∴∠ABC=∠C=∠BAD,∠CDA=∠CAD,
∴∠CDA=2∠ABC,
∴∠CAB=3∠ABC.
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴5∠ABC=180°,
∴∠ABC=36°.如图(2),△ABC中,AB=AC,AD=BD=CD,
∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB,
∴∠BAC=2∠ABC.
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴4∠ABC=180°,
∴∠ABC=45°.故答案为36°或45°.

13 如图，AB,CD相交于点E,AD=DE,BC=BE,F,G,H分别为AE,CE,BD的中点,∠A=α,则∠FHG=.(用含α的代数式表示)

13.180°-2α 【解析】连接DF,BG.
∵DA=DE,BE=BC,AF=EF,EG=CG,
∴DF⊥AE,BG⊥EC,
∴∠DFB=∠DGB=90°.
∵在Rt△BDF和Rt△BDG中,DH=BH,
∴FH=DH=BH=GH,
∴∠HFB=∠HBF,∠HDG=∠HGD.
∵DA=DE,
∴∠A=∠DEA=α.
∵∠AED=∠EDB+∠EBD,
∴∠EDB + ∠EBD = α,
∴∠FHG=180°-∠FHD-∠GHB=180°-2∠HBF-2∠HDG=180°-2α,故答案为180°-2α.

三、解答题(共38分)
14[2026江苏无锡期中]放学后，爸爸带小莉在餐馆用餐，爸爸指着装饮料的小玻璃瓶问小莉，能不能测量出小玻璃瓶内部底面的直径？小莉看了一下她的文具盒，里面有一把直尺和一枚图钉，桌上还有两根相同的用于搅拌饮料的细长的扁木条(如图为示意图).请你帮小莉设计一个测量方案并说明理由.

14.【解】如图,用图钉将两根相同的扁木条的中点钉在一起,木条可以绕中点O自由转动,把木条伸进玻璃瓶内,转动木条,使内部两木条的端点紧贴玻璃瓶,这时测量AC,AC的长就是玻璃瓶内部底面的直径. 理由:在△AOC和△BOD中,
∵AO=BO,∠AOC=∠BOD,CO=DO,
∴△AOC≌△BOD,
∴BD=AC. 故AC的长就是玻璃瓶内部底面的直径.

15[2025河南安阳期末]如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC$的平分线交$BC$于点$D$.
(1)尺规作图:在$AC$上求作一点$E$,使$∠ ADE=∠ ADB$(不要求写作法,保留作图痕迹),作图依据是(填“SSS,SAS,ASA或AAS”).
(2)在(1)的条件下,求证:$△ ABD≌△ AED$.
(3)在(1)的条件下,已知$AB=9$,$△ CDE$的周长为15,求$△ ABC$的周长.

15.(1)【解】如图,点E即为所求作,作图依据是SSS.故答案为SSS.
(2)【证明】
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAB=∠DAE. 在△ABD和△AED中,$\begin{cases}∠DAB=∠DAE,\\AD=AD,\\∠ADB=∠ADE,\end{cases}$
∴△ABD≌△AED(ASA).
(3)【解】由(2)可知△ABD≌△AED,
∴BD=DE,AB=AE=9.
∵△CDE的周长为15,
∴CD+DE+CE=15,
∴CD+BD+CE=BC+CE=15,
∴△ABC的周长为AB+BC+CE+AE=9+15+9=33.

16[2026江苏苏州期中]如图，$△ ABC$是边长为$a$的等边三角形，$P$是$AC$边上一动点，且由$A$向$C$运动（与$A,C$不重合），$Q$是$CB$延长线上一点，与点$P$同时以相同的速度由$B$向$CB$延长线方向运动（$Q$不与$B$重合），过$P$作$PE ⊥ AB$于$E$，连接$PQ$交$AB$于$D$.
（1）当$∠ BQD=30°$时，证明：$△ APD$是直角三角形；
（2）若$QB=BD$，$AE=1$，则$AD=$；
（3）在运动过程中，线段$ED$的长是否发生变化？如果不变，求出线段$ED$的长；如果变化，请说明理由.

16.(1)【证明】
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=BC=CA=a.
∵∠ABC=∠BQD+∠BDQ,∠BQD=30°,
∴∠BDQ=30°,
∴∠ADP=∠BDQ=30°,
∴∠A + ∠ADP = 90°,
∴∠APD = 90°,
∴△APD是直角三角形.
(2)【解】
∵QB=BD,
∴∠BQD=∠BDQ.
∵∠ABC=∠BQD+∠BDQ,
∴∠BDQ=∠BQD=30°,
∴∠BDQ=∠ADP=30°,
∴∠A+∠ADP=90°,
∴∠APD=90°,
∴△APD是直角三角形,
∴AD=2AP.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°.
∵PE⊥AB,
∴∠AEP=90°,
∴∠APE=30°,
∴AP=2AE,
∴AD=4AE.
∵AE=1,
∴AD=4,故答案为4.
(3)线段ED的长不会发生变化.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°.
∵PE⊥AB,
∴∠AEP=90°,
∴∠APE=30°,
∴AP=2AE.设AP=QB=2x,则AE=x.如图,过点P作PF//BC交AB于点F,
∴∠APF=∠ACB=60°,∠AFP=∠ABC=60°,
∴△APF是等边三角形,
∴AF=PF=AP=2x,
∴AE=EF=x,
∴BF=AB-AE-EF=a-2x.
∵QB=AP,
∴QB=PF.
∵PF//BC,
∴∠DPF=∠DQB.在△DPF和△DQB中,$\begin{cases}∠FDP=∠BDQ,\\∠DPF=∠DQB,\\PF=QB,\end{cases}$
∴△DPF≌△DQB(AAS),
∴DF=DB=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{a}{2}-x$,
∴ED=EF+DF=x+$\frac{a}{2}-x$=$\frac{a}{2}$,故线段ED的长不会发生变化,且ED=$\frac{a}{2}$.
思路分析
(1)根据题意得,∠ABC = ∠A = 60° = ∠BQD + ∠BDQ,结合∠BQD=30°,可得∠BDQ=30°,则∠BDQ=∠ADP=30°,可证∠APD=90°,即可证明△APD是直角三角形;
(2)证明△APD是直角三角形,利用直角三角形的性质解答即可;
(3)设AP=QB=2x,则AE=x,过点P作PF//BC交AB于点F,证明△APF是等边三角形,得BF=AB-AE-EF=a-2x,证明△DPF≌△DQB(AAS),得到DF=DB=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{a}{2}-x$,结合ED=EF+DF=x+$\frac{a}{2}-x$=$\frac{a}{2}$解答即可.