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1[2026福建福州期中，中]在平面直角坐标系中，若点$M(5,m)$，$N(-5,m)$（$m≠0$），则直线MN与x轴、y轴的位置关系分别为（
A.平行、垂直
B.平行、平行
C.垂直、平行
D.相交、相交
A
）A.平行、垂直
B.平行、平行
C.垂直、平行
D.相交、相交
答案
∵ 点 M(5,m),N(-5,m),
∴ 点M,N 的纵坐标相等,
∴ 直线 MN//x 轴,直线MN⊥y 轴,故选 A.
2[2026 广东深圳期中,中]在平面直角坐标系中,若点$A(4,2)$与$B(a+1,a-4)$的连线与$y$轴平行,则点$B$的坐标为
(4,-1)
.答案
∵ 点 A(4,2) 与 B(a+1,a-4) 的连线与 y 轴平行,
∴ 它们的横坐标相等,即 4=a+1,解得 a=3,则点 B 的纵坐标为 a-4=3-4=-1,
∴ 点 B 的坐标为(4,-1).故答案为(4,-1).
3[2026江苏南京调研,中]在平面直角坐标系中,已知线段AB平行于纵轴,B(1,-1),A(1,1),若B点固定,A点绕B点旋转使线段AB与横轴平行,则可得A点的对应点的坐标是什么？
答案
∵ B(1,-1),A(1,1),
∴ AB=2. 如图,当点 A 的对应点在点 B 左侧时,A₁(1-2,-1),即(-1,-1);当点 A 的对应点在点 B 右侧时,A₂(1+2,-1),即 A₂(3,-1). 综上,A 点的对应点的坐标是(-1,-1)或(3,-1).
4[2026 山东临沂期中,中]在平面直角坐标系中,已知点$P(2a-7,3-a)$.
(1)若点$P$在$x$轴上,求点$P$的坐标;
(2)若点$P$的纵坐标比横坐标大$4$,求点$P$的坐标;
(3)若点$Q(5,4)$,且$PQ$与坐标轴垂直,求点$P$的坐标.
(1)若点$P$在$x$轴上,求点$P$的坐标;
(2)若点$P$的纵坐标比横坐标大$4$,求点$P$的坐标;
(3)若点$Q(5,4)$,且$PQ$与坐标轴垂直,求点$P$的坐标.
答案
(1)
∵ 点 P 在 x 轴上,
∴ 点 P 的纵坐标为 0,
∴ 3-a=0,解得 a=3,则 2a-7=-1,
∴ 点 P 的坐标为(-1,0).
(2)由题意得(3-a)-(2a-7)=4,
∴ a=2,
∴ 2a-7=-3,3-a=1,
∴ 点 P 的坐标为(-3,1).
(3)当 PQ⊥x 轴时,点 P 和点 Q 的横坐标相等,即 2a-7=5,解得 a=6,
∴ 3-a=3-6=-3,
∴ 点 P 的坐标为(5,-3);当 PQ⊥y 轴时,点 P 和点 Q 的纵坐标相等,即 3-a=4,解得 a=-1,
∴ 2a-7=2×(-1)-7=-9,
∴ 点 P 的坐标为(-9,4). 综上,点 P 的坐标为(5,-3)或(-9,4).
∵ 点 P 在 x 轴上,
∴ 点 P 的纵坐标为 0,
∴ 3-a=0,解得 a=3,则 2a-7=-1,
∴ 点 P 的坐标为(-1,0).
(2)由题意得(3-a)-(2a-7)=4,
∴ a=2,
∴ 2a-7=-3,3-a=1,
∴ 点 P 的坐标为(-3,1).
(3)当 PQ⊥x 轴时,点 P 和点 Q 的横坐标相等,即 2a-7=5,解得 a=6,
∴ 3-a=3-6=-3,
∴ 点 P 的坐标为(5,-3);当 PQ⊥y 轴时,点 P 和点 Q 的纵坐标相等,即 3-a=4,解得 a=-1,
∴ 2a-7=2×(-1)-7=-9,
∴ 点 P 的坐标为(-9,4). 综上,点 P 的坐标为(5,-3)或(-9,4).
5[2026江苏苏州期末,较难]如下图,所有正方形对角线的交点均在坐标原点处,且各边与x轴或y轴平行,从内到外,它们的边长依次为2,4,6,8,…,顶点依次用$A_1,A_2,A_3,A_4;A_5,A_6,A_7,A_8;…$表示.
(1)请直接写出点$A_5,A_6,A_7,A_8$的坐标.
(2)根据规律,求出点$A_{2025}$的坐标.
(1)请直接写出点$A_5,A_6,A_7,A_8$的坐标.
(2)根据规律,求出点$A_{2025}$的坐标.
答案
(1)通过观察,可得 A₅(-2,-2),A₆(-2,2),A₇(2,2),A₈(2,-2).
(2)观察发现 A₁(-1,-1),A₂(-1,1),A₃(1,1),A₄(1,-1),A₅(-2,-2),A₆(-2,2),A₇(2,2),A₈(2,-2),A₉(-3,-3),…,所以$ A_{4n+1}(-n-1,-n-1),A_{4n+2}(-n-1,n+1),A_{4n+3}(n+1,n+1),A_{4n+4}(n+1,-n-1),n $为自然数. 因为 2025=506×4+1,所以点 A₂₀₂₅ 的坐标为(-507,-507).
(2)观察发现 A₁(-1,-1),A₂(-1,1),A₃(1,1),A₄(1,-1),A₅(-2,-2),A₆(-2,2),A₇(2,2),A₈(2,-2),A₉(-3,-3),…,所以$ A_{4n+1}(-n-1,-n-1),A_{4n+2}(-n-1,n+1),A_{4n+3}(n+1,n+1),A_{4n+4}(n+1,-n-1),n $为自然数. 因为 2025=506×4+1,所以点 A₂₀₂₅ 的坐标为(-507,-507).
6[2026甘肃兰州质检,较难]在平面直角坐标系中,给出如下定义:点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”.
(1)点A(-3,5)的“长距”为
(2)若点C(-2,3b-2)的“长距”为4,且点C在第二象限内,点D的坐标为(9-2b,-5),请判断点D是否在象限的角平分线上,并说明理由.
(1)点A(-3,5)的“长距”为
5
;(2)若点C(-2,3b-2)的“长距”为4,且点C在第二象限内,点D的坐标为(9-2b,-5),请判断点D是否在象限的角平分线上,并说明理由.
答案
(1)
∵ 点 A(-3,5)到 x 轴的距离为|5|=5,到 y 轴的距离为|-3|=3,
∴ 较大值为 5,
∴ 点 A 的“长距”为 5,故答案为 5.
(2)点 D 在象限的角平分线上. 理由如下:
∵ 点 C(-2,3b-2)的“长距”为 4,且点 C 在第二象限内,
∴ 3b-2＞0,到 x 轴的距离为|3b-2|,到 y 轴的距离为|-2|=2,
∴ 3b-2=4,解得 b=2,
∴ 9-2b=5,
∴ 点 D 的坐标为(5,-5),
∴ 点 D 的横、纵坐标互为相反数,且点 D 在第四象限,
∴ 点 D 在第四象限的角平分线上,
∴ 点 D 在象限的角平分线上.
∵ 点 A(-3,5)到 x 轴的距离为|5|=5,到 y 轴的距离为|-3|=3,
∴ 较大值为 5,
∴ 点 A 的“长距”为 5,故答案为 5.
(2)点 D 在象限的角平分线上. 理由如下:
∵ 点 C(-2,3b-2)的“长距”为 4,且点 C 在第二象限内,
∴ 3b-2＞0,到 x 轴的距离为|3b-2|,到 y 轴的距离为|-2|=2,
∴ 3b-2=4,解得 b=2,
∴ 9-2b=5,
∴ 点 D 的坐标为(5,-5),
∴ 点 D 的横、纵坐标互为相反数,且点 D 在第四象限,
∴ 点 D 在第四象限的角平分线上,
∴ 点 D 在象限的角平分线上.
