1[中]若点$A(a,4)$在第二象限,则点$A$关于直线$m$(直线$m$上各点的横坐标都是2)对称的点的坐标是（）

A.$(-a,4)$
B.$(4-a,4)$
C.$(-a-4,-4)$
D.$(-a-2,-4)$

1.B 【解析】因为直线$m$上各点的横坐标都是2,所以直线$m$为过点$(2,0)$且与$x$轴垂直的一条直线. 因为点$A(a,4)$在第二象限,所以点$A$到直线$m$的距离为$2-a$,所以点$A$关于直线$m$对称的点的横坐标是$2-a+2=4-a$,故点$A$关于直线$m$对称的点的坐标是$(4-a,4)$.故选B.

2[2025浙江衢州期末,中]已知第一象限内有一点$P(2,3)$,点$P$关于$x$轴的对称点为$P_1$,$P_1$关于$y$轴的对称点为$P_2$,$P_2$关于$x$轴的对称点为$P_3$,按此规律,依次得到$P_4,P_5,P_6,···$,则点$P_{2025}$的坐标为 ()

A.$(2,3)$
B.$(2,-3)$
C.$(-2,-3)$
D.$(-2,3)$

2.B 【解析】因为第一象限内有一点$P(2,3)$,点$P$关于$x$轴的对称点为$P_1$,所以$P_1(2,-3)$. 因为$P_1$关于$y$轴的对称点为$P_2$,所以$P_2(-2,-3)$. 因为$P_2$关于$x$轴的对称点为$P_3$,所以$P_3(-2,3)$. 因为$P_3$关于$y$轴的对称点为$P_4$,所以$P_4(2,3)$. 因为$P_4$关于$x$轴的对称点为$P_5$,所以$P_5(2,-3)$,…,由此可得,每4个点为一组循环. 因为$2025÷4=506······1$,所以点$P_{2025}$的坐标为$(2,-3)$,故选B.

3[2026 浙江宁波期中,中]如图,已知点A(1,-4),B(5,-1),点P(m,0)是x轴上一动点,点Q(0,n)是y轴上一动点,则四边形ABPQ的最小周长为.

3.$5+\sqrt{61}$ 【解析】如图,作点A关于y轴的对称点$A'$,作点B关于x轴的对称点$B'$,连接$A'B'$,与y轴交于点Q,与x轴交于点P,$\therefore BP=B'P$,$AQ=A'Q$,此时四边形ABPQ的周长有最小值,为$A'Q+QP+PB'+AB=A'B'+AB$. $\because$ 点$A(1,-4)$,点$B(5,-1)$,$\therefore$ 点$A'(-1,-4)$,点$B'(5,1)$,$AB = \sqrt{(5-1)^2+(-1+4)^2} = 5$, $\therefore A' B' = \sqrt{(5+1)^2+(1+4)^2} = \sqrt{61}$, $\therefore$ 最小周长为$A'B'+AB=5+\sqrt{61}$. 故答案为$5+\sqrt{61}$.

4[中]如图,在平面直角坐标系中,已知$△ ABC$的顶点A的坐标为$(4,3)$.
(1)若$△ ABC$是关于直线$y=1$对称的轴对称图形,点C在对称轴上,求点B的坐标;
(2)若$△ ABC$是关于直线$y=a(a≤ 3)$对称的轴对称图形,点C在对称轴上,求点B的坐标.(用含a的式子表示)

4.【解】(1)根据题意可知,点A和点B是关于直线$y=1$对称的对应点,所以它们到直线$y=1$的距离相等,是2个单位,且$AB⊥ x$轴,所以点B的坐标是$(4,-1)$.
(2)由题意可知,点A和点B是关于直线$y=a(a≤ 3)$对称的对应点,所以它们到直线$y=a$的距离相等,是$(3-a)$个单位,且$AB⊥ x$轴,所以点B的横坐标为4,纵坐标为$a-(3-a)=2a-3$,所以点B的坐标为$(4,2a-3)$.

5[2025黑龙江哈尔滨质检,中]如图,在平面直角坐标系中,直线l为第一、三象限的角平分线.点P关于y轴的对称点为P的一次反射点,记为P₁,点P₁关于直线l的对称点称为点P的二次反射点,记为P₂.例如,点(-1,2)的一次反射点为(1,2),二次反射点为(2,1).根据定义,回答下列问题:
(1)点(3,-4)的一次反射点为,二次反射点为;
(2)若P(m+1,2n-1)的一次反射点和Q(-3,4)的二次反射点重合,求m+n的值.

@刷素养 走向重高

5.【解】(1)根据题意,可得点$(3,-4)$的一次反射点为$(-3,-4)$,二次反射点为$(-4,-3)$. 故答案为$(-3,-4),(-4,-3)$.
(2)因为$P(m+1,2n-1)$,所以P的一次反射点为$(-m-1,2n-1)$. 因为$Q(-3,4)$,所以Q的一次反射点为$(3,4)$,Q的二次反射点为$(4,3)$. 因为$P(m+1,2n-1)$的一次反射点和$Q(-3,4)$的二次反射点重合,所以$-m-1=4$,$2n-1=3$,所以$m=-5$,$n=2$,所以$m+n=-5+2=-3$.

6 核心素养几何直观[难]已知三点$A(1,2),B(1,3),C(0,6)$，点$P$为$y$轴上一动点.
(1)在图中找到点$P$，使得$△ OAP$与$△ CBP$周长的和取得最小值，此时点$P$的坐标应为；
(2)当$∠ APB=40°$时，$∠ OAP+∠ PBC$的度数为.

6. (1)$\boldsymbol{(0,\dfrac{5}{2})}$ (2)$\boldsymbol{175°}$ 【解析】(1)如图(1), 因为$A(1,2),B(1,3),C(0,6)$,所以OA,BC是定长,所以当$△ OAP$与$△ CBP$周长的和取得最小值时,点P在线段OC上. 因为$OP+PC = OC = 6$, 所以$△ OAP$与$△ CBP$周长的和为$OA+AP+OP+PC+BC+BP=OA+BC+OC+AP+BP$,所以当$AP+BP$的值最小时,$△ OAP$与$△ CBP$周长的和取得最小值. 作点A关于y轴的对称点$A'$,连接$A'B$,则$A'B$与y轴的交点即为所求的点P. 易得$A'(-1,2)$,P是$A'B$的中点,所以$P(\dfrac{1-1}{2},\dfrac{2+3}{2})$,即$P(0,\dfrac{5}{2})$. 故答案为$(0,\dfrac{5}{2})$.
(2)如图(2),过点B作$BD⊥ OC$于D,作点A关于y轴的对称点$A'$,$AA'$交y轴于点E,连接$A'B$,$OA'$,$OB$,$AB$. 因为$CD=OD=3$,所以$BC = OB$,所以$∠ BCO=∠ BOC$. 由轴对称的性质得$OA=OA'$,$∠ OAE=∠ OA'E$,$∠ AOE=∠ A'OE$. 因为$AB=AE=1$,$AA'=OE=2$,$∠ BAA'=∠ AEO=90°$,所以$△ A'AB≌△ OEA(\mathrm{SAS})$,所以$∠ BA'A=∠ AOE$,$A'B=OA=OA'$. 因为$∠ AOE+∠ OAE=90°$,所以$∠ OA'E+∠ AA'B=90°$,即$∠ BA'O=90°$. 因为$A'B=OA=OA'$,所以$△ OA'B$是等腰直角三角形,$∠ BOA' = 45°$, 所以$∠ BOD + ∠ A'OE= ∠ BCD + ∠ AOE = 45°$. 因为$∠ APB = 40°$,所以$∠ ABP+∠ BAP = 140°$,所以$∠ OAP+∠ PBC=360°-140°-45°=175°$,故答案为$175°$.