登录
10. (1) 已知 $a$ 为不等于零的有理数,则 $\dfrac{|a|}{a}=$
(2) 若 $ab ≠ 0$, 则 $\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}$ 的值不可能是
A. 0
B. 1
C. 2
D. $-2$
(3) 已知 $a,b,c$ 为不等于零的有理数,求 $\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}+\dfrac{|c|}{c}$ 的值.
(4) 已知有理数 $a,b,c$ 满足 $\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}+$
的值.
$\pm1$
.(2) 若 $ab ≠ 0$, 则 $\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}$ 的值不可能是
B
.A. 0
B. 1
C. 2
D. $-2$
(3) 已知 $a,b,c$ 为不等于零的有理数,求 $\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}+\dfrac{|c|}{c}$ 的值.
(4) 已知有理数 $a,b,c$ 满足 $\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}+$
的值.答案
10. 解:(1) $\pm1$ (2) B
(3) 因为$a,b,c$为不等于零的有理数,所以可以分四种情况:当$a,b,c$同为正时,原式$=3$;当$a,b,c$同为负时,原式$=-3$;当$a,b,c$一正两负时,原式$=-1$;当$a,b,c$一负两正时,原式$=1$.所以$\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}+\dfrac{|c|}{c}$的值为$\pm3$或$\pm1$.
(4) 因为$\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}+\dfrac{|c|}{c}=1$,所以$a,b,c$必为一负两正,所以$\dfrac{|abc|}{abc}=\dfrac{-abc}{abc}=-1$.
(3) 因为$a,b,c$为不等于零的有理数,所以可以分四种情况:当$a,b,c$同为正时,原式$=3$;当$a,b,c$同为负时,原式$=-3$;当$a,b,c$一正两负时,原式$=-1$;当$a,b,c$一负两正时,原式$=1$.所以$\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}+\dfrac{|c|}{c}$的值为$\pm3$或$\pm1$.
(4) 因为$\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}+\dfrac{|c|}{c}=1$,所以$a,b,c$必为一负两正,所以$\dfrac{|abc|}{abc}=\dfrac{-abc}{abc}=-1$.
解析
【分析】
我们解题的核心是利用非零有理数的绝对值性质：对任意不为0的有理数x，当x＞0时，|x|=x，因此$\frac{|x|}{x}=1$；当x＜0时，|x|=-x，因此$\frac{|x|}{x}=-1$，这类式子的结果仅为±1。接下来按小问逐步分析：
1. 第(1)问：a≠0，仅需分a为正、a为负两种情况代入计算即可得到结果。
2. 第(2)问：ab≠0说明a、b都不为0，枚举a、b正负性的所有组合，计算所有可能的结果，就能排除不可能的选项。
3. 第(3)问：三个非零有理数，按正数的总个数分类，共4种情况：全正、全负、1正2负、2正1负，分别代入求和就能得到所有可能的取值。
4. 第(4)问：已知三个$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}$的和为1，结合每个项只能是±1，可推出三个数里必然是两个1、一个-1，也就是两正一负，由此判断abc的正负性，就能算出$\frac{|abc|}{abc}$的结果。
【解析】
解：
(1) 已知a≠0：
当a＞0时，$|a|=a$，因此$\frac{|a|}{a}=\frac{a}{a}=1$；
当a＜0时，$|a|=-a$，因此$\frac{|a|}{a}=\frac{-a}{a}=-1$；
综上，$\frac{|a|}{a}=\pm1$。
(2) 已知ab≠0，即a≠0且b≠0，分4种情况讨论：
① a＞0，b＞0时，$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=1+1=2$；
② a＞0，b＜0时，$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=1+(-1)=0$；
③ a＜0，b＞0时，$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=-1+1=0$；
④ a＜0，b＜0时，$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=-1+(-1)=-2$；
因此所有可能的取值为2、0、-2，不可能是1，故选B。
(3) 已知a、b、c都不为0，按正数的个数分4种情况：
① a、b、c全为正数：$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=1+1+1=3$；
② a、b、c全为负数：$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=-1+(-1)+(-1)=-3$；
③ a、b、c一正两负：两个项为-1，一个项为1，和为$1-1-1=-1$；
④ a、b、c两正一负：两个项为1，一个项为-1，和为$1+1-1=1$；
因此原式的可能取值为±3或±1。
(4) 已知$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=1$，结合每个$\frac{|x|}{x}$只能取1或-1，可推出三个式子中必有两个取值为1，一个取值为-1，即a、b、c三个数为两正一负，因此它们的乘积$abc＜0$，可得：
$\frac{|abc|}{abc}=\frac{-abc}{abc}=-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\pm1}$；(2) $\boldsymbol{B}$；(3) 值为$\boldsymbol{\pm3}$或$\boldsymbol{\pm1}$；(4) $\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1. 绝对值的化简
2. 有理数符号分类讨论
【点评】
本题是绝对值章节的经典分类讨论题型，从单个非零数的绝对值化简逐步延伸到多个数的组合运算，层层递进，核心考察学生对“非零数的绝对值与自身的比值仅为±1”这一结论的理解，训练分类讨论的数学思维，避免枚举情况时出现漏解，帮助学生建立有理数正负性和绝对值运算的关联。
【难度系数】
0.6
我们解题的核心是利用非零有理数的绝对值性质：对任意不为0的有理数x，当x＞0时，|x|=x，因此$\frac{|x|}{x}=1$；当x＜0时，|x|=-x，因此$\frac{|x|}{x}=-1$，这类式子的结果仅为±1。接下来按小问逐步分析：
1. 第(1)问：a≠0，仅需分a为正、a为负两种情况代入计算即可得到结果。
2. 第(2)问：ab≠0说明a、b都不为0，枚举a、b正负性的所有组合，计算所有可能的结果，就能排除不可能的选项。
3. 第(3)问：三个非零有理数，按正数的总个数分类，共4种情况：全正、全负、1正2负、2正1负，分别代入求和就能得到所有可能的取值。
4. 第(4)问：已知三个$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}$的和为1，结合每个项只能是±1，可推出三个数里必然是两个1、一个-1，也就是两正一负，由此判断abc的正负性，就能算出$\frac{|abc|}{abc}$的结果。
【解析】
解：
(1) 已知a≠0：
当a＞0时，$|a|=a$，因此$\frac{|a|}{a}=\frac{a}{a}=1$；
当a＜0时，$|a|=-a$，因此$\frac{|a|}{a}=\frac{-a}{a}=-1$；
综上，$\frac{|a|}{a}=\pm1$。
(2) 已知ab≠0，即a≠0且b≠0，分4种情况讨论：
① a＞0，b＞0时，$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=1+1=2$；
② a＞0，b＜0时，$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=1+(-1)=0$；
③ a＜0，b＞0时，$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=-1+1=0$；
④ a＜0，b＜0时，$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=-1+(-1)=-2$；
因此所有可能的取值为2、0、-2，不可能是1，故选B。
(3) 已知a、b、c都不为0，按正数的个数分4种情况：
① a、b、c全为正数：$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=1+1+1=3$；
② a、b、c全为负数：$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=-1+(-1)+(-1)=-3$；
③ a、b、c一正两负：两个项为-1，一个项为1，和为$1-1-1=-1$；
④ a、b、c两正一负：两个项为1，一个项为-1，和为$1+1-1=1$；
因此原式的可能取值为±3或±1。
(4) 已知$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=1$，结合每个$\frac{|x|}{x}$只能取1或-1，可推出三个式子中必有两个取值为1，一个取值为-1，即a、b、c三个数为两正一负，因此它们的乘积$abc＜0$，可得：
$\frac{|abc|}{abc}=\frac{-abc}{abc}=-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\pm1}$；(2) $\boldsymbol{B}$；(3) 值为$\boldsymbol{\pm3}$或$\boldsymbol{\pm1}$；(4) $\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1. 绝对值的化简
2. 有理数符号分类讨论
【点评】
本题是绝对值章节的经典分类讨论题型，从单个非零数的绝对值化简逐步延伸到多个数的组合运算，层层递进，核心考察学生对“非零数的绝对值与自身的比值仅为±1”这一结论的理解，训练分类讨论的数学思维，避免枚举情况时出现漏解，帮助学生建立有理数正负性和绝对值运算的关联。
【难度系数】
0.6
11. (1) 把$-1,-2,3,-4,-5,6,-7,-8,9$分别填在图1中的方格里，使每行、每列以及每条对角线上三个数的积都是正数.
(2) 把$-1,2,3,4,-5,6,7,8,-9$分别填在图2中的方格里，使每行、每列以及每条对角线上三个数的积都是负数.
(2) 把$-1,2,3,4,-5,6,7,8,-9$分别填在图2中的方格里，使每行、每列以及每条对角线上三个数的积都是负数.
答案
11. 解:(1) 如图1所示,答案不唯一.
提示:已知有$-1,-2,-4,-5,-7,-8$共6个负数,$3,6,9$共3个正数.按照每行、每列、每条对角线上负因数个数为偶数的原则排列,如图1,此时每行、每列、每条对角线上负因数个数均为2,积为正.
[图1]
(2) 如图2所示,答案不唯一. 提示:已知有$-1,-5,-9$共3个负数,$2,3,4,6,7,8$共6个正数.按照每行、每列、每条对角线上负因数个数为奇数的原则排列,如图2,此时每行、每列、每条对角线上负因数个数均为1,积为负.
[图2]
提示:已知有$-1,-2,-4,-5,-7,-8$共6个负数,$3,6,9$共3个正数.按照每行、每列、每条对角线上负因数个数为偶数的原则排列,如图1,此时每行、每列、每条对角线上负因数个数均为2,积为正.
[图1]
(2) 如图2所示,答案不唯一. 提示:已知有$-1,-5,-9$共3个负数,$2,3,4,6,7,8$共6个正数.按照每行、每列、每条对角线上负因数个数为奇数的原则排列,如图2,此时每行、每列、每条对角线上负因数个数均为1,积为负.
[图2]
解析
【分析】
首先我们要利用有理数乘法的符号规律来解题：几个不为0的数相乘，负因数的个数为偶数时，乘积是正数；负因数的个数为奇数时，乘积是负数。
对于第(1)问，先统计给出的9个数：共有6个负数、3个正数，要求所有行、列、对角线的三个数乘积为正，说明每条线上的负因数数量必须是偶数。总共有6个负数，刚好可以给每行分配2个负数，这样每行负因数数量是2（偶数），再调整负数的位置，让每列、两条对角线的负因数数量也都是2，就可以满足全部条件。
对于第(2)问，统计给出的9个数：共有3个负数、6个正数，要求所有行、列、对角线的三个数乘积为负，说明每条线上的负因数数量必须是奇数。总共有3个负数，刚好可以给每行分配1个负数，这样每行负因数数量是1（奇数），再调整负数的位置，让每列、两条对角线的负因数数量也都是1，就可以满足全部条件。两类填法都不唯一，符合规则即可。
【解析】
(1) 根据有理数乘法符号法则：非零数相乘，负因数个数为偶数时积为正。本题给定的9个数中，负数共6个，正数共3个。要使每行3个数的积为正，每行的负因数个数需为偶数，结合总负数数量为6，可确定每行放置2个负数、1个正数；再调整负数的排布位置，使每列、两条对角线上的负因数个数也均为2（偶数），即可满足所有行、列、对角线的三个数乘积都为正数，填法不唯一。
(2) 根据有理数乘法符号法则：非零数相乘，负因数个数为奇数时积为负。本题给定的9个数中，负数共3个，正数共6个。要使每行3个数的积为负，每行的负因数个数需为奇数，结合总负数数量为3，可确定每行放置1个负数、2个正数；再调整负数的排布位置，使每列、两条对角线上的负因数个数也均为1（奇数），即可满足所有行、列、对角线的三个数乘积都为负数，填法不唯一。
【答案】
(1) 填法不唯一，满足每行、每列、每条对角线上三个数的负因数个数均为偶数，乘积为正即可；
(2) 填法不唯一，满足每行、每列、每条对角线上三个数的负因数个数均为奇数，乘积为负即可。
【知识点】
有理数乘法符号法则，三阶幻方排布
【点评】
本题突破了常规三阶幻方求和的固定思路，将有理数乘法的符号规则和幻方排布结合起来，解题的核心是先根据乘积的符号要求和总负数的数量，先确定每行需要放置的负数个数，再调整位置满足列和对角线的要求，有效考察了学生对有理数乘法符号规则的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
首先我们要利用有理数乘法的符号规律来解题：几个不为0的数相乘，负因数的个数为偶数时，乘积是正数；负因数的个数为奇数时，乘积是负数。
对于第(1)问，先统计给出的9个数：共有6个负数、3个正数，要求所有行、列、对角线的三个数乘积为正，说明每条线上的负因数数量必须是偶数。总共有6个负数，刚好可以给每行分配2个负数，这样每行负因数数量是2（偶数），再调整负数的位置，让每列、两条对角线的负因数数量也都是2，就可以满足全部条件。
对于第(2)问，统计给出的9个数：共有3个负数、6个正数，要求所有行、列、对角线的三个数乘积为负，说明每条线上的负因数数量必须是奇数。总共有3个负数，刚好可以给每行分配1个负数，这样每行负因数数量是1（奇数），再调整负数的位置，让每列、两条对角线的负因数数量也都是1，就可以满足全部条件。两类填法都不唯一，符合规则即可。
【解析】
(1) 根据有理数乘法符号法则：非零数相乘，负因数个数为偶数时积为正。本题给定的9个数中，负数共6个，正数共3个。要使每行3个数的积为正，每行的负因数个数需为偶数，结合总负数数量为6，可确定每行放置2个负数、1个正数；再调整负数的排布位置，使每列、两条对角线上的负因数个数也均为2（偶数），即可满足所有行、列、对角线的三个数乘积都为正数，填法不唯一。
(2) 根据有理数乘法符号法则：非零数相乘，负因数个数为奇数时积为负。本题给定的9个数中，负数共3个，正数共6个。要使每行3个数的积为负，每行的负因数个数需为奇数，结合总负数数量为3，可确定每行放置1个负数、2个正数；再调整负数的排布位置，使每列、两条对角线上的负因数个数也均为1（奇数），即可满足所有行、列、对角线的三个数乘积都为负数，填法不唯一。
【答案】
(1) 填法不唯一，满足每行、每列、每条对角线上三个数的负因数个数均为偶数，乘积为正即可；
(2) 填法不唯一，满足每行、每列、每条对角线上三个数的负因数个数均为奇数，乘积为负即可。
【知识点】
有理数乘法符号法则，三阶幻方排布
【点评】
本题突破了常规三阶幻方求和的固定思路，将有理数乘法的符号规则和幻方排布结合起来，解题的核心是先根据乘积的符号要求和总负数的数量，先确定每行需要放置的负数个数，再调整位置满足列和对角线的要求，有效考察了学生对有理数乘法符号规则的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
12. 已知$(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36$，则$x+2y+3z$ 的最大值是
$15$
，最小值是$-6$
。答案
12. $15$ $-6$ 提示:$|x+1|+|x-2|$表示数轴上表示$x$的点到表示$-1$和$2$的两个点的距离之和,所以$|x+1|+|x-2|≥3$.同理,$|y-2|+|y+1|≥3$,$|z-3|+|z+1|≥4$,而$(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36$,所以$|x+1|+|x-2|=3$,$|y-2|+|y+1|=3$,$|z-3|+|z+1|=4$,所以$-1≤ x≤2,-1≤ y≤2,-1≤ z≤3$,所以$-2≤2y≤4,-3≤3z≤9$,所以$-6≤ x+2y+3z≤15$.
解析
【分析】
这道题的核心解题思路是利用绝对值的几何意义简化计算：首先我们知道，形如|a-m|+|a-n|的式子代表数轴上点a到点m、点n的距离之和，它的最小值就是m和n两点之间的距离，当a落在m、n两点之间（包含端点）时就能取到这个最小值。我们先分别计算题目里三个绝对值和的最小值，会发现三个最小值相乘刚好等于题干给出的乘积36，说明三个绝对值和不可能取比最小值更大的数，否则总乘积就会超过36，由此就能直接锁定x、y、z各自的取值范围，最后让三个变量同时取范围的最大值就能得到目标式的最大值，同时取范围的最小值就能得到目标式的最小值，全程不需要复杂的分段去绝对值讨论。
【解析】
1. 利用绝对值几何意义求各绝对值和的最小值：
对于$|x+1|+|x-2|$：表示数轴上表示x的点到-1和2的距离之和，两点间距为$2-(-1)=3$，因此$|x+1|+|x-2|≥3$，当且仅当$-1≤ x≤2$时取等号；
对于$|y-2|+|y+1|$：表示数轴上表示y的点到2和-1的距离之和，两点间距为$2-(-1)=3$，因此$|y-2|+|y+1|≥3$，当且仅当$-1≤ y≤2$时取等号；
对于$|z-3|+|z+1|$：表示数轴上表示z的点到3和-1的距离之和，两点间距为$3-(-1)=4$，因此$|z-3|+|z+1|≥4$，当且仅当$-1≤ z≤3$时取等号。
2. 结合题干等式锁定变量范围：
三个绝对值和的乘积的最小值为$3×3×4=36$，恰好等于题干给出的乘积36，因此三个绝对值和必须同时取到自身的最小值，可得：
$-1≤ x≤2$，$-1≤ y≤2$，$-1≤ z≤3$。
3. 计算目标式的最值：
求最大值：当x、y、z均取各自取值范围的最大值时，$x+2y+3z=2 + 2×2 + 3×3=15$；
求最小值：当x、y、z均取各自取值范围的最小值时，$x+2y+3z=-1 + 2×(-1) + 3×(-1)=-6$。
【答案】
$15$；$-6$
【知识点】
绝对值的几何意义，不等式性质，代数式最值
【点评】
本题是绝对值综合应用的经典题型，避开了常规分段去绝对值的繁琐计算，通过乘积的约束条件直接锁定变量的取值区间，核心考察学生对绝对值几何意义的灵活运用，能帮助学生跳出绝对值只能分段讨论的思维定式。
【难度系数】
0.4
这道题的核心解题思路是利用绝对值的几何意义简化计算：首先我们知道，形如|a-m|+|a-n|的式子代表数轴上点a到点m、点n的距离之和，它的最小值就是m和n两点之间的距离，当a落在m、n两点之间（包含端点）时就能取到这个最小值。我们先分别计算题目里三个绝对值和的最小值，会发现三个最小值相乘刚好等于题干给出的乘积36，说明三个绝对值和不可能取比最小值更大的数，否则总乘积就会超过36，由此就能直接锁定x、y、z各自的取值范围，最后让三个变量同时取范围的最大值就能得到目标式的最大值，同时取范围的最小值就能得到目标式的最小值，全程不需要复杂的分段去绝对值讨论。
【解析】
1. 利用绝对值几何意义求各绝对值和的最小值：
对于$|x+1|+|x-2|$：表示数轴上表示x的点到-1和2的距离之和，两点间距为$2-(-1)=3$，因此$|x+1|+|x-2|≥3$，当且仅当$-1≤ x≤2$时取等号；
对于$|y-2|+|y+1|$：表示数轴上表示y的点到2和-1的距离之和，两点间距为$2-(-1)=3$，因此$|y-2|+|y+1|≥3$，当且仅当$-1≤ y≤2$时取等号；
对于$|z-3|+|z+1|$：表示数轴上表示z的点到3和-1的距离之和，两点间距为$3-(-1)=4$，因此$|z-3|+|z+1|≥4$，当且仅当$-1≤ z≤3$时取等号。
2. 结合题干等式锁定变量范围：
三个绝对值和的乘积的最小值为$3×3×4=36$，恰好等于题干给出的乘积36，因此三个绝对值和必须同时取到自身的最小值，可得：
$-1≤ x≤2$，$-1≤ y≤2$，$-1≤ z≤3$。
3. 计算目标式的最值：
求最大值：当x、y、z均取各自取值范围的最大值时，$x+2y+3z=2 + 2×2 + 3×3=15$；
求最小值：当x、y、z均取各自取值范围的最小值时，$x+2y+3z=-1 + 2×(-1) + 3×(-1)=-6$。
【答案】
$15$；$-6$
【知识点】
绝对值的几何意义，不等式性质，代数式最值
【点评】
本题是绝对值综合应用的经典题型，避开了常规分段去绝对值的繁琐计算，通过乘积的约束条件直接锁定变量的取值区间，核心考察学生对绝对值几何意义的灵活运用，能帮助学生跳出绝对值只能分段讨论的思维定式。
【难度系数】
0.4
13. 若 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 为互不相等的正偶数，满足 $(2\ 026-a_1)×(2\ 026-a_2)×(2\ 026-a_3)×(2\ 026-a_4)×(2\ 026-a_5)=24^2$，则$|x-a_1|+|x-a_2|+|x-a_3|+|x-a_4|+|x-a_5|$ 的最小值为
$18$
.答案
13. $18$ 提示:因为$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$为互不相等的正偶数,所以$2\ 026-a_1,2\ 026-a_2,2\ 026-a_3,2\ 026-a_4,2\ 026-a_5$为互不相等的偶数.假设$a_1＜a_2＜a_3＜a_4＜a_5$,因为$24^2=6×4×2×(-2)×(-6)=(2\ 026-a_1)×(2\ 026-a_2)×(2\ 026-a_3)×(2\ 026-a_4)×(2\ 026-a_5)$,所以$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$分别为$2\ 020$,$2\ 022$,$2\ 024$,$2\ 028$,$2\ 032$.因为$|x-a_1|+|x-a_2|+|x-a_3|+|x-a_4|+|x-a_5|$表示数轴上一点$x$到$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$的距离之和,所以当$x=a_3=2\ 024$时,有最小值,最小值为$|x-a_1|+|x-a_2|+|x-a_3|+|x-a_4|+|x-a_5|=4+2+0+4+8=18$.
解析
【分析】
解题思路分三步推进：第一步，先根据题干条件推导因式属性：已知a₁到a₅是互不相等的正偶数，2026为偶数，因此2026减去每个a_i得到的5个结果必然都是互不相等的偶数；第二步，对等式右侧的24²做整数拆分，由于全为正的5个互不相等偶数的最小乘积远大于24²，因此必须引入负偶数，凑出唯一符合条件的5个互不相等偶数，进而反算出所有a_i的取值；第三步，利用绝对值的几何意义，奇数个点的距离和在x取排序后的中间点时取得最小值，代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 推导因式属性
因为a₁,a₂,a₃,a₄,a₅是互不相等的正偶数，2026是偶数，因此2026 - a₁、2026 - a₂、2026 - a₃、2026 - a₄、2026 - a₅是5个互不相等的偶数。
2. 拆分24²
24²=576，若5个偶数全为正，最小的5个互不相等正偶数2、4、6、8、10的乘积为3840，远大于576，因此拆分结果必须包含负偶数，唯一符合条件的5个互不相等偶数为：-6、-2、2、4、6，验证乘积：(-6)×(-2)×2×4×6=576=24²，满足等式要求。
3. 反求a的取值
不妨将a从小到大排序：a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，则对应2026 - a₁ ＞ 2026 - a₂ ＞ 2026 - a₃ ＞ 2026 - a₄ ＞ 2026 - a₅，赋值计算得：
2026 - a₁=6 → a₁=2020
2026 - a₂=4 → a₂=2022
2026 - a₃=2 → a₃=2024
2026 - a₄=-2 → a₄=2028
2026 - a₅=-6 → a₅=2032
4. 计算绝对值和的最小值
|x-a₁|+|x-a₂|+|x-a₃|+|x-a₄|+|x-a₅|的几何意义是数轴上点x到5个定点的距离之和，对于奇数个定点，当x取排序后的中间点a₃=2024时，距离和取得最小值：
代入计算得：|2024-2020|+|2024-2022|+|2024-2024|+|2024-2028|+|2024-2032|=4+2+0+4+8=18
【答案】
18
【知识点】
绝对值几何意义，整数拆分，绝对值和最值
【点评】
本题属于综合类填空题，难点在于突破“全正拆分”的思维定势，结合数的奇偶属性合理对24²进行拆分，后续利用绝对值和的经典最值结论即可快速求解，避免了复杂的分段讨论，是数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.3
解题思路分三步推进：第一步，先根据题干条件推导因式属性：已知a₁到a₅是互不相等的正偶数，2026为偶数，因此2026减去每个a_i得到的5个结果必然都是互不相等的偶数；第二步，对等式右侧的24²做整数拆分，由于全为正的5个互不相等偶数的最小乘积远大于24²，因此必须引入负偶数，凑出唯一符合条件的5个互不相等偶数，进而反算出所有a_i的取值；第三步，利用绝对值的几何意义，奇数个点的距离和在x取排序后的中间点时取得最小值，代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 推导因式属性
因为a₁,a₂,a₃,a₄,a₅是互不相等的正偶数，2026是偶数，因此2026 - a₁、2026 - a₂、2026 - a₃、2026 - a₄、2026 - a₅是5个互不相等的偶数。
2. 拆分24²
24²=576，若5个偶数全为正，最小的5个互不相等正偶数2、4、6、8、10的乘积为3840，远大于576，因此拆分结果必须包含负偶数，唯一符合条件的5个互不相等偶数为：-6、-2、2、4、6，验证乘积：(-6)×(-2)×2×4×6=576=24²，满足等式要求。
3. 反求a的取值
不妨将a从小到大排序：a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，则对应2026 - a₁ ＞ 2026 - a₂ ＞ 2026 - a₃ ＞ 2026 - a₄ ＞ 2026 - a₅，赋值计算得：
2026 - a₁=6 → a₁=2020
2026 - a₂=4 → a₂=2022
2026 - a₃=2 → a₃=2024
2026 - a₄=-2 → a₄=2028
2026 - a₅=-6 → a₅=2032
4. 计算绝对值和的最小值
|x-a₁|+|x-a₂|+|x-a₃|+|x-a₄|+|x-a₅|的几何意义是数轴上点x到5个定点的距离之和，对于奇数个定点，当x取排序后的中间点a₃=2024时，距离和取得最小值：
代入计算得：|2024-2020|+|2024-2022|+|2024-2024|+|2024-2028|+|2024-2032|=4+2+0+4+8=18
【答案】
18
【知识点】
绝对值几何意义，整数拆分，绝对值和最值
【点评】
本题属于综合类填空题，难点在于突破“全正拆分”的思维定势，结合数的奇偶属性合理对24²进行拆分，后续利用绝对值和的经典最值结论即可快速求解，避免了复杂的分段讨论，是数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.3
14. 已知有5个有理数,两两相乘,所得乘积如下: $-108,1.512,1.8,720,-113.4$,$-135,-54\ 000,1.89,756,900$,求这5个有理数分别是多少.
答案
14. 解:将5个有理数两两相乘的积由小到大排列: $-54\ 000＜-135＜-113.4＜-108＜1.512＜1.8＜1.89＜720＜756＜900$.
因为5个有理数两两相乘的积中有4个负数且没有0,所以这5个有理数中有1个负数和4个正数,或者1个正数和4个负数,分两种情况讨论:
①若这5个有理数是1负4正,可设$a＜0＜b＜c＜d＜e$,则$ae＜ad＜ac＜ab＜0＜bc＜bd＜\begin{cases}be \\ cd\end{cases}＜ce＜de$(其中$be,cd$的大小关系不能确定),所以$ae=-54\ 000,ad=-135$,$de=900$.所以$\dfrac{ae}{ad}=\dfrac{e}{d}=\dfrac{-54\ 000}{-135}=400$,所以$e=400d$,代入$de=900$,得$400d^2=900$,解得$d=1.5$,所以$e=600,a=-90$.再由$ab=-108,ac=-113.4$,得$b=1.2,c=1.26$.经检验,$a=-90,b=1.2,c=1.26,d=1.5,e=600$满足题意.
②若这5个有理数是1正4负,可设$a＜b＜c＜d＜0＜e$,则$ae＜be＜ce＜de＜0＜cd＜bd＜\begin{cases}ad \\ bc\end{cases}＜ac＜ab$(其中$ad,bc$的大小关系不能确定),所以$ae=-54\ 000,be=-135,ab=900$.所以$\dfrac{ae}{be}=\dfrac{a}{b}=\dfrac{-54\ 000}{-135}=400$,所以$a=400b$,代入$ab=900$,得$400b^2=900$,解得$b=-1.5,a=-600,e=90$.再由$de=-108,ce=-113.4$,得$d=-1.2,c=-1.26$.经检验,$a=-600,b=-1.5,c=-1.26,d=-1.2,e=90$满足题意.
综上所述,这5个有理数分别是$-90,1.2,1.26,1.5,600$或$-600,-1.5,-1.26,-1.2,90$.
因为5个有理数两两相乘的积中有4个负数且没有0,所以这5个有理数中有1个负数和4个正数,或者1个正数和4个负数,分两种情况讨论:
①若这5个有理数是1负4正,可设$a＜0＜b＜c＜d＜e$,则$ae＜ad＜ac＜ab＜0＜bc＜bd＜\begin{cases}be \\ cd\end{cases}＜ce＜de$(其中$be,cd$的大小关系不能确定),所以$ae=-54\ 000,ad=-135$,$de=900$.所以$\dfrac{ae}{ad}=\dfrac{e}{d}=\dfrac{-54\ 000}{-135}=400$,所以$e=400d$,代入$de=900$,得$400d^2=900$,解得$d=1.5$,所以$e=600,a=-90$.再由$ab=-108,ac=-113.4$,得$b=1.2,c=1.26$.经检验,$a=-90,b=1.2,c=1.26,d=1.5,e=600$满足题意.
②若这5个有理数是1正4负,可设$a＜b＜c＜d＜0＜e$,则$ae＜be＜ce＜de＜0＜cd＜bd＜\begin{cases}ad \\ bc\end{cases}＜ac＜ab$(其中$ad,bc$的大小关系不能确定),所以$ae=-54\ 000,be=-135,ab=900$.所以$\dfrac{ae}{be}=\dfrac{a}{b}=\dfrac{-54\ 000}{-135}=400$,所以$a=400b$,代入$ab=900$,得$400b^2=900$,解得$b=-1.5,a=-600,e=90$.再由$de=-108,ce=-113.4$,得$d=-1.2,c=-1.26$.经检验,$a=-600,b=-1.5,c=-1.26,d=-1.2,e=90$满足题意.
综上所述,这5个有理数分别是$-90,1.2,1.26,1.5,600$或$-600,-1.5,-1.26,-1.2,90$.
解析
【分析】
这道题的核心思路是先通过乘积的符号特征确定5个有理数的正负分布，再利用排序后的极端乘积推导数值：
1. 首先确认所有两两乘积共10个，其中负数有4个且不存在0，根据有理数乘法的符号规则，可直接排除2正3负、3正2负（这两种情况会得到6个负乘积）、全正/全负（乘积全为正）的情况，仅剩下“1个负数+4个正数”和“1个正数+4个负数”两种可能，避免盲目设未知数列复杂方程。
2. 把所有乘积从小到大排序后，最小的乘积一定是绝对值最大的异号两数的乘积，第二小的负数是绝对值第二大的异号两数的乘积，最大的乘积是绝对值最大的两个同号数的乘积，通过这三个极端值的比值就能快速求出其中三个数，剩余两个数再结合剩下的负乘积直接计算，最后验证所有乘积是否匹配即可。
【解析】
第一步：先将给出的10个乘积从小到大排序：
$-54000 ＜ -135 ＜ -113.4 ＜ -108 ＜ 1.512 ＜ 1.8 ＜ 1.89 ＜ 720 ＜ 756 ＜ 900$
已知5个有理数两两乘积共10个，其中有4个负数，不存在0，因此仅存在两种正负分布情况，分类讨论：
① 5个数为1个负数、4个正数，设该负数为a，4个正数从小到大排列为$0 ＜ b ＜ c ＜ d ＜ e$，即满足$a ＜ 0 ＜ b ＜ c ＜ d ＜ e$。
根据乘法的符号和大小规律，可得：
最小的乘积是最大正数和负数的乘积$ae=-54000$，第二小的负数是第二大正数和负数的乘积$ad=-135$，最大的乘积是两个最大正数的乘积$de=900$。
将前两式作比：$\frac{ae}{ad}=\frac{e}{d}=\frac{-54000}{-135}=400$，即$e=400d$，代入$de=900$得：
$d × 400d = 900 \implies 400d^2=900$，因为d是正数，解得$d=1.5$，因此$e=400 × 1.5=600$，代入$ad=-135$得$a=\frac{-135}{1.5}=-90$。
再结合剩下的两个负乘积$ac=-113.4$、$ab=-108$，代入a=-90，解得：
$b=\frac{-108}{-90}=1.2$，$c=\frac{-113.4}{-90}=1.26$。
将得到的5个数-90、1.2、1.26、1.5、600两两相乘验证，所有乘积均与题目给出的数值完全匹配，符合题意。
② 5个数为1个正数、4个负数，设该正数为e，4个负数从小到大排列为$a ＜ b ＜ c ＜ d ＜ 0$，即满足$a ＜ b ＜ c ＜ d ＜ 0 ＜ e$。
根据乘法的符号和大小规律，可得：
最小的乘积是最小负数和正数的乘积$ae=-54000$，第二小的负数是第二小负数和正数的乘积$be=-135$，最大的乘积是两个最小负数的乘积$ab=900$。
将前两式作比：$\frac{ae}{be}=\frac{a}{b}=\frac{-54000}{-135}=400$，即$a=400b$，代入$ab=900$得：
$400b^2=900$，因为b是负数，解得$b=-1.5$，因此$a=400 × (-1.5)=-600$，代入$be=-135$得$e=\frac{-135}{-1.5}=90$。
再结合剩下的两个负乘积$ce=-113.4$、$de=-108$，代入e=90，解得：
$d=\frac{-108}{90}=-1.2$，$c=\frac{-113.4}{90}=-1.26$。
将得到的5个数-600、-1.5、-1.26、-1.2、90两两相乘验证，所有乘积均与题目给出的数值完全匹配，符合题意。
【答案】
这5个有理数分别是$-90,1.2,1.26,1.5,600$或$-600,-1.5,-1.26,-1.2,90$
【知识点】
有理数乘积符号，数的大小排序，一元二次方程求解
【点评】
本题的解题突破口是通过负乘积的数量快速锁定5个有理数仅有的两种正负分布，避开了直接设5个未知数的复杂高次运算，利用排序后的极端最值优先推导核心数值，分类讨论两种情况后还需要代入验证所有乘积是否匹配，避免出现不符合题意的增根，对逻辑推导能力要求较高。
【难度系数】
0.2
这道题的核心思路是先通过乘积的符号特征确定5个有理数的正负分布，再利用排序后的极端乘积推导数值：
1. 首先确认所有两两乘积共10个，其中负数有4个且不存在0，根据有理数乘法的符号规则，可直接排除2正3负、3正2负（这两种情况会得到6个负乘积）、全正/全负（乘积全为正）的情况，仅剩下“1个负数+4个正数”和“1个正数+4个负数”两种可能，避免盲目设未知数列复杂方程。
2. 把所有乘积从小到大排序后，最小的乘积一定是绝对值最大的异号两数的乘积，第二小的负数是绝对值第二大的异号两数的乘积，最大的乘积是绝对值最大的两个同号数的乘积，通过这三个极端值的比值就能快速求出其中三个数，剩余两个数再结合剩下的负乘积直接计算，最后验证所有乘积是否匹配即可。
【解析】
第一步：先将给出的10个乘积从小到大排序：
$-54000 ＜ -135 ＜ -113.4 ＜ -108 ＜ 1.512 ＜ 1.8 ＜ 1.89 ＜ 720 ＜ 756 ＜ 900$
已知5个有理数两两乘积共10个，其中有4个负数，不存在0，因此仅存在两种正负分布情况，分类讨论：
① 5个数为1个负数、4个正数，设该负数为a，4个正数从小到大排列为$0 ＜ b ＜ c ＜ d ＜ e$，即满足$a ＜ 0 ＜ b ＜ c ＜ d ＜ e$。
根据乘法的符号和大小规律，可得：
最小的乘积是最大正数和负数的乘积$ae=-54000$，第二小的负数是第二大正数和负数的乘积$ad=-135$，最大的乘积是两个最大正数的乘积$de=900$。
将前两式作比：$\frac{ae}{ad}=\frac{e}{d}=\frac{-54000}{-135}=400$，即$e=400d$，代入$de=900$得：
$d × 400d = 900 \implies 400d^2=900$，因为d是正数，解得$d=1.5$，因此$e=400 × 1.5=600$，代入$ad=-135$得$a=\frac{-135}{1.5}=-90$。
再结合剩下的两个负乘积$ac=-113.4$、$ab=-108$，代入a=-90，解得：
$b=\frac{-108}{-90}=1.2$，$c=\frac{-113.4}{-90}=1.26$。
将得到的5个数-90、1.2、1.26、1.5、600两两相乘验证，所有乘积均与题目给出的数值完全匹配，符合题意。
② 5个数为1个正数、4个负数，设该正数为e，4个负数从小到大排列为$a ＜ b ＜ c ＜ d ＜ 0$，即满足$a ＜ b ＜ c ＜ d ＜ 0 ＜ e$。
根据乘法的符号和大小规律，可得：
最小的乘积是最小负数和正数的乘积$ae=-54000$，第二小的负数是第二小负数和正数的乘积$be=-135$，最大的乘积是两个最小负数的乘积$ab=900$。
将前两式作比：$\frac{ae}{be}=\frac{a}{b}=\frac{-54000}{-135}=400$，即$a=400b$，代入$ab=900$得：
$400b^2=900$，因为b是负数，解得$b=-1.5$，因此$a=400 × (-1.5)=-600$，代入$be=-135$得$e=\frac{-135}{-1.5}=90$。
再结合剩下的两个负乘积$ce=-113.4$、$de=-108$，代入e=90，解得：
$d=\frac{-108}{90}=-1.2$，$c=\frac{-113.4}{90}=-1.26$。
将得到的5个数-600、-1.5、-1.26、-1.2、90两两相乘验证，所有乘积均与题目给出的数值完全匹配，符合题意。
【答案】
这5个有理数分别是$-90,1.2,1.26,1.5,600$或$-600,-1.5,-1.26,-1.2,90$
【知识点】
有理数乘积符号，数的大小排序，一元二次方程求解
【点评】
本题的解题突破口是通过负乘积的数量快速锁定5个有理数仅有的两种正负分布，避开了直接设5个未知数的复杂高次运算，利用排序后的极端最值优先推导核心数值，分类讨论两种情况后还需要代入验证所有乘积是否匹配，避免出现不符合题意的增根，对逻辑推导能力要求较高。
【难度系数】
0.2
