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1[2025江苏南京质检,中]如图,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点$(-1,1)$,第2次接着运动到点$(-2,0)$,第3次接着运动到点$(-3,2)$,…,按这样的运动规律,经过第2023次运动后,动点P的坐标是 (
A.$(-2023,0)$
B.$(-2023,1)$
C.$(-2023,2)$
D.$(2023,0)$
C
)A.$(-2023,0)$
B.$(-2023,1)$
C.$(-2023,2)$
D.$(2023,0)$
答案
1. C 【解析】点 P 的横坐标为运动次数的相反数,纵坐标每 4 次一循环,依次是 1,0,2,0. 因 为 2 023 = 505×4……3,所以经过第 2 023 次运动后,动点 P 的横坐标为-2 023,纵坐标为2,即 P(-2 023,2),故选 C.
2[2025江苏宿迁期末,中]如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆$O_1$,半圆$O_2$,半圆$O_3$,…组成一条平滑的曲线,点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒$\frac{π}{2}$个单位长度,则第2021秒时,点P的坐标是 (
A.(2020,0)
B.(2021,-1)
C.(2021,1)
D.(2022,0)
C
)A.(2020,0)
B.(2021,-1)
C.(2021,1)
D.(2022,0)
答案
2. C 【解析】半径为 1 个单位长度的半圆的周长为$\frac{1}{2}×2π×1=π$. 因为点 P 从原点 O 出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒$\frac{π}{2}$个单位长度,所以点 P 每秒走$\frac{1}{2}$个半圆. 当点 P 运动时间为 1 秒时,点 P 的坐标为 (1,1),当点 P运动时间为 2 秒时,点 P 的坐标为 (2,0),当点 P 运动时间为 3 秒时,点 P 的坐标为 (3,-1),当点 P 运动时间为 4 秒时,点 P 的坐标为 (4,0),当点 P 运动时间为 5 秒时,点 P 的坐标为 (5,1),当点 P 运动时间为 6 秒时,点 P 的坐标为 (6,0),…. 因为 2 021 ÷ 4 = 505……1,所以点 P 的坐标是 (2 021,1),故选 C.
3[2025江苏盐城调研,中]在平面直角坐标系中,对于点$P(x,y)$,我们把点$P'(-y+1,x+1)$叫做点$P$的伴随点.已知点$A_1$的伴随点为$A_2$,点$A_2$的伴随点为$A_3$,点$A_3$的伴随点为$A_4$,$···$,这样依次得到点$A_2,A_3,···,A_n$.若点$A_1$的坐标为$(2,4)$,则点$A_{2022}$的坐标为（
A.$(3,-1)$
B.$(-2,-2)$
C.$(-3,3)$
D.$(2,4)$
C
）A.$(3,-1)$
B.$(-2,-2)$
C.$(-3,3)$
D.$(2,4)$
答案
思路分析
根据“伴随点”的定义依次求出各点的坐标,发现每4个点为一个循环组依次循环,用 2 022除以 4,根据商和余数的情况确定点$A_{2022}$的坐标即可.
关键点拨
通过观察可知右下标(除$A_1$外)是数字4的倍数的点在第二象限,4的倍数余1的点在第四象限,4的倍数余2的点在第一象限,4的倍数余3的点在第二象限.
3. C 【解析】因为$A_1$的坐标为$(2,4)$,所以$A_2(-3,3),A_3(-2,-2),A_4(3,-1),A_5(2,4),…$,依次类推,每 4 个点为一个循环组依次循环. 因为$2 022 ÷ 4 = 505 …… 2$,所以点$A_{2022}$的坐标与$A_2$的坐标相同,为$(-3,3)$. 故选 C.
根据“伴随点”的定义依次求出各点的坐标,发现每4个点为一个循环组依次循环,用 2 022除以 4,根据商和余数的情况确定点$A_{2022}$的坐标即可.
关键点拨
通过观察可知右下标(除$A_1$外)是数字4的倍数的点在第二象限,4的倍数余1的点在第四象限,4的倍数余2的点在第一象限,4的倍数余3的点在第二象限.
3. C 【解析】因为$A_1$的坐标为$(2,4)$,所以$A_2(-3,3),A_3(-2,-2),A_4(3,-1),A_5(2,4),…$,依次类推,每 4 个点为一个循环组依次循环. 因为$2 022 ÷ 4 = 505 …… 2$,所以点$A_{2022}$的坐标与$A_2$的坐标相同,为$(-3,3)$. 故选 C.
4[2025北京西城区质检,中]如图,一机器人从原点出发按图示方向做折线运动,第1次从原点运动到$A_1(1,0)$,第2次运动到$A_2(1,1)$,第3次运动到$A_3(-1,1)$,第4次运动到$A_4(-1,-1)$,第5次运动到$A_5(2,-1)$,$···$,则第15次运动到的点$A_{15}$的坐标是 (
A.$(4,4)$
B.$(-4,4)$
C.$(-4,3)$
D.$(5,-4)$
B
)A.$(4,4)$
B.$(-4,4)$
C.$(-4,3)$
D.$(5,-4)$
答案
4. B 【解析】每一象限的点的特点：
第一象限：$A_2(1,1),2=4×0+2;A_6(2,2),6=4×1+2;A_{10}(3,3),10=4×2+2;…;A_{4n+2}(n+1,n+1)$
第二象限：$A_3(-1,1),3=4×0+3;A_7(-2,2),7=4×1+3;…;A_{4n+3}(-n-1,n+1)$
第三象限：$A_4(-1,-1),4=4×1;A_8(-2,-2),8=4×2;…;A_{4n}(-n,-n)$
第四象限：$A_5(2,-1),5=4×1+1;A_9(3,-2),9=4×2+1;…;A_{4n+1}(n+1,-n)$
15=4×3+3,则$A_{15}$在第二象限,根据规律可得点$A_{15}$的坐标是$(-4,4)$.
第一象限：$A_2(1,1),2=4×0+2;A_6(2,2),6=4×1+2;A_{10}(3,3),10=4×2+2;…;A_{4n+2}(n+1,n+1)$
第二象限：$A_3(-1,1),3=4×0+3;A_7(-2,2),7=4×1+3;…;A_{4n+3}(-n-1,n+1)$
第三象限：$A_4(-1,-1),4=4×1;A_8(-2,-2),8=4×2;…;A_{4n}(-n,-n)$
第四象限：$A_5(2,-1),5=4×1+1;A_9(3,-2),9=4×2+1;…;A_{4n+1}(n+1,-n)$
15=4×3+3,则$A_{15}$在第二象限,根据规律可得点$A_{15}$的坐标是$(-4,4)$.
5[2025安徽合肥期中，中]如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，即$(0,1),(0,2),(1,2),(1,3),(0,3),(-1,3),\dots$，根据这个规律，探索可得第100个点的坐标为（
A.$(2,14)$
B.$(-2,13)$
C.$(3,14)$
D.$(-3,13)$
A
）A.$(2,14)$
B.$(-2,13)$
C.$(3,14)$
D.$(-3,13)$
答案
5. A 【解析】
第一步：$(0,1)$,纵坐标是 1 的点共 1 个;$(0,2)$,$(1,2)$,纵坐标是 2 的点共 2 个;$(1,3)$,$(0,3)$,$(-1,3)$,纵坐标是 3 的点共 3 个;…,依次类推,纵坐标是$n$的点共有$n$个. 从第 2 个点开始,纵坐标是奇数的从右到左计数,最左边点的横坐标为$\frac{-(n-1)}{2}$;纵坐标是偶数的从左到右计数,最右边点的横坐标为$\frac{n}{2}$
第二步：纵坐标是 1 到纵坐标是$n$的点共有$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$个
第三步：当$n=13$时,$\frac{13×(13+1)}{2}=91$,当$n=14$时,$\frac{14×(14+1)}{2}=105$,所以$n=14$
第四步：由上可知第 100 个点的纵坐标为 14,根据$n=14$这一行的规律:共有 14 个点,从左到右计数,最右边点的横坐标为$\frac{n}{2}$,所以$14÷2=7$,所以第 105 个点的坐标为$(7,14)$,第 104 个点的坐标为$(6,14)$,第 103 个点的坐标为$(5,14)$,第 102 个点的坐标为$(4,14)$,第 101 个点的坐标为$(3,14)$,第 100 个点的坐标为$(2,14)$,故选 A
第一步：$(0,1)$,纵坐标是 1 的点共 1 个;$(0,2)$,$(1,2)$,纵坐标是 2 的点共 2 个;$(1,3)$,$(0,3)$,$(-1,3)$,纵坐标是 3 的点共 3 个;…,依次类推,纵坐标是$n$的点共有$n$个. 从第 2 个点开始,纵坐标是奇数的从右到左计数,最左边点的横坐标为$\frac{-(n-1)}{2}$;纵坐标是偶数的从左到右计数,最右边点的横坐标为$\frac{n}{2}$
第二步：纵坐标是 1 到纵坐标是$n$的点共有$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$个
第三步：当$n=13$时,$\frac{13×(13+1)}{2}=91$,当$n=14$时,$\frac{14×(14+1)}{2}=105$,所以$n=14$
第四步：由上可知第 100 个点的纵坐标为 14,根据$n=14$这一行的规律:共有 14 个点,从左到右计数,最右边点的横坐标为$\frac{n}{2}$,所以$14÷2=7$,所以第 105 个点的坐标为$(7,14)$,第 104 个点的坐标为$(6,14)$,第 103 个点的坐标为$(5,14)$,第 102 个点的坐标为$(4,14)$,第 101 个点的坐标为$(3,14)$,第 100 个点的坐标为$(2,14)$,故选 A
6[2026江苏南通质检,中]如图,在平面直角坐标系中,有若干个横、纵坐标分别为整数的点,其顺序按图中箭头方向排列,即(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2),…,根据这个规律,第2025个点的坐标为
(45,0)
.答案
6. (45,0) 【解析】第 1 个点的坐标为 (1,0),第 9 个点的坐标为 (3,0),第 25 个点的坐标为 (5,0),…,所以第$(2n-1)^2$个点的坐标可表示为$(2n-1,0)$. 当$n=23$时,$(2n-1)^2=2 025$,$2n-1=45$,即第 2 025 个点的坐标为(45,0). 故答案为(45,0).
