1[2026湖北武汉期末,中]我们知道,如果已知一点M相对于定点O的距离和方向,那么这个点就被唯一确定了.这就是说,我们可用角度和距离来确定平面上点的相对位置.
如图(1),在平面内取一个定点O,叫作极点,引一条射线OP,叫作极轴,对于平面内任一点M,用r表示线段OM的长度,θ(0°≤θ＜360°)表示以OP为始边,逆时针旋转后∠POM的大小,r叫作点M的极径,θ叫作点M的极角,有序数对(r,θ)就叫作点M的极坐标,这样就在平面上建立了极坐标系.极坐标为(r,θ)的点M,可表示为M(r,θ).建立极坐标系后,给定r和θ就可以在平面内确定唯一的点.
如图(2),如果点D的位置为(3,5),点A的位置为(4,0).
(1)请表示点B与点C的位置;
(2)若以O为极点,OP为极轴,写出A点、B点和C点的极坐标.

拓展2 教材P134 综合与实践

1.【解】(1)B点的位置为(0,3),C点的位置为(2,2).
(2)连接OC,如图. A点极坐标为(4,0°),B点极坐标为(3,90°).
∵C点位置为(2,2),
∴∠COP=45°,OC=√8,
∴C点的极坐标为(√8,45°).

2[2025江苏南京期末,较难]如图(1),汽车以速度v(m/s)匀速行驶,若一路绿灯通过路口A,B,C,D且$10≤v≤25$,则称v为绿波速度.已知各路口红灯、绿灯均每隔30 s交替一次,其余因素忽略不计.
Ⅰ.从红绿灯设置到绿波速度.
设汽车在第0秒出发,行驶t s后路程为s m.
(1)路段BC的长度为m,路口A绿灯亮起s后路口D绿灯亮起.
(2)求出射线$OC_3$所对应的v值,判断此时v是否为绿波速度,并说明理由.
(3)写出这种红绿灯设置下绿波速度的取值范围,并在图(2)中画出对应的示意图.
Ⅱ.从绿波速度到红绿灯设置.
(4)当$v=20$ m/s时,汽车经过的每个路口绿灯都恰好开始亮起.根据题意,在图(3)中画图表示各路口(除A)的红绿灯设置.

2.【解】(1)路口C对应1 400 m处,路口B对应800 m处,因此路段BC的长度为1 400-800=600(m). D₁对应的t表示绿灯亮起的时刻,为10 s,路口A绿灯0 s时就已经亮了,所以路口A绿灯亮起10 s后路口D绿灯亮起,故答案为600,10.
(2)C₁对应的时间为10 s,C₁C₂与C₂C₃各经过30 s,故C₃对应的时间为70 s,所以C₃(70,1 400),所以射线OC₃所对应的v=$\frac{1400}{70}$=20(m/s).不是绿波速度. 理由:由题图(2)可知汽车在路口D遇到红灯,所以不是绿波速度.
(3)由(2)知v=20 m/s不是绿波速度的原因是在路口D遇到了红灯,所以当汽车刚好在D₅通过D路口时,易知D₅(130,2 400),所以此时v=$\frac{2400}{130}$=$\frac{240}{13}$(m/s);当汽车刚好在D₆通过路口D时,易知D₆(160,2 400),所以此时v=$\frac{2400}{160}$=15(m/s),所以绿波速度的取值范围是$15≤v≤\frac{240}{13}$. 对应的示意图如图(1)中阴影部分.

(4)当v=20 m/s时,汽车经过的每个路口绿灯都恰好开始亮起,则可知汽车经过路口D的时刻为$\frac{2400}{20}$=120(s),故在图(2)中找到点P(120,2 400),连接OP,将OP依次向右平移30 s,60 s,90 s,…,所以所求的红绿灯设置如图(2)所示.

思路分析
(4) 当 v = 20 m/s 时,汽车经过的每个路口绿灯都恰好开始亮起,则可知汽车经过路口 D 的时刻为 $\frac{2400}{20}$ = 120(s),故在题图(3)中找到点 P(120,2 400),连接 OP,将 OP 依次向右平移 30 s, 60 s, 90 s……作出图形即可.