1 不能判定两个直角三角形全等的条件是 （）

A.两个锐角对应相等
B.两条直角边对应相等
C.斜边和一锐角对应相等
D.斜边和一条直角边对应相等

1.A 【解析】A选项,全等三角形的判定必须有边的参与,故本选项错误,符合题意;B选项,符合SAS的判定定理,故本选项正确,不符合题意;C选项,符合AAS的判定定理,故本选项正确,不符合题意;D选项,符合HL的判定定理,故本选项正确,不符合题意. 故选A.

2[2025江苏泰州期中]图(1)是$Rt△ ABC$，其中$∠ ABC=90°$，图(2)是嘉琪在已有$∠ MB'N=90°$的情况下，画$Rt△ A'B'C'$，使$Rt△ A'B'C' ≌ Rt△ ABC$的部分过程，其依据是（）


A.SAS
B.ASA
C.SSS
D.HL

2.D 【解析】由作图可知$B'C' = BC$,$A'C' = AC$. 又$\because ∠ MB'N = ∠ ABC = 90°$,$\therefore Rt△ A'B'C' ≌ Rt△ ABC(HL)$,故选D.

3 新考法[2026河南鹤壁期中]数学课上,老师给出了如下问题:如图(1),已知∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,求证:AB+CD=AD.小明是这样想的:要证明AB+CD=AD,只需要在AD上找到一点F,再证明AF=AB,DF=CD即可(如图(2)).下列作辅助线的方法中,不能证明AB+CD=AD的是 ()


A.过点E作EF⊥AD交AD于点F
B.在AD上取一点F,使DF=DC,连接EF
C.在AD上取一点F,使∠DEF=∠DEC,连接EF
D.在AD上取一点F,使EF=DE

3.D 【解析】A选项,过点E作$EF ⊥ AD$交AD于点F,可得$∠ DFE = 90°$,则$∠ DFE = ∠ C$.
∵ DE 平分$∠ ADC$, $\therefore ∠ FDE = ∠ CDE$. 在$△ DCE$ 和 $△ DFE$ 中, $\begin{cases}∠ C = ∠ DFE,\\∠ CDE = ∠ FDE,\\DE = DE,\end{cases}$
$\therefore △ DCE ≌ △ DFE ( AAS )$ , $\therefore CE = EF, DC = DF$. $\because E$ 是 BC 的中点, $\therefore CE = EB, \therefore EF = EB$.
在 $Rt △ ABE$ 和 $Rt △ AFE$ 中, $\begin{cases}AE = AE,\\BE = FE,\end{cases}$
$\therefore Rt △ ABE ≌ Rt △ AFE ( HL )$ , $\therefore AF = AB$,
$\therefore AD = AF + DF = AB + CD$.
B选项,在 AD 上取一点 F,使 $DF = DC$,连接 EF. $\because DE$ 平分$∠ ADC$, $\therefore ∠ FDE = ∠ CDE$. 在$△ DCE$ 和 $△ DFE$ 中, $\begin{cases}DC = DF,\\∠ CDE = ∠ FDE,\\DE = DE,\end{cases}$
$\therefore △ DCE ≌ △ DFE ( SAS )$ , $\therefore CE = EF$, $∠ DFE = ∠ C = 90°$,$\therefore ∠ AFE = 90° = ∠ B$. $\because E$ 是 BC 的中点, $\therefore CE = EB, \therefore EF = EB$. 在$Rt △ ABE$ 和 $Rt △ AFE$ 中, $\begin{cases}AE = AE,\\BE = FE,\end{cases}$
$\therefore Rt △ ABE ≌ Rt △ AFE ( HL )$ , $\therefore AF = AB$,
$\therefore AD = AF + DF = AB + CD$.
C选项,在 AD 上取一点 F,使 $∠ DEF = ∠ DEC$,连接 EF. $\because DE$ 平分$∠ ADC$, $\therefore ∠ FDE = ∠ CDE$. 在$△ DCE$ 和 $△ DFE$ 中,
$\begin{cases}∠ DEC = ∠ DEF,\\DE = DE,\\∠ CDE = ∠ FDE,\end{cases}$
$\therefore △ DCE ≌ △ DFE ( ASA )$ ,
$\therefore CE = EF, DC = DF, ∠ DFE = ∠ C = 90°$,
$\therefore ∠ AFE = 90° = ∠ B$. $\because E$ 是 BC 的中点, $\therefore CE = EB, \therefore EF = EB$. 在 $Rt △ ABE$ 和 $Rt △ AFE$ 中,
$\begin{cases}AE = AE,\\BE = FE,\end{cases}$ $\therefore Rt △ ABE ≌ Rt △ AFE ( HL )$ ,
$\therefore AF = AB, \therefore AD = AF + DF = AB + CD$.
D选项,如图,在AD上取一点F,使$EF = DE$. 根据已知条件不能证明$AF = AB, DF = CD$,
$\therefore$ 这种作辅助线的方法不能证明$AB + CD = AD$. 故选D.

4 如图,在$△ ABC$中,$∠ C = 90°$,$DE ⊥ AB$于$D$,交$AC$于点$E$,若$BC = BD$,$AC = 6\ \mathrm{cm}$,$BC = 8\ \mathrm{cm}$,$AB = 10\ \mathrm{cm}$,则$△ ADE$的周长是 cm.

4.8 【解析】连接 BE, 如图.
$\because ∠ C = 90°, DE ⊥ AB$ 于 D,
$\therefore ∠ C = ∠ BDE = 90°$. 在 $Rt △ BCE$ 与 $Rt △ BDE$ 中, $\begin{cases}BE = BE,\\BC = BD,\end{cases}$
$\therefore Rt △ BCE ≌ Rt △ BDE ( HL )$ ,
$\therefore DE = CE$. $\because AB = 10\ \mathrm{cm}, BC = 8\ \mathrm{cm}, AC = 6\ \mathrm{cm}$,$\therefore △ ADE$ 的周长为 $DE + AE + AD = CE + AE + AB - BD = AC + AB - BC = 6 + 10 - 8 = 8 ( \mathrm{cm} )$,
故答案为 8.

5[2025湖南长沙期末]如图,有两个长度相等的滑梯BC,EF靠在一面竖直的墙上.已知AC=DF,当DF=3,DE=4,AD=1时,求BF的长度.

5.【解】根据题意,得 $BC = EF, AC = DF, ∠ BAC = ∠ EDF = 90°$,$\therefore Rt △ ABC ≌ Rt △ DEF ( HL )$ ,
$\therefore AB = DE = 4$,$\therefore BF = AB + AD + DF = 4 + 1 + 3 = 8$.
答:BF 的长度为 8.
思路分析
先根据“HL”判定出$Rt△ABC≌ Rt△DEF$,再根据全等三角形的性质求出AB的长,即可求出BF的长度.

6 如图,已知∠A=∠D=90°,E,F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF.求证:Rt△ABF≌Rt△DCE.

6.【证明】$\because BE = CF, \therefore BE + EF = CF + EF$, 即 $BF = CE$. $\because ∠ A = ∠ D = 90°$,$\therefore △ ABF$ 与 $△ DCE$ 都为直角三角形. 在 $Rt △ ABF$ 和 $Rt △ DCE$ 中, $\begin{cases}BF = CE,\\AB = CD,\end{cases}$
$\therefore Rt △ ABF ≌ Rt △ DCE ( HL )$.

7[2026北京昌平区期中]如图,四边形ABCD中,AB=AC,∠D=90°,BE⊥AC于点F,交CD于点E,连接EA,AF=AD.
(1)求证:EA平分∠DEF;
(2)求证:BF=CD.

7.【证明】(1)$\because ∠ D = 90°, BE ⊥ AC$,$\therefore ∠ AFE = ∠ ADE = 90°$. $\because AF = AD, AE = AE$,$\therefore Rt △ AFE ≌ Rt △ ADE ( HL )$,$\therefore ∠ AEF = ∠ AED$,$\therefore EA$ 平分$∠ DEF$.
(2) 在 $Rt △ AFB$ 和 $Rt △ ADC$ 中, $\begin{cases}AB = AC,\\AF = AD,\end{cases}$
$\therefore Rt △ AFB ≌ Rt △ ADC ( HL )$ ,
$\therefore BF = CD$.
关键点拨
首先证明$△ ABC≌△ AFE$,得出$AB=AF$,再证明$Rt△AGF≌ Rt△AGB$,得出$∠EAG=∠FAG$即可解决问题.