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1. 下列说法正确的是 （
A.零除以任何数都得零
B.小于$-1$的数的倒数大于其本身
C.两数相除等于把它们颠倒相乘
D.商小于被除数
B
）A.零除以任何数都得零
B.小于$-1$的数的倒数大于其本身
C.两数相除等于把它们颠倒相乘
D.商小于被除数
答案
1. B
解析
【分析】
这是一道有理数相关的概念辨析选择题，解题思路是逐个对每个选项结合对应的数学规则验证：错误选项只要举出一个反例即可判定错误，正确选项需要推导证明成立。首先回忆除法的基本规则“除数不能为0”排查A选项，再结合倒数的定义通过实例+代数推导验证B选项，接着对照除法运算法则排查C选项，最后举反例排查D选项，最终确定正确答案。
【解析】
我们逐个分析每个选项：
1. 选项A：零不能作为除数，正确表述是零除以任何非零的数都得零，选项中“任何数”包含0，0做除数无意义，因此A错误。
2. 选项B：设小于-1的数为a，满足a ＜ -1 ＜ 0，对不等式两边同时除以负数a，不等号方向改变，可得1 ＞ -1/a，整理得1/a ＞ -1，因此有1/a ＞ -1 ＞ a，也就是该数的倒数1/a大于它本身a；例如取a=-2，倒数是-1/2，满足-1/2 ＞ -2，结论成立，因此B正确。
3. 选项C：两数相除的运算法则是：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，选项中“把它们颠倒相乘”的表述没有明确是颠倒除数，逻辑错误，因此C错误。
4. 选项D：商不一定小于被除数，例如2÷0.5=4，商4大于被除数2，因此D错误。
【答案】B
【知识点】有理数除法，倒数，有理数大小比较
【点评】
本题属于有理数基础概念的易错题，核心考察对除法、倒数相关规则的准确理解，举反例是快速排除这类概念题错误选项的常用技巧，解题时要特别注意0、负数等特殊取值的限制条件，避免忽略隐含规则踩坑。
【难度系数】0.6
这是一道有理数相关的概念辨析选择题，解题思路是逐个对每个选项结合对应的数学规则验证：错误选项只要举出一个反例即可判定错误，正确选项需要推导证明成立。首先回忆除法的基本规则“除数不能为0”排查A选项，再结合倒数的定义通过实例+代数推导验证B选项，接着对照除法运算法则排查C选项，最后举反例排查D选项，最终确定正确答案。
【解析】
我们逐个分析每个选项：
1. 选项A：零不能作为除数，正确表述是零除以任何非零的数都得零，选项中“任何数”包含0，0做除数无意义，因此A错误。
2. 选项B：设小于-1的数为a，满足a ＜ -1 ＜ 0，对不等式两边同时除以负数a，不等号方向改变，可得1 ＞ -1/a，整理得1/a ＞ -1，因此有1/a ＞ -1 ＞ a，也就是该数的倒数1/a大于它本身a；例如取a=-2，倒数是-1/2，满足-1/2 ＞ -2，结论成立，因此B正确。
3. 选项C：两数相除的运算法则是：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，选项中“把它们颠倒相乘”的表述没有明确是颠倒除数，逻辑错误，因此C错误。
4. 选项D：商不一定小于被除数，例如2÷0.5=4，商4大于被除数2，因此D错误。
【答案】B
【知识点】有理数除法，倒数，有理数大小比较
【点评】
本题属于有理数基础概念的易错题，核心考察对除法、倒数相关规则的准确理解，举反例是快速排除这类概念题错误选项的常用技巧，解题时要特别注意0、负数等特殊取值的限制条件，避免忽略隐含规则踩坑。
【难度系数】0.6
2. 若$|m|=3$，$|n|=2$，且$\dfrac{m}{n}＜0$，则$m+n$的值是（
A.$-1$
B.$1$
C.$1$或$5$
D.$\pm1$
D
）A.$-1$
B.$1$
C.$1$或$5$
D.$\pm1$
答案
2. D
解析
【分析】
首先我们先根据绝对值的性质，先求出m、n所有可能的取值，接着根据条件$\dfrac{m}{n}＜0$判断出m和n的符号关系：两个数的商小于0，说明这两个数异号，也就是一正一负，接下来分两种符合异号的情况分别计算m+n的结果，最后汇总得到m+n的所有可能值，就能选出正确答案了。
【解析】
解：
1. 先根据绝对值的定义求m、n的可能取值：
已知$|m|=3$，因此$m=3$或$m=-3$；
已知$|n|=2$，因此$n=2$或$n=-2$。
2. 根据$\dfrac{m}{n}＜0$判断符号关系：
两个有理数的商为负数，说明m和n异号，即二者一正一负，分两种情况计算：
情况1：m为正，n为负，即$m=3$，$n=-2$，此时$m+n=3+(-2)=1$；
情况2：m为负，n为正，即$m=-3$，$n=2$，此时$m+n=-3+2=-1$。
因此$m+n$的值为$\pm1$。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质，有理数除法符号法则，有理数加法运算
【点评】
本题属于有理数相关的基础题型，核心考点是绝对值的多解性和异号两数运算的符号规则，解题时要注意不要遗漏异号的其中一种情况，避免出现只算出1或者只算出-1的漏解错误。
【难度系数】
0.8
首先我们先根据绝对值的性质，先求出m、n所有可能的取值，接着根据条件$\dfrac{m}{n}＜0$判断出m和n的符号关系：两个数的商小于0，说明这两个数异号，也就是一正一负，接下来分两种符合异号的情况分别计算m+n的结果，最后汇总得到m+n的所有可能值，就能选出正确答案了。
【解析】
解：
1. 先根据绝对值的定义求m、n的可能取值：
已知$|m|=3$，因此$m=3$或$m=-3$；
已知$|n|=2$，因此$n=2$或$n=-2$。
2. 根据$\dfrac{m}{n}＜0$判断符号关系：
两个有理数的商为负数，说明m和n异号，即二者一正一负，分两种情况计算：
情况1：m为正，n为负，即$m=3$，$n=-2$，此时$m+n=3+(-2)=1$；
情况2：m为负，n为正，即$m=-3$，$n=2$，此时$m+n=-3+2=-1$。
因此$m+n$的值为$\pm1$。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质，有理数除法符号法则，有理数加法运算
【点评】
本题属于有理数相关的基础题型，核心考点是绝对值的多解性和异号两数运算的符号规则，解题时要注意不要遗漏异号的其中一种情况，避免出现只算出1或者只算出-1的漏解错误。
【难度系数】
0.8
3. 有下列结论:①若一个数和它的倒数相等，则这个数是$\pm1$或0；②若$-1＜m＜0$，则$m＜m^{2}＜\dfrac{1}{m}$；③若$a+b＜0$，且$\dfrac{b}{a}＞0$，则$|a+2b|=-a-2b$；④若$m$是有理数，则$|m|+m$是非负数；⑤若$c＜0＜a＜b$，则$(a-b)(b-c)(c-a)＞0$.其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3. C 提示:因为0没有倒数,所以①错误.因为$-1＜m＜0$,所以$\dfrac{1}{m}＜0,m^2＞0$,所以②错误.因为$a+b＜0$,且$\dfrac{b}{a}＞0$,所以$a＜0,b＜0$,所以$a+2b＜0$,所以$|a+2b|=-a-2b$,所以③正确.因为$|m|≥ -m$,所以$|m|+m≥0$,所以④正确.因为$c＜0＜a＜b$,所以$a-b＜0,b-c＞0,c-a＜0$,所以$(a-b)(b-c)(c-a)＞0$,所以⑤正确.
解析
【分析】
这道题属于有理数相关的正误判定类题目，解题思路非常清晰：我们不需要直接猜测选项，只需要逐个对5个给定结论逐一验证即可：首先回忆倒数的基本性质判断结论①，遇到难以直接推导的结论可以代入符合条件的特殊值举反例快速验证，比如给结论②代入区间内的具体数值排序判断对错，再结合有理数除法的符号规则、绝对值的代数意义判断结论③，分情况讨论绝对值的取值判断结论④，最后根据给定的数的大小关系判定每个因式的符号，结合“负因数个数为偶数时乘积为正”的规则判断结论⑤，最后统计正确结论的总数就能选出答案。
【解析】
我们逐个对5个结论进行分析：
1. 判定结论①：0没有倒数，因此和自身倒数相等的数仅为±1，0不符合要求，结论①错误。
2. 判定结论②：取符合-1＜m＜0的特殊值m=-0.5，此时$m^2=0.25$，$\frac{1}{m}=-2$，排序可得$\frac{1}{m}＜m＜m^2$，和给出的$m＜m^2＜\frac{1}{m}$矛盾，结论②错误。
3. 判定结论③：由$\frac{b}{a}＞0$可知a、b同号，结合$a+b＜0$可得a＜0，b＜0，因此$a+2b＜0$，负数的绝对值等于它的相反数，即$|a+2b|=-(a+2b)=-a-2b$，结论③正确。
4. 判定结论④：分两种情况讨论：当$m≥0$时，$|m|=m$，$|m|+m=2m≥0$；当$m＜0$时，$|m|=-m$，$|m|+m=-m+m=0$，两种情况结果都满足非负，因此$|m|+m$是非负数，结论④正确。
5. 判定结论⑤：已知$c＜0＜a＜b$，分别判断三个因式符号：$a-b＜0$，$b-c＞0$，$c-a＜0$，三个因式中负因数共2个（偶数个），因此乘积为正，即$(a-b)(b-c)(c-a)＞0$，结论⑤正确。
综上正确的结论共有3个。
【答案】
C
【知识点】
倒数性质，绝对值运算，有理数符号判定
【点评】
本题是有理数章节的典型综合题，逐个命题验证是这类题型的通用解法，对于难以直接推导的命题，代入符合条件的特殊值可以快速排除错误结论，解题时要注意避开“0有倒数”这类常见易错陷阱，熟练掌握绝对值的代数意义和有理数乘除的符号规则就能顺利得分。
【难度系数】
0.6
这道题属于有理数相关的正误判定类题目，解题思路非常清晰：我们不需要直接猜测选项，只需要逐个对5个给定结论逐一验证即可：首先回忆倒数的基本性质判断结论①，遇到难以直接推导的结论可以代入符合条件的特殊值举反例快速验证，比如给结论②代入区间内的具体数值排序判断对错，再结合有理数除法的符号规则、绝对值的代数意义判断结论③，分情况讨论绝对值的取值判断结论④，最后根据给定的数的大小关系判定每个因式的符号，结合“负因数个数为偶数时乘积为正”的规则判断结论⑤，最后统计正确结论的总数就能选出答案。
【解析】
我们逐个对5个结论进行分析：
1. 判定结论①：0没有倒数，因此和自身倒数相等的数仅为±1，0不符合要求，结论①错误。
2. 判定结论②：取符合-1＜m＜0的特殊值m=-0.5，此时$m^2=0.25$，$\frac{1}{m}=-2$，排序可得$\frac{1}{m}＜m＜m^2$，和给出的$m＜m^2＜\frac{1}{m}$矛盾，结论②错误。
3. 判定结论③：由$\frac{b}{a}＞0$可知a、b同号，结合$a+b＜0$可得a＜0，b＜0，因此$a+2b＜0$，负数的绝对值等于它的相反数，即$|a+2b|=-(a+2b)=-a-2b$，结论③正确。
4. 判定结论④：分两种情况讨论：当$m≥0$时，$|m|=m$，$|m|+m=2m≥0$；当$m＜0$时，$|m|=-m$，$|m|+m=-m+m=0$，两种情况结果都满足非负，因此$|m|+m$是非负数，结论④正确。
5. 判定结论⑤：已知$c＜0＜a＜b$，分别判断三个因式符号：$a-b＜0$，$b-c＞0$，$c-a＜0$，三个因式中负因数共2个（偶数个），因此乘积为正，即$(a-b)(b-c)(c-a)＞0$，结论⑤正确。
综上正确的结论共有3个。
【答案】
C
【知识点】
倒数性质，绝对值运算，有理数符号判定
【点评】
本题是有理数章节的典型综合题，逐个命题验证是这类题型的通用解法，对于难以直接推导的命题，代入符合条件的特殊值可以快速排除错误结论，解题时要注意避开“0有倒数”这类常见易错陷阱，熟练掌握绝对值的代数意义和有理数乘除的符号规则就能顺利得分。
【难度系数】
0.6
4. 若$a,b$互为相反数，$c,d$互为倒数，$x$的绝对值为3，则$a+b-cd+x$的值为
-4或2
.答案
4. $-4$或$2$ 提示:因为$a,b$互为相反数,$c,d$互为倒数,$x$的绝对值为3,所以$a+b=0,cd=1,|x|=3$,所以$x=\pm3$.当$x=3$时,$a+b-cd+x=0-1+3=2$;当$x=-3$时,原式$=0-1-3=-4$.故$a+b-cd+x$的值为$-4$或$2$.
解析
【分析】
我们拿到这道题，首先从题目给出的三个条件入手：互为相反数的两个数的和有固定结论，互为倒数的两个数的乘积也有固定结论，不需要单独求a、b、c、d各自的数值，就能直接算出a+b和cd的结果；接下来根据绝对值的定义，绝对值为3的数有两个，分别是3和-3，分两种情况把所有已知数值代入代数式计算，就能得到最终结果，注意不要遗漏x=-3的情况。
【解析】
1. 根据相关定义推导已知量：
因为a，b互为相反数，根据相反数的性质，互为相反数的两个数之和为0，因此可得：$a+b=0$
因为c，d互为倒数，根据倒数的性质，互为倒数的两个数乘积为1，因此可得：$cd=1$
已知x的绝对值为3，由绝对值的定义可知：$x=\pm3$
2. 分两种情况代入代数式计算：
当$x=3$时：
$a+b-cd+x = 0 -1 +3 = 2$
当$x=-3$时：
$a+b-cd+x = 0 -1 + (-3) = -4$
因此该代数式的值为-4或2。
【答案】
$-4$或$2$
【知识点】
相反数性质，倒数性质，绝对值运算
【点评】
本题属于有理数章节的基础代数式求值题，核心考察三个基础概念的应用，易错点是容易忽略绝对值为3的x有两个取值，只计算x=3的情况得到单一结果，解题时遇到绝对值为正数的条件时，要主动分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.8
我们拿到这道题，首先从题目给出的三个条件入手：互为相反数的两个数的和有固定结论，互为倒数的两个数的乘积也有固定结论，不需要单独求a、b、c、d各自的数值，就能直接算出a+b和cd的结果；接下来根据绝对值的定义，绝对值为3的数有两个，分别是3和-3，分两种情况把所有已知数值代入代数式计算，就能得到最终结果，注意不要遗漏x=-3的情况。
【解析】
1. 根据相关定义推导已知量：
因为a，b互为相反数，根据相反数的性质，互为相反数的两个数之和为0，因此可得：$a+b=0$
因为c，d互为倒数，根据倒数的性质，互为倒数的两个数乘积为1，因此可得：$cd=1$
已知x的绝对值为3，由绝对值的定义可知：$x=\pm3$
2. 分两种情况代入代数式计算：
当$x=3$时：
$a+b-cd+x = 0 -1 +3 = 2$
当$x=-3$时：
$a+b-cd+x = 0 -1 + (-3) = -4$
因此该代数式的值为-4或2。
【答案】
$-4$或$2$
【知识点】
相反数性质，倒数性质，绝对值运算
【点评】
本题属于有理数章节的基础代数式求值题，核心考察三个基础概念的应用，易错点是容易忽略绝对值为3的x有两个取值，只计算x=3的情况得到单一结果，解题时遇到绝对值为正数的条件时，要主动分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.8
5. 若$|x|=8$，$|y|=6$，且$xy＞0$，则$x-y$的值为
$\pm2$
。答案
5. $\pm2$
解析
【分析】
这道题的解题思路非常清晰：首先我们根据绝对值的定义，把已知的|x|=8、|y|=6去掉绝对值符号，得到x和y所有可能的取值；接下来题目给出了xy＞0的条件，也就是x和y的乘积为正，根据有理数乘法的符号规则，两个数乘积为正说明两数同号，要么同时为正，要么同时为负，我们就可以从x、y的所有取值里筛选出符合同号要求的组合；最后把每一组符合条件的x、y代入x-y计算，就能得到最终结果，注意不要漏掉任意一种符合条件的情况。
【解析】
解：
1. 根据绝对值的性质，由|x|=8，可得x=8或x=-8；
2. 同理，由|y|=6，可得y=6或y=-6；
3. 已知xy＞0，说明x、y两数同号，分两种情况讨论：
情况1：当x、y均为正数时，x=8，y=6，此时x-y=8-6=2；
情况2：当x、y均为负数时，x=-8，y=-6，此时x-y=-8 - (-6) = -8 + 6 = -2；
综上，x-y的值为2或-2。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
绝对值的性质；有理数乘法符号法则；有理数减法运算
【点评】
本题属于绝对值章节的基础题型，核心考查分类讨论思想的应用，易错点是不少同学会只计算x、y都为正的情况，漏掉两数都为负的解，解题时要牢记乘积为正则两数同号的规则，完整枚举所有符合条件的取值组合，避免漏解。
【难度系数】
0.7
这道题的解题思路非常清晰：首先我们根据绝对值的定义，把已知的|x|=8、|y|=6去掉绝对值符号，得到x和y所有可能的取值；接下来题目给出了xy＞0的条件，也就是x和y的乘积为正，根据有理数乘法的符号规则，两个数乘积为正说明两数同号，要么同时为正，要么同时为负，我们就可以从x、y的所有取值里筛选出符合同号要求的组合；最后把每一组符合条件的x、y代入x-y计算，就能得到最终结果，注意不要漏掉任意一种符合条件的情况。
【解析】
解：
1. 根据绝对值的性质，由|x|=8，可得x=8或x=-8；
2. 同理，由|y|=6，可得y=6或y=-6；
3. 已知xy＞0，说明x、y两数同号，分两种情况讨论：
情况1：当x、y均为正数时，x=8，y=6，此时x-y=8-6=2；
情况2：当x、y均为负数时，x=-8，y=-6，此时x-y=-8 - (-6) = -8 + 6 = -2；
综上，x-y的值为2或-2。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
绝对值的性质；有理数乘法符号法则；有理数减法运算
【点评】
本题属于绝对值章节的基础题型，核心考查分类讨论思想的应用，易错点是不少同学会只计算x、y都为正的情况，漏掉两数都为负的解，解题时要牢记乘积为正则两数同号的规则，完整枚举所有符合条件的取值组合，避免漏解。
【难度系数】
0.7
6. 探究与发现:两数之间有时很默契,请你观察下面一组式子,并在横线上再写出一个式子.
$(-1)×\frac{1}{2}=(-1)+\frac{1}{2};$
$(-2)×\frac{2}{3}=(-2)+\frac{2}{3};$
$(-3)×\frac{3}{4}=(-3)+\frac{3}{4};$
…
__________________________.
$(-1)×\frac{1}{2}=(-1)+\frac{1}{2};$
$(-2)×\frac{2}{3}=(-2)+\frac{2}{3};$
$(-3)×\frac{3}{4}=(-3)+\frac{3}{4};$
…
__________________________.
答案
6. $(-4)×\dfrac{4}{5}=(-4)+\dfrac{4}{5}$(答案不唯一)
解析
【分析】
我们先从给出的3个已知式子入手找规律：首先观察每个等式左边的第一个因数，依次是-1、-2、-3，是连续的负整数；再看左边第二个因数，分子分别是1、2、3，和第一个因数的绝对值完全相等，分母分别是2、3、4，等于对应分子加1；再看等式右边，恰好就是左边两个因数相加的形式。顺着这个规律，只要取下一个符合特征的数代入，就能写出满足要求的式子，也可以先推导通用通式，再代入任意正整数得到合法式子。
【解析】
1. 归纳已知等式的规律：设正整数为n，已知的三个式子分别对应n=1、n=2、n=3，对应的等式通式为：
$(-n)×\frac{n}{n+1}=(-n)+\frac{n}{n+1}$
2. 验证通式成立：
左边计算：$(-n)×\frac{n}{n+1}=-\frac{n^2}{n+1}$
右边计算：$(-n)+\frac{n}{n+1}=\frac{-n(n+1)+n}{n+1}=\frac{-n^2-n+n}{n+1}=-\frac{n^2}{n+1}$
左边=右边，通式成立。
3. 取n=4，代入通式即可得到符合要求的式子：$(-4)×\frac{4}{5}=(-4)+\frac{4}{5}$，取其他大于等于4的正整数也可得到合法答案。
【答案】
$(-4)×\dfrac{4}{5}=(-4)+\dfrac{4}{5}$(答案不唯一)
【知识点】
数字规律探究；有理数运算
【点评】
本题属于开放型规律探究题，难度较低，解题的核心思路是先从已知示例中提取数字的对应特征，归纳出通用规律后再验证正确性，所有符合推导通式的等式都是正确答案，不需要局限于写出紧邻的下一个式子。
【难度系数】
0.8
我们先从给出的3个已知式子入手找规律：首先观察每个等式左边的第一个因数，依次是-1、-2、-3，是连续的负整数；再看左边第二个因数，分子分别是1、2、3，和第一个因数的绝对值完全相等，分母分别是2、3、4，等于对应分子加1；再看等式右边，恰好就是左边两个因数相加的形式。顺着这个规律，只要取下一个符合特征的数代入，就能写出满足要求的式子，也可以先推导通用通式，再代入任意正整数得到合法式子。
【解析】
1. 归纳已知等式的规律：设正整数为n，已知的三个式子分别对应n=1、n=2、n=3，对应的等式通式为：
$(-n)×\frac{n}{n+1}=(-n)+\frac{n}{n+1}$
2. 验证通式成立：
左边计算：$(-n)×\frac{n}{n+1}=-\frac{n^2}{n+1}$
右边计算：$(-n)+\frac{n}{n+1}=\frac{-n(n+1)+n}{n+1}=\frac{-n^2-n+n}{n+1}=-\frac{n^2}{n+1}$
左边=右边，通式成立。
3. 取n=4，代入通式即可得到符合要求的式子：$(-4)×\frac{4}{5}=(-4)+\frac{4}{5}$，取其他大于等于4的正整数也可得到合法答案。
【答案】
$(-4)×\dfrac{4}{5}=(-4)+\dfrac{4}{5}$(答案不唯一)
【知识点】
数字规律探究；有理数运算
【点评】
本题属于开放型规律探究题，难度较低，解题的核心思路是先从已知示例中提取数字的对应特征，归纳出通用规律后再验证正确性，所有符合推导通式的等式都是正确答案，不需要局限于写出紧邻的下一个式子。
【难度系数】
0.8
7. 若 $x$ 是不等于 1 的有理数, 则称 $\dfrac{1}{1-x}$ 为 $x$ 的差倒数, 如: 2 的差倒数是 $\dfrac{1}{1-2}=-1,-1$ 的差倒数是 $\dfrac{1}{1-(-1)}=\dfrac{1}{2}$. 已知 $x_{1}=-\dfrac{1}{3}$, $x_{2}$ 是 $x_{1}$ 的差倒数, $x_{3}$ 是 $x_{2}$ 的差倒数, $x_{4}$ 是 $x_{3}$ 的差倒数……则 $x_{13}=$
$-\dfrac{1}{3}$
.答案
7. $-\dfrac{1}{3}$ 提示:根据题意,得$x_1=-\dfrac{1}{3},x_2=\dfrac{1}{1-(-\dfrac{1}{3})}=\dfrac{3}{4},x_3=\dfrac{1}{1-\dfrac{3}{4}}=4,x_4=\dfrac{1}{1-4}=-\dfrac{1}{3},\dots$,所以$x_n$的值以$-\dfrac{1}{3},\dfrac{3}{4},4$三个数为一组循环.因为$13÷3=4······1$,所以$x_{13}=x_1=-\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
首先先明确题目给出的“差倒数”的运算规则：对于不等于1的有理数x，它的差倒数为$\frac{1}{1-x}$。我们不需要逐个重复计算到第13项，解题思路是：先根据差倒数的定义，依次计算出前几项的结果，观察结果的特征找到循环周期，再通过除法求余数，对应周期内的项就能快速得到$x_{13}$的值。
【解析】
1. 已知初始值$x_1=-\frac{1}{3}$；
2. 按差倒数定义计算$x_2$：
$x_2=\frac{1}{1-x_1}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$；
3. 计算$x_3$：
$x_3=\frac{1}{1-x_2}=\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$；
4. 计算$x_4$：
$x_4=\frac{1}{1-x_3}=\frac{1}{1-4}=-\frac{1}{3}$；
此时发现$x_4$的取值和$x_1$完全相等，说明数列的取值以$-\frac{1}{3},\frac{3}{4},4$这3个数为一组循环，周期为3；
5. 计算项数和周期的关系：$13÷3=4······1$，即完整循环4组后，第13项对应周期内的第1个数，和$x_1$取值相等。
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
新定义运算；数字规律探究；周期运算
【点评】
本题是新定义结合周期规律的基础题型，核心要求是准确理解差倒数的运算规则，通过少量计算快速归纳出循环规律，避免无意义的重复计算。解题时注意分数通分不要出错，确定周期后根据余数对应项数即可得到结果，能有效锻炼学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
首先先明确题目给出的“差倒数”的运算规则：对于不等于1的有理数x，它的差倒数为$\frac{1}{1-x}$。我们不需要逐个重复计算到第13项，解题思路是：先根据差倒数的定义，依次计算出前几项的结果，观察结果的特征找到循环周期，再通过除法求余数，对应周期内的项就能快速得到$x_{13}$的值。
【解析】
1. 已知初始值$x_1=-\frac{1}{3}$；
2. 按差倒数定义计算$x_2$：
$x_2=\frac{1}{1-x_1}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$；
3. 计算$x_3$：
$x_3=\frac{1}{1-x_2}=\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$；
4. 计算$x_4$：
$x_4=\frac{1}{1-x_3}=\frac{1}{1-4}=-\frac{1}{3}$；
此时发现$x_4$的取值和$x_1$完全相等，说明数列的取值以$-\frac{1}{3},\frac{3}{4},4$这3个数为一组循环，周期为3；
5. 计算项数和周期的关系：$13÷3=4······1$，即完整循环4组后，第13项对应周期内的第1个数，和$x_1$取值相等。
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
新定义运算；数字规律探究；周期运算
【点评】
本题是新定义结合周期规律的基础题型，核心要求是准确理解差倒数的运算规则，通过少量计算快速归纳出循环规律，避免无意义的重复计算。解题时注意分数通分不要出错，确定周期后根据余数对应项数即可得到结果，能有效锻炼学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
8. 计算：
(1) $-3.5×(\dfrac{1}{6}-0.5)×\dfrac{3}{7}÷\dfrac{1}{2}$；
(2) $0.8×\dfrac{2}{11}+4.8×(-\dfrac{3}{7})-2.2÷\dfrac{7}{3}+0.8×\dfrac{9}{11}.$
(1) $-3.5×(\dfrac{1}{6}-0.5)×\dfrac{3}{7}÷\dfrac{1}{2}$；
(2) $0.8×\dfrac{2}{11}+4.8×(-\dfrac{3}{7})-2.2÷\dfrac{7}{3}+0.8×\dfrac{9}{11}.$
答案
8. 解:(1) 原式$=-\dfrac{7}{2}×(-\dfrac{1}{3})×\dfrac{3}{7}×2=1$.
(2) 原式$=\dfrac{4}{5}×\dfrac{2}{11}+\dfrac{24}{5}×(-\dfrac{3}{7})-\dfrac{11}{5}×\dfrac{3}{7}+\dfrac{4}{5}×\dfrac{9}{11}=\dfrac{4}{5}×(\dfrac{2}{11}+\dfrac{9}{11})-\dfrac{3}{7}×(\dfrac{24}{5}+\dfrac{11}{5})=\dfrac{4}{5}×1-\dfrac{3}{7}×7=\dfrac{4}{5}-3=-\dfrac{11}{5}$.
(2) 原式$=\dfrac{4}{5}×\dfrac{2}{11}+\dfrac{24}{5}×(-\dfrac{3}{7})-\dfrac{11}{5}×\dfrac{3}{7}+\dfrac{4}{5}×\dfrac{9}{11}=\dfrac{4}{5}×(\dfrac{2}{11}+\dfrac{9}{11})-\dfrac{3}{7}×(\dfrac{24}{5}+\dfrac{11}{5})=\dfrac{4}{5}×1-\dfrac{3}{7}×7=\dfrac{4}{5}-3=-\dfrac{11}{5}$.
解析
【分析】
这是两道有理数混合运算题，解题思路如下：
1. 第(1)题：先把小数统一转化为分数，同时将除法运算改写为乘倒数的形式，先计算括号内的减法，后续利用乘法交换律、结合律对连乘项直接约分，无需复杂计算就能得到结果。
2. 第(2)题：先把所有小数化为分数、除法全部转为乘法，观察式子可以发现存在两组带有相同因数的项，逆用乘法分配律将同组项合并，就能跳过复杂的异分母通分步骤，快速算出最终结果。
【解析】
(1) 先统一运算形式：
将$-3.5$化为$-\frac{7}{2}$，$0.5$化为$\frac{1}{2}$，除以$\frac{1}{2}$等价于乘$2$，代入原式得：
$\mathrm{原式}=-\frac{7}{2}×(\frac{1}{6}-\frac{1}{2})×\frac{3}{7}×2$
先计算括号内的减法：$\frac{1}{6}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{1}{3}$，代入后调整连乘顺序约分：
$\mathrm{原式}=-\frac{7}{2}×(-\frac{1}{3})×\frac{3}{7}×2=(-\frac{7}{2}×\frac{2}{7})×(-\frac{1}{3}×3)=(-1)×(-1)=1$
(2) 先统一运算形式：
将$0.8$化为$\frac{4}{5}$，$4.8$化为$\frac{24}{5}$，$2.2$化为$\frac{11}{5}$，除以$\frac{7}{3}$等价于乘$\frac{3}{7}$，代入原式得：
$\mathrm{原式}=\frac{4}{5}×\frac{2}{11}+\frac{24}{5}×(-\frac{3}{7})-\frac{11}{5}×\frac{3}{7}+\frac{4}{5}×\frac{9}{11}$
逆用乘法分配律，分别合并含相同因数的项：
$\mathrm{原式}=\frac{4}{5}×(\frac{2}{11}+\frac{9}{11})-\frac{3}{7}×(\frac{24}{5}+\frac{11}{5})$
计算括号内的部分：$\frac{2}{11}+\frac{9}{11}=1$，$\frac{24}{5}+\frac{11}{5}=7$，代入得：
$\mathrm{原式}=\frac{4}{5}×1-\frac{3}{7}×7=\frac{4}{5}-3=-\frac{11}{5}$
【答案】
(1) $1$；(2) $-\dfrac{11}{5}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，分数约分
【点评】
本题是有理数运算板块的典型简便计算题型，核心技巧是先统一数的表达形式，再观察式子结构灵活运用乘法运算律简化计算，能大幅降低运算复杂度，避免硬算带来的计算错误，适合巩固有理数运算的简便处理技巧。
【难度系数】
0.6
这是两道有理数混合运算题，解题思路如下：
1. 第(1)题：先把小数统一转化为分数，同时将除法运算改写为乘倒数的形式，先计算括号内的减法，后续利用乘法交换律、结合律对连乘项直接约分，无需复杂计算就能得到结果。
2. 第(2)题：先把所有小数化为分数、除法全部转为乘法，观察式子可以发现存在两组带有相同因数的项，逆用乘法分配律将同组项合并，就能跳过复杂的异分母通分步骤，快速算出最终结果。
【解析】
(1) 先统一运算形式：
将$-3.5$化为$-\frac{7}{2}$，$0.5$化为$\frac{1}{2}$，除以$\frac{1}{2}$等价于乘$2$，代入原式得：
$\mathrm{原式}=-\frac{7}{2}×(\frac{1}{6}-\frac{1}{2})×\frac{3}{7}×2$
先计算括号内的减法：$\frac{1}{6}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{1}{3}$，代入后调整连乘顺序约分：
$\mathrm{原式}=-\frac{7}{2}×(-\frac{1}{3})×\frac{3}{7}×2=(-\frac{7}{2}×\frac{2}{7})×(-\frac{1}{3}×3)=(-1)×(-1)=1$
(2) 先统一运算形式：
将$0.8$化为$\frac{4}{5}$，$4.8$化为$\frac{24}{5}$，$2.2$化为$\frac{11}{5}$，除以$\frac{7}{3}$等价于乘$\frac{3}{7}$，代入原式得：
$\mathrm{原式}=\frac{4}{5}×\frac{2}{11}+\frac{24}{5}×(-\frac{3}{7})-\frac{11}{5}×\frac{3}{7}+\frac{4}{5}×\frac{9}{11}$
逆用乘法分配律，分别合并含相同因数的项：
$\mathrm{原式}=\frac{4}{5}×(\frac{2}{11}+\frac{9}{11})-\frac{3}{7}×(\frac{24}{5}+\frac{11}{5})$
计算括号内的部分：$\frac{2}{11}+\frac{9}{11}=1$，$\frac{24}{5}+\frac{11}{5}=7$，代入得：
$\mathrm{原式}=\frac{4}{5}×1-\frac{3}{7}×7=\frac{4}{5}-3=-\frac{11}{5}$
【答案】
(1) $1$；(2) $-\dfrac{11}{5}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，分数约分
【点评】
本题是有理数运算板块的典型简便计算题型，核心技巧是先统一数的表达形式，再观察式子结构灵活运用乘法运算律简化计算，能大幅降低运算复杂度，避免硬算带来的计算错误，适合巩固有理数运算的简便处理技巧。
【难度系数】
0.6
9. 阅读下面的解题过程,并解答后面的问题.
$\mathrm{计算:}(-15)÷(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2})×6.$
$\begin{aligned}\mathrm{解:原式}&=(-15)÷(-\dfrac{1}{6})×6(\mathrm{第一步})\\&=(-15)÷(-1)(\mathrm{第二步})\\&=-15(\mathrm{第三步}).\end{aligned}$
(1) 上面的解题过程中有两处错误,第一处是第___________步,错误的原因是__________________,第二处是第____________步,错误的原因是______________________.
(2) 把正确的解题过程写出来.
$\mathrm{计算:}(-15)÷(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2})×6.$
$\begin{aligned}\mathrm{解:原式}&=(-15)÷(-\dfrac{1}{6})×6(\mathrm{第一步})\\&=(-15)÷(-1)(\mathrm{第二步})\\&=-15(\mathrm{第三步}).\end{aligned}$
(1) 上面的解题过程中有两处错误,第一处是第___________步,错误的原因是__________________,第二处是第____________步,错误的原因是______________________.
(2) 把正确的解题过程写出来.
答案
9. (1) 二 运算顺序错误 三 有理数除法法则运用错误
(2) 解:$(-15)÷(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2})×6=(-15)÷(-\dfrac{1}{6})×6=(-15)×(-6)×6=90×6=540$.
(2) 解:$(-15)÷(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2})×6=(-15)÷(-\dfrac{1}{6})×6=(-15)×(-6)×6=90×6=540$.
解析
【分析】
我们先回忆有理数四则混合运算的基本规则：有括号先算括号内的内容，乘除属于同级运算，需要按照从左到右的顺序依次计算，同时有理数乘除运算要先确定符号，遵循同号得正、异号得负的规则，再计算绝对值。首先逐行核对题目给出的解题过程：第一步先计算括号内的减法，得到$-\frac{1}{6}$，这一步是正确的；第二步没有按照从左到右的顺序计算除法，反而先计算了后面的$\frac{1}{6}×6$，属于运算顺序错误；第三步就算按照错误的第二步的运算，两个负数相除结果也应该为正，这里得到-15，违背了有理数除法的符号规则。之后我们按照正确的运算顺序，从左到右依次计算乘除，就能得到正确结果。
【解析】
(1) 对照运算规则逐行排查：第一处错误在第二步，乘除是同级运算，应该从左到右依次计算，这里错误先算了后面的乘法，属于运算顺序错误；第二处错误在第三步，两个负数相除，根据有理数除法法则，同号相除结果为正，这里得到的结果符号为负，属于有理数除法法则运用错误。
(2) 按照正确运算顺序计算：
先计算括号内的减法，再从左到右依次计算乘除即可：
$\begin{aligned}(-15)÷(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2})×6&=(-15)÷(-\dfrac{1}{6})×6\\&=(-15)×(-6)×6\\&=90×6\\&=540\end{aligned}$
【答案】
(1) 二 运算顺序错误 三 有理数除法法则运用错误 (2) 解:$(-15)÷(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2})×6=(-15)÷(-\dfrac{1}{6})×6=(-15)×(-6)×6=90×6=540$
【知识点】
有理数混合运算，有理数乘除法则
【点评】
本题属于有理数运算的易错点纠错题，重点考察学生对同级运算顺序的掌握情况，很多初学者容易忽略乘除同级运算必须从左到右依次计算的规则，随意调整运算顺序导致出错，同时也提醒大家进行乘除运算时要先确定结果的符号，再计算数值，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
我们先回忆有理数四则混合运算的基本规则：有括号先算括号内的内容，乘除属于同级运算，需要按照从左到右的顺序依次计算，同时有理数乘除运算要先确定符号，遵循同号得正、异号得负的规则，再计算绝对值。首先逐行核对题目给出的解题过程：第一步先计算括号内的减法，得到$-\frac{1}{6}$，这一步是正确的；第二步没有按照从左到右的顺序计算除法，反而先计算了后面的$\frac{1}{6}×6$，属于运算顺序错误；第三步就算按照错误的第二步的运算，两个负数相除结果也应该为正，这里得到-15，违背了有理数除法的符号规则。之后我们按照正确的运算顺序，从左到右依次计算乘除，就能得到正确结果。
【解析】
(1) 对照运算规则逐行排查：第一处错误在第二步，乘除是同级运算，应该从左到右依次计算，这里错误先算了后面的乘法，属于运算顺序错误；第二处错误在第三步，两个负数相除，根据有理数除法法则，同号相除结果为正，这里得到的结果符号为负，属于有理数除法法则运用错误。
(2) 按照正确运算顺序计算：
先计算括号内的减法，再从左到右依次计算乘除即可：
$\begin{aligned}(-15)÷(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2})×6&=(-15)÷(-\dfrac{1}{6})×6\\&=(-15)×(-6)×6\\&=90×6\\&=540\end{aligned}$
【答案】
(1) 二 运算顺序错误 三 有理数除法法则运用错误 (2) 解:$(-15)÷(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2})×6=(-15)÷(-\dfrac{1}{6})×6=(-15)×(-6)×6=90×6=540$
【知识点】
有理数混合运算，有理数乘除法则
【点评】
本题属于有理数运算的易错点纠错题，重点考察学生对同级运算顺序的掌握情况，很多初学者容易忽略乘除同级运算必须从左到右依次计算的规则，随意调整运算顺序导致出错，同时也提醒大家进行乘除运算时要先确定结果的符号，再计算数值，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
