1[2025江苏连云港质检,中]如图,$AB=AC$,AD为$∠BAC$的平分线,D,E,F,…为$∠BAC$的平分线上的点.如图(1),连接BD,CD;如图(2),连接BD,CD,BE,CE;如图(3),连接BD,CD,BE,CE,BF,CF;…,图(2025)中全等三角形的对数是 ()


A.2049300
B.2051325
C.2068224
D.2084520

如题图(1), $\because AD$ 为 $∠ BAC$ 的平分线, $\therefore ∠ BAD = ∠ CAD. \because AB = AC, AD = AD$,
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD (\mathrm{SAS}), \therefore$ 共有 $\frac{1 × 2}{2} = 1$(对)全等三角形. 如题图(2), 同理得 $△ ABD ≌ △ ACD, △ ABE ≌ △ ACE, \therefore BD = CD, BE = CE$.
$\because DE = DE, \therefore △ BDE ≌ △ CDE (\mathrm{SSS}), \therefore$ 共有 $\frac{2 × 3}{2} = 3$(对)全等三角形. 如题图(3), 同理得 $△ ABD ≌ △ ACD, △ ABE ≌ △ ACE, △ ABF ≌ △ ACF, △ BDE ≌ △ CDE, △ BEF ≌ △ CEF, △ BDF ≌ △ CDF, \therefore$ 共有 $\frac{3 × 4}{2} = 6$(对)全等三角形. $\dots, \therefore$ 图 (2 025) 中有 $\frac{2025 × 2026}{2} = 2051325$(对)全等三角形,故选 B.

2[2025江苏苏州期末,中]如图,在△ACB中,AC=BC=5,∠ACB=90°,延长CB到E,使得BE=3,连接AE,过点A作AF⊥AE,且AF=AE,连接BF,BF与AC的延长线交于点D,则AD的长为.

(第2题图)
(第3题图)

作 $FG ⊥ CD$, 交 $CD$ 的延长线于点 $G$, 如图. $\because AF ⊥ AE, ∠ ACB = 90°, \therefore ∠ FAE = ∠ G = ∠ ACB = ∠ BCD = 90°$,
$\therefore ∠ AFG = ∠ EAC = 90° - ∠ FAG$. 在 $△ AFG$ 和 $△ EAC$ 中,
$\begin{cases} ∠ AFG = ∠ EAC, \\ ∠ G = ∠ ACE, \\ AF = EA, \end{cases}$
$\therefore △ AFG ≌ △ EAC \ (\mathrm{AAS}), \therefore FG = AC, AG = EC. \because AC = BC = 5, BE = 3, \therefore AG = EC = BC + BE = 5+3 = 8, FG = BC, \therefore CG = AG - AC = 8-5 = 3$.
在 $△ FDG$ 和 $△ BDC$ 中, $\begin{cases} ∠ FDG = ∠ BDC, \\ ∠ G = ∠ BCD, \\ FG = BC, \end{cases}$
$\therefore △ FDG ≌ △ BDC \ (\mathrm{AAS}), \therefore GD = CD = \frac{1}{2}CG = \frac{1}{2} × 3 = \frac{3}{2}, \therefore AD = AC + CD = 5 + \frac{3}{2} = \frac{13}{2}$.
故答案为 $\frac{13}{2}$.

3[2025浙江温州期末，难]如图，正方形EGMP和正方形FNHP的顶点E，F，G，M，N在长方形ABCD的边上. 已知$DM=\frac{5}{4}DN=20$，$BE+CF=EF$，则长方形ABCD的面积为.

过点 $P$ 作 $PK ⊥ BC$ 于点 $K$, 所以$∠ PFK + ∠ KPF = 90°$. 因为四边形 $FNHP$ 是正方形, 所以 $PF = FN, ∠ PFN = 90°$, 所以 $∠ PFK + ∠ CFN = 90°$, 所以 $∠ KPF = ∠ CFN$. 因为四边形 $ABCD$ 是长方形, 所以 $∠ C = 90°$, $AB = CD, AD = BC$, 所以 $∠ PKF = ∠ C = 90°$. 在 $△ PKF$ 和 $△ FCN$ 中, $\begin{cases} ∠ KPF = ∠ CFN, \\ ∠ PKF = ∠ C, \\ PF = FN, \end{cases}$
所以 $△ PKF ≌ △ FCN (\mathrm{AAS})$, 所以 $KF = CN, PK = FC$. 同理可证$△ PKE ≌ △ EBG ≌ △ GAM$, 所以 $PK = EB = GA, EK = GB = MA$. 设 $KF = CN = x, EK = GB = MA = y$. 因为 $DM = \frac{5}{4}DN = 20$, 所以 $DN = 16$, 所以 $CD = DN + CN = 16 + x, AD = AM + DM = y + 20$. 因为 $EK + KF = EF$, 所以 $EF = x + y$. 因为 $AD = BC, BE + CF = EF$, 所以 $y + 20 = 2(x + y)$, 即 $2x + y = 20$. ① 因为 $AB = GA + BG = AG + y, CD = 16 + x, AB = CD$, 所以 $GA + y = 16 + x$, 所以 $GA = 16 + x - y$, 所以 $CF = 16 + x - y$, 所以 $EB = EF - FC = x + y - (16 + x - y) = 2y - 16$. 因为 $EB = GA$, 所以 $2y - 16 = 16 + x - y$, 即 $x - 3y = -32$, ② 联立①②, 解得 $x = 4, y = 12$, 所以 $AD = y + 20 = 12 + 20 = 32, CD = 16 + x = 16 + 4 = 20$, 所以 $S_{\mathrm{长方形}ABCD} = AD · CD = 32 × 20 = 640$.

4[2026广东深圳期末，中]如图，在$△ ABC$中，$∠ A=70°$，$∠ B=90°$，点A关于BC的对称点为$A'$，点B关于AC的对称点为$B'$，点C关于AB的对称点为$C'$。

(1)在图中画出$△ A'B'C'$；
(2)若$△ ABC$的面积为$\frac{5}{2}$，则$△ A'B'C'$的面积是。
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(1) 如图, $△ A'B'C'$ 即为所求.
(2) 如图, 设 $BB'$ 交 $AC$ 于点 $D$, 延长 $B'B$ 交 $A'C'$ 于点 $E$. $\because$ 点 $B$ 关于 $AC$ 的对称点为 $B'$, $\therefore BD = B'D, BB' ⊥ AC$. $\because$ 点 $A$ 关于 $BC$ 的对称点为 $A'$, $\therefore AB = A'B$. $\because$ 点 $C$ 关于 $AB$ 的对称点为 $C'$, $\therefore BC = BC'$. $\because ∠ ABC = 90°, \therefore$ 易得 $∠ A'BC' = 90° = ∠ ABC, A, B, A'$ 共线, $\therefore △ ABC ≌ △ A'BC' \ (\mathrm{SAS}), \therefore AC = A'C', ∠ C = ∠ A'C'B, \therefore AC // A'C', \therefore BE ⊥ A'C', \therefore ∠ ADB = ∠ A'EB = 90°. \because ∠ ABD = ∠ A'BE, AB = A'B, \therefore △ ABD ≌ △ A'BE (\mathrm{AAS}), \therefore BE = BD, \therefore B'E = 3BD. \because △ ABC$ 的面积为 $\frac{5}{2}$, $\therefore \frac{1}{2}AC · BD = \frac{5}{2}, \therefore △ A'B'C'$ 的面积是 $\frac{1}{2}A'C' · B'E = \frac{1}{2}AC · 3BD = 3 × \frac{5}{2} = \frac{15}{2}$. 故答案为 $\frac{15}{2}$.

5 思想方法 数形结合 [2026湖北武汉调研,较难]如图(1),在四边形ABCD中,AB//CD且AB=CD,AC,BD交于点O.
(1)证明:$△ AOB≌△ COD$;
(2)如图(2),过点O的直线分别交AD,BC于点M,N,若$S_{四边形ABCD}=8$,求$S_{△ AOM}+S_{△ BON}$的值;
(3)如图(3),若$AD=20$,$BD=28$,点E从点D出发,以每秒4个单位的速度沿DA向点A匀速移动,点F从点C出发,以每秒10个单位的速度沿$C\to B\to C$匀速移动,点G从点B出发沿BD向点D匀速移动,三个点同时出发,当有一个点到达终点时,其余两点也随之停止移动,假设移动时间为$t$秒.在移动过程中,若$△ DEG$与$△ BFG$全等,请直接写出点G移动的距离.

(1) 证明: $\because AB // CD, \therefore ∠ OAB = ∠ OCD$. 又 $\because ∠ AOB = ∠ COD, AB = CD, \therefore △ AOB ≌ △ COD (\mathrm{AAS})$.
(2) 由(1)得 $△ AOB ≌ △ COD, \therefore S_{△ AOB} = S_{△ COD}, OA = OC, OB = OD, \therefore S_{△ AOB} = S_{△ AOD} = S_{△ COD} = S_{△ COB} = \frac{1}{4}S_{\mathrm{四边形}ABCD} = 2. \because ∠ AOD = ∠ COB, \therefore △ AOD ≌ △ COB (\mathrm{SAS}), \therefore ∠ OBN = ∠ ODM$. 又 $\because OB = OD, ∠ BON = ∠ DOM, \therefore △ BON ≌ △ DOM (\mathrm{ASA}), \therefore S_{△ BON} = S_{△ DOM}, \therefore S_{△ AOM} + S_{△ BON} = S_{△ AOM} + S_{△ DOM} = S_{△ AOD} = 2$.
(3) 点 $G$ 移动的距离为 14 或 $\frac{96}{7}$. 设点 $G$ 移动的距离为 $y$. 由(2)知 $△ AOD ≌ △ COB, \therefore BC = AD = 20, ∠ ADO = ∠ CBO, \therefore$ 当 $△ DEG$ 与 $△ BFG$ 全等时, $DE = BF, BG = DG$ 或 $DE = BG, DG = BF. \because BC = AD = 20, BD = 28, 20 ÷ 10 = 2$(秒), $\therefore$ ①当点 $F$ 由点 $C$ 向点 $B$ 移动时, $0 ＜ t ≤ 2$, 则 $\begin{cases} 4t = 20-10t, \\ 28-y = y \end{cases}$, 或 $\begin{cases} y = 4t, \\ 20-10t = 28-y, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} t = \frac{10}{7}, \\ y = 14 \end{cases}$, 或 $\begin{cases} t = -\frac{4}{3}, \\ y = -\frac{16}{3} \end{cases}$(舍去);
②当点 $F$ 由点 $B$ 向点 $C$ 移动时, $2 ＜ t ≤ 4$, 则 $\begin{cases} 10t-20 = 4t, \\ 28-y = y \end{cases}$, 或 $\begin{cases} y = 4t, \\ 10t-20 = 28-y, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} t = \frac{10}{3}, \\ y = 14 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} t = \frac{24}{7}, \\ y = \frac{96}{7}. \end{cases}$ 综上所述, $△ DEG$ 与 $△ BFG$ 全等时, 点 $G$ 移动的距离为 14 或 $\frac{96}{7}$.