1[中]如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,延长AB至点E,使AE=AC,过E作EF⊥AC于点F,EF交BC于点G,连接AG,若∠C=40°,则∠EAG的度数是 ()

A.25°
B.20°
C.30°
D.35°

(第1题图)
(第2题图)

1.A 【解析】$\because ∠ ABC = 90°, EF ⊥ AC$,$\therefore ∠ ABC = ∠ AFE = 90°$. 在 $△ AEF$ 与 $△ ACB$ 中,
$\begin{cases}∠ EAF = ∠ CAB,\\∠ AFE = ∠ ABC,\\AE = AC,\end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ ACB ( AAS )$ ,
$\therefore AF = AB$. $\because ∠ ABC = 90°, ∠ C = 40°$,
$\therefore ∠ BAC = 50°$. 在 $Rt △ ABG$ 和 $Rt △ AFG$ 中,
$\begin{cases}AG = AG,\\AB = AF,\end{cases}$ $\therefore Rt △ ABG ≌ Rt △ AFG ( HL )$ ,
$\therefore ∠ EAG = ∠ FAG = \frac{1}{2}×50° = 25°$. 故选 A.

2[2026江苏无锡调研,中]如图,长方形ABCD中(对边相等,四个角都是直角),E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F,若CF=1,FD=3,则BF的长为.

2.7 【解析】如图,连接 EF. 在长方形 ABCD 中,$AB = CD, ∠ A = ∠ D = 90°$. $\because$ 将 $△ ABE$ 沿 BE 折叠后得到 $△ GBE$,E 是 AD 的中点, $\therefore BG = AB$, $∠ EGB = ∠ A = 90°$, $EG = AE = ED$,
$\therefore ∠ EGF = 90° = ∠ D$. 在 $Rt △ EGF$ 与 $Rt △ EDF$ 中, $\begin{cases}EF = EF,\\EG = ED,\end{cases}$ $\therefore Rt △ EGF ≌ Rt △ EDF ( HL )$ ,
$\therefore FG = FD$. $\because CF = 1, FD = 3$,$\therefore AB = CD = CF + FD = 1 + 3 = 4, FG = FD = 3$,$\therefore BG = AB = 4$,
$\therefore BF = BG + FG = 4 + 3 = 7$,故答案为 7.

3 新考法[2026江苏镇江调研,中]如图,用直角三角尺$ABC$($∠ ACB=90°$)摆放两次可以画出$∠ MON$的平分线,图中是第一次摆放的位置,请用尺规作出该直角三角尺第二次摆放的位置$△ A_2B_2C_2$,再用没有刻度的直尺画出$∠ MON$的平分线,并说明这种方法的正确性.

刷素养 走向重高

3.【解】如图,$△ A_2B_2C_2$ 为直角三角尺 ABC 第二次摆放的位置,延长 $CB, C_2B_2$ 交于点 K,作射线 OK,则射线 OK 是 $∠ MON$ 的平分线. 由题意得 $OC = OC_2, ∠ BCO = ∠ B_2C_2O = 90°$. 又 $\because OK = OK$, $\therefore Rt △ OKC ≌ Rt △ OKC_2 ( HL )$ ,
$\therefore ∠ KOC = ∠ KOC_2$,$\therefore$ 射线 OK 是 $∠ MON$ 的平分线.

4 思想方法分类讨论[2026上海虹口区调研,较难]
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定不能全等吗？
在学完全等三角形的判定后,我们知道判定两个三角形全等的方法有SSS、SAS、ASA、AAS以及HL,而AAA、SSA都不能判定两个三角形全等.那么符合"SSA"条件的两个三角形一定不
能全等吗？下面我们来进行探究.
【提出问题】在$△ ABC$与$△ DEF$中,$AB=DE$,$AC=DF$,$∠ ABC=∠ DEF$,判断$△ ABC$与$△ DEF$是否全等.
【探究1】填空:如图(1),如果$∠ ABC=∠ DEF=90°$,那么$△ ABC$与$△ DEF$ (填"一定""不一定"或"一定不")全等,理由是.

4.【探究1】$\because ∠ ABC = ∠ DEF = 90°, AB = DE, AC = DF$,$\therefore Rt △ ABC ≌ Rt △ DEF ( HL )$,故$△ ABC$与$△ DEF$一定全等,理由是 HL. 故答案为一定,HL.
【探究2】$△ ABC$与$△ DEF$一定全等. 证明:如图(1),过点 A 作 $AM ⊥ BC$ 交 CB 的延长线于 M,过点 D 作 $DN ⊥ EF$ 交 FE 的延长线于 N.

$\because ∠ ABC = ∠ DEF ＞ 90°$,$\therefore 180° - ∠ ABC = 180° - ∠ DEF$,即 $∠ ABM = ∠ DEN$. 在 $△ ABM$ 和 $△ DEN$ 中, $\begin{cases}∠ ABM = ∠ DEN,\\∠ M = ∠ N = 90°,\\AB = DE,\end{cases}$ $\therefore △ ABM ≌ △ DEN ( AAS )$,$\therefore AM = DN$. 在 $Rt △ ACM$ 和 $Rt △ DFN$ 中, $\begin{cases}AC = DF,\\AM = DN,\end{cases}$ $\therefore Rt △ ACM ≌ Rt △ DFN ( HL )$,$\therefore ∠ C = ∠ F$. 在 $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 中, $\begin{cases}∠ C = ∠ F,\\∠ ABC = ∠ DEF,\\AB = DE,\end{cases}$ $\therefore △ ABC ≌ △ DEF ( AAS )$.
刷有所得
两边及其中一边的对角相等时,不能判定两三角形全等,若相等的角为钝角或直角,则两三角形全等,若相等的角为锐角,则不一定全等.

【探究2】如图(2),如果$∠ ABC = ∠ DEF ＞ 90°$,那么$△ ABC$与$△ DEF$是否一定全等?如果全等,请证明;如果不全等,请画出反例.
图(2)

【探究2】$△ ABC$与$△ DEF$一定全等. 证明:如图(1),过点 A 作 $AM ⊥ BC$ 交 CB 的延长线于 M,过点 D 作 $DN ⊥ EF$ 交 FE 的延长线于 N.

$\because ∠ ABC = ∠ DEF ＞ 90°$,$\therefore 180° - ∠ ABC = 180° - ∠ DEF$,即 $∠ ABM = ∠ DEN$. 在 $△ ABM$ 和 $△ DEN$ 中, $\begin{cases}∠ ABM = ∠ DEN,\\∠ M = ∠ N = 90°,\\AB = DE,\end{cases}$ $\therefore △ ABM ≌ △ DEN ( AAS )$,$\therefore AM = DN$. 在 $Rt △ ACM$ 和 $Rt △ DFN$ 中, $\begin{cases}AC = DF,\\AM = DN,\end{cases}$ $\therefore Rt △ ACM ≌ Rt △ DFN ( HL )$,$\therefore ∠ C = ∠ F$. 在 $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 中, $\begin{cases}∠ C = ∠ F,\\∠ ABC = ∠ DEF,\\AB = DE,\end{cases}$ $\therefore △ ABC ≌ △ DEF ( AAS )$.

【探究3】已知$∠ABC=∠DEF=30°$.
如果$AB=DE=6,AC=DF=4$,那么这时$△ABC$与$△DEF$不一定全等,请利用尺规及图中给定的长度为4的线段,在图(3)中直接画出满足条件且不全等的两个三角形.(不写作图过程,保留作图痕迹)

【探究3】如图(2)所示(或如图(3)所示):

刷有所得
如果几何图形可以沿一条直线折叠后完全重合,那么就有相等的线段、相等的角.