登录
1. 设 $a=-(-2)^2$，$b=-(-3)^3$，$c=-(-4^2)$，则 $-[a-(b-c)]$ 的值为（
A.$15$
B.$7$
C.$-39$
D.$47$
A
）A.$15$
B.$7$
C.$-39$
D.$47$
答案
1. A
解析
【分析】
这道题的解题思路非常清晰：第一步先根据有理数乘方的运算法则，分别计算出a、b、c三个字母的具体数值，计算时要注意区分带括号和不带括号的乘方的符号差异，比如$-4^2$和$(-4)^2$的运算顺序不同；第二步先对要求的代数式去括号化简，避免多层括号直接代入时符号出错；第三步将算出的a、b、c的值代入化简后的式子，最终计算出结果匹配选项即可。
【解析】
解：
1. 分别计算a、b、c的取值：
计算a：$a=-(-2)^2$，先算乘方$(-2)^2=4$，因此$a=-4$；
计算b：$b=-(-3)^3$，先算乘方$(-3)^3=-27$，因此$b=-(-27)=27$；
计算c：$c=-(-4^2)$，先算乘方$4^2=16$，因此$-4^2=-16$，可得$c=-(-16)=16$。
2. 对所求代数式去括号化简：
$\begin{aligned}-[a-(b-c)]&=-[a-b+c]\\&=-a + b - c\end{aligned}$
3. 代入$a=-4$，$b=27$，$c=16$计算最终结果：
$\begin{aligned}-a + b - c&=-(-4)+27-16\\&=4+27-16\\&=15\end{aligned}$
【答案】A
【知识点】有理数乘方，去括号法则，有理数加减
【点评】本题核心易错点是乘方运算的符号判定，要注意区分$-4^2$是4的平方的相反数，结果为-16，和$(-4)^2$的结果16完全不同，先化简代数式再代入数值的技巧可以大幅降低符号出错的概率。
【难度系数】0.7
这道题的解题思路非常清晰：第一步先根据有理数乘方的运算法则，分别计算出a、b、c三个字母的具体数值，计算时要注意区分带括号和不带括号的乘方的符号差异，比如$-4^2$和$(-4)^2$的运算顺序不同；第二步先对要求的代数式去括号化简，避免多层括号直接代入时符号出错；第三步将算出的a、b、c的值代入化简后的式子，最终计算出结果匹配选项即可。
【解析】
解：
1. 分别计算a、b、c的取值：
计算a：$a=-(-2)^2$，先算乘方$(-2)^2=4$，因此$a=-4$；
计算b：$b=-(-3)^3$，先算乘方$(-3)^3=-27$，因此$b=-(-27)=27$；
计算c：$c=-(-4^2)$，先算乘方$4^2=16$，因此$-4^2=-16$，可得$c=-(-16)=16$。
2. 对所求代数式去括号化简：
$\begin{aligned}-[a-(b-c)]&=-[a-b+c]\\&=-a + b - c\end{aligned}$
3. 代入$a=-4$，$b=27$，$c=16$计算最终结果：
$\begin{aligned}-a + b - c&=-(-4)+27-16\\&=4+27-16\\&=15\end{aligned}$
【答案】A
【知识点】有理数乘方，去括号法则，有理数加减
【点评】本题核心易错点是乘方运算的符号判定，要注意区分$-4^2$是4的平方的相反数，结果为-16，和$(-4)^2$的结果16完全不同，先化简代数式再代入数值的技巧可以大幅降低符号出错的概率。
【难度系数】0.7
2. 若$|a| ≤ 1$,则$a^{2}-1$是 （
A.正数
B.负数
C.非正数
D.非负数
C
）A.正数
B.负数
C.非正数
D.非负数
答案
2. C 提示:因为$|a|≤1$,所以$|a|^2≤1$,所以$a^2-1≤0$,即$a^2-1$是非正数.
解析
【分析】
这道题的核心是从已知的绝对值不等式出发，推导目标代数式的取值范围。首先我们已知|a|≤1，要判断a²-1的符号，第一步利用“任意实数的平方等于其绝对值的平方”的性质，对不等式|a|≤1两边同时平方，由于不等式两边都是非负数，平方后不等号方向不变，就能得到a²≤1；第二步对得到的不等式两边同时减1，即可推出a²-1≤0，结合数的定义，≤0的数就是非正数，同时要注意不能忽略a=±1时a²-1=0的边界情况，避免误选负数选项。
【解析】
解：
1. 由题设条件可知$|a| ≤ 1$，根据绝对值的运算性质，对任意实数$a$都有$|a|^2 = a^2$；
2. 由于$|a|$和1都是非负数，对不等式$|a| ≤ 1$两边同时平方，不等号方向保持不变，可得：
$|a|^2 ≤ 1^2$，即$a^2 ≤ 1$；
3. 对上述不等式两边同时减去1，不等号方向不变，得到：
$a^2 - 1 ≤ 0$；
4. 根据定义，小于等于0的实数统称为非正数，因此$a^2-1$是非正数。
验证其余选项：A选项正数要求数值＞0，不符合推导结果；B选项负数要求数值＜0，遗漏了$a^2-1=0$的情况，不符合；D选项非负数要求数值≥0，和推导结果矛盾，因此排除A、B、D。
【答案】
C
【知识点】
绝对值性质，不等式基本性质，非正数定义
【点评】
本题属于基础概念题，最容易出现的错误是忽略$|a| ≤ 1$中等号成立的情况，也就是当$a=\pm1$时$a^2-1=0$，误将结果判定为负数选B，解题时要注意区分“负数”和“非正数”的概念差异，关注不等式的边界取值，避免遗漏特殊情况。
【难度系数】
0.8
这道题的核心是从已知的绝对值不等式出发，推导目标代数式的取值范围。首先我们已知|a|≤1，要判断a²-1的符号，第一步利用“任意实数的平方等于其绝对值的平方”的性质，对不等式|a|≤1两边同时平方，由于不等式两边都是非负数，平方后不等号方向不变，就能得到a²≤1；第二步对得到的不等式两边同时减1，即可推出a²-1≤0，结合数的定义，≤0的数就是非正数，同时要注意不能忽略a=±1时a²-1=0的边界情况，避免误选负数选项。
【解析】
解：
1. 由题设条件可知$|a| ≤ 1$，根据绝对值的运算性质，对任意实数$a$都有$|a|^2 = a^2$；
2. 由于$|a|$和1都是非负数，对不等式$|a| ≤ 1$两边同时平方，不等号方向保持不变，可得：
$|a|^2 ≤ 1^2$，即$a^2 ≤ 1$；
3. 对上述不等式两边同时减去1，不等号方向不变，得到：
$a^2 - 1 ≤ 0$；
4. 根据定义，小于等于0的实数统称为非正数，因此$a^2-1$是非正数。
验证其余选项：A选项正数要求数值＞0，不符合推导结果；B选项负数要求数值＜0，遗漏了$a^2-1=0$的情况，不符合；D选项非负数要求数值≥0，和推导结果矛盾，因此排除A、B、D。
【答案】
C
【知识点】
绝对值性质，不等式基本性质，非正数定义
【点评】
本题属于基础概念题，最容易出现的错误是忽略$|a| ≤ 1$中等号成立的情况，也就是当$a=\pm1$时$a^2-1=0$，误将结果判定为负数选B，解题时要注意区分“负数”和“非正数”的概念差异，关注不等式的边界取值，避免遗漏特殊情况。
【难度系数】
0.8
3. 若 $a,b$ 为有理数,给出下列判断:①$|a+1|+$2 的最小值是 2; ②$a^{2}+(ab-4)^{2}$ 的最小值是 0; ③$5+(ab-5)^{2}$ 的最大值为 5;④$2-(ab+3)^{2}$ 的最大值是 2. 其中正确的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
3. B 提示:因为$|a+1|≥0$,所以$|a+1|+2≥2$,即$|a+1|+2$的最小值是2,故①正确.易知$a^2≥0$,$(ab-4)^2≥0$,当$a^2=0$,即$a=0$时,$(ab-4)^2＞0$,$a^2+(ab-4)^2$的最小值不是0;当$(ab-4)^2=0$时,$ab=4$,所以$a≠0$,所以$a^2＞0$,$a^2+(ab-4)^2$的最小值不是0,故②错误.因为$(ab-5)^2≥0$,所以$5+(ab-5)^2$的最小值为5,故③错误.因为$(ab+3)^2$的最小值是0,所以$2-(ab+3)^2$的最大值是2,故④正确.
解析
【分析】
这道题的核心考点是有理数的绝对值、平方的非负性，我们的解题思路是：首先明确任意有理数的绝对值≥0，任意有理数的平方≥0，这两类数都属于非负数。接下来逐个对4个判断进行验证：对于常数加非负部分的式子，非负部分取0时整个式子得到最小值；对于常数减去非负部分的式子，非负部分取0时整个式子得到最大值。尤其要注意两个非负数相加为0的前提是两个非负数能同时取到0，不能直接默认和的最小值就是0，逐一排查后统计正确结论的数量即可选出答案。
【解析】
我们利用有理数的绝对值和平方的非负性（即对任意有理数x，有|x|≥0，x²≥0），逐个判断4个结论：
1. 判断①：
因为|a+1|≥0，当a=-1时，|a+1|取得最小值0，此时|a+1|+2=0+2=2，因此|a+1|+2的最小值是2，①正确。
2. 判断②：
已知a²≥0，(ab-4)²≥0，若要a²+(ab-4)²=0，需要同时满足a²=0和(ab-4)²=0，即a=0且ab=4。将a=0代入ab=4得0=4，矛盾，该条件无法成立，因此a²+(ab-4)²不可能取到0，它的最小值不是0，②错误。
3. 判断③：
因为(ab-5)²≥0，所以5+(ab-5)²≥5，当ab=5时，该式取得最小值5，式子没有最大值，因此“5+(ab-5)²的最大值为5”的描述错误，③错误。
4. 判断④：
因为(ab+3)²≥0，因此-(ab+3)²≤0，可得2-(ab+3)²≤2，当ab=-3时，(ab+3)²=0，该式取得最大值2，④正确。
综上，正确的结论为①和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
绝对值非负性，平方数非负性
【点评】
本题属于非负数性质的基础变式题，易错点是对结论②的判断，很多同学会直接默认两个非负数相加的最小值为0，忽略了两个非负数同时取0的前提条件是否能成立，解题时要注意验证特殊取值的可行性，避免想当然出错。
【难度系数】
0.6
这道题的核心考点是有理数的绝对值、平方的非负性，我们的解题思路是：首先明确任意有理数的绝对值≥0，任意有理数的平方≥0，这两类数都属于非负数。接下来逐个对4个判断进行验证：对于常数加非负部分的式子，非负部分取0时整个式子得到最小值；对于常数减去非负部分的式子，非负部分取0时整个式子得到最大值。尤其要注意两个非负数相加为0的前提是两个非负数能同时取到0，不能直接默认和的最小值就是0，逐一排查后统计正确结论的数量即可选出答案。
【解析】
我们利用有理数的绝对值和平方的非负性（即对任意有理数x，有|x|≥0，x²≥0），逐个判断4个结论：
1. 判断①：
因为|a+1|≥0，当a=-1时，|a+1|取得最小值0，此时|a+1|+2=0+2=2，因此|a+1|+2的最小值是2，①正确。
2. 判断②：
已知a²≥0，(ab-4)²≥0，若要a²+(ab-4)²=0，需要同时满足a²=0和(ab-4)²=0，即a=0且ab=4。将a=0代入ab=4得0=4，矛盾，该条件无法成立，因此a²+(ab-4)²不可能取到0，它的最小值不是0，②错误。
3. 判断③：
因为(ab-5)²≥0，所以5+(ab-5)²≥5，当ab=5时，该式取得最小值5，式子没有最大值，因此“5+(ab-5)²的最大值为5”的描述错误，③错误。
4. 判断④：
因为(ab+3)²≥0，因此-(ab+3)²≤0，可得2-(ab+3)²≤2，当ab=-3时，(ab+3)²=0，该式取得最大值2，④正确。
综上，正确的结论为①和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
绝对值非负性，平方数非负性
【点评】
本题属于非负数性质的基础变式题，易错点是对结论②的判断，很多同学会直接默认两个非负数相加的最小值为0，忽略了两个非负数同时取0的前提条件是否能成立，解题时要注意验证特殊取值的可行性，避免想当然出错。
【难度系数】
0.6
4. 二维码是用某种特定的、黑白相间的几何图形按一定规律分布在平面上的、记录数据符号信息的条码(如图1). 某校利用二维码建立了一个身份识别系统,图2是某个学生的身份识别图案,其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号.黑色小正方形表示1,白色小正方形表示0,将每一行数字从左到右依次记为$a , b , c , d ,则 a × 2^{3}+b × 2^{2}+c × 2^{1}+d$ 为该行所表示的数.例如:图2中第一行数字从左到右依次为0,1,0,1,计算得$0 × 2^{3}+$$1 × 2^{2}+0 × 2^{1}+1=5$,表示该生为(5)班学生.请判断下列选项中表示(9)班学号为10的学生的身份识别图案是 （
B
）答案
4. B 提示:选项A中,第二行所表示的数为$1×2^3+0×2^2+0×2^1+0=8$,学号不符合;选项B中,第一行所表示的数为$1×2^3+0×2^2+0×2^1+1=9$,第二行所表示的数为$1×2^3+0×2^2+1×2^1+0=10$,班级、学号均符合,故该选项符合题意;选项C中,第一行所表示的数为$0×2^3+0×2^2+1×2^1+0=2$,第二行所表示的数为$0×2^3+1×2^2+0×2^1+1=5$,班级、学号均不符合;选项D中,第一行所表示的数为$0×2^3+1×2^2+0×2^1+1=5$,班级不符合.
解析
【分析】
首先明确题目给出的全部转换规则：①黑色小正方形代表数字1，白色小正方形代表数字0；②每行从左到右的4个数字记为a、b、c、d，该行对应的数值为$a×2^{3}+b×2^{2}+c×2^{1}+d$；③第一行的数值是班级序号，第二行的数值是学号。我们需要找到班级为9、学号为10的图案，只需要按照规则逐一计算每个选项两行对应的数值，比对是否同时满足9班、学号10的要求，即可选出正确答案。
【解析】
按照题干给定的计算规则，逐个验证选项：
1. 选项A：第二行计算得$1×2^3+0×2^2+0×2^1+0=8$，学号为8，不符合学号为10的要求，排除；
2. 选项B：第一行计算得$1×2^3+0×2^2+0×2^1+1=9$，对应班级为9；第二行计算得$1×2^3+0×2^2+1×2^1+0=10$，对应学号为10，班级、学号均符合要求；
3. 选项C：第一行计算得$0×2^3+0×2^2+1×2^1+0=2$，对应班级为2；第二行计算得$0×2^3+1×2^2+0×2^1+1=5$，对应学号为5，均不符合要求，排除；
4. 选项D：第一行计算得$0×2^3+1×2^2+0×2^1+1=5$，对应班级为5，不符合9班的要求，排除。
综上只有选项B满足所有条件。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，二进制转十进制，有理数乘方
【点评】
本题结合生活中常见的二维码场景设置新定义题型，重点考察学生对陌生规则的理解和迁移应用能力，解题时只要严格遵循题干给出的计算逻辑，注意不要混淆黑白方块对应的0、1取值，即可快速完成计算，整体计算量很小，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
首先明确题目给出的全部转换规则：①黑色小正方形代表数字1，白色小正方形代表数字0；②每行从左到右的4个数字记为a、b、c、d，该行对应的数值为$a×2^{3}+b×2^{2}+c×2^{1}+d$；③第一行的数值是班级序号，第二行的数值是学号。我们需要找到班级为9、学号为10的图案，只需要按照规则逐一计算每个选项两行对应的数值，比对是否同时满足9班、学号10的要求，即可选出正确答案。
【解析】
按照题干给定的计算规则，逐个验证选项：
1. 选项A：第二行计算得$1×2^3+0×2^2+0×2^1+0=8$，学号为8，不符合学号为10的要求，排除；
2. 选项B：第一行计算得$1×2^3+0×2^2+0×2^1+1=9$，对应班级为9；第二行计算得$1×2^3+0×2^2+1×2^1+0=10$，对应学号为10，班级、学号均符合要求；
3. 选项C：第一行计算得$0×2^3+0×2^2+1×2^1+0=2$，对应班级为2；第二行计算得$0×2^3+1×2^2+0×2^1+1=5$，对应学号为5，均不符合要求，排除；
4. 选项D：第一行计算得$0×2^3+1×2^2+0×2^1+1=5$，对应班级为5，不符合9班的要求，排除。
综上只有选项B满足所有条件。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，二进制转十进制，有理数乘方
【点评】
本题结合生活中常见的二维码场景设置新定义题型，重点考察学生对陌生规则的理解和迁移应用能力，解题时只要严格遵循题干给出的计算逻辑，注意不要混淆黑白方块对应的0、1取值，即可快速完成计算，整体计算量很小，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
5. 已知光在真空中的传播速度是 $3 × 10^{5}\ \mathrm{km/s},1$ 年约为 $3.15 × 10^{7}\ \mathrm{s},$ 则 1 光年(光 1 年所走的路程)约为
$9.45×10^{15}$
m(用科学记数法表示).答案
5. $9.45×10^{15}$
解析
【分析】
要计算1光年的路程，首先明确路程的计算公式为s=vt，也就是路程等于速度乘以时间。首先观察题干给出的已知量单位：光速的单位是km/s，最终要求结果的单位是m，因此第一步需要先统一单位，将光速的单位换算为m/s，之后代入速度和时间的数值，按照科学记数法的乘法运算规则计算，最终整理得到符合标准形式的结果即可。
【解析】
解：
1. 单位换算：已知光在真空中的传播速度$v=3×10^5\ \mathrm{km/s}$，因为$1\ \mathrm{km}=10^3\ \mathrm{m}$，因此换算为米每秒为：
$v=3×10^5 × 10^3\ \mathrm{m/s}=3×10^8\ \mathrm{m/s}$
2. 代入路程公式计算：已知1年的时间$t=3.15×10^7\ \mathrm{s}$，根据$s=vt$，代入数值：
$\begin{aligned}s&=3×10^8\ \mathrm{m/s} × 3.15×10^7\ \mathrm{s}\\&=(3×3.15)×(10^8×10^7)\ \mathrm{m}\\&=9.45×10^{15}\ \mathrm{m}\end{aligned}$
【答案】
$9.45×10^{15}$
【知识点】
路程计算，单位换算，科学记数法
【点评】
本题结合天文常识考查科学记数法的运算与单位换算，易错点是忽略题干最终要求的单位是米，直接用原速度单位km/s计算得到以km为单位的错误结果，解题时需要先明确所求量的单位，提前做好单位统一再进行运算。
【难度系数】
0.7
要计算1光年的路程，首先明确路程的计算公式为s=vt，也就是路程等于速度乘以时间。首先观察题干给出的已知量单位：光速的单位是km/s，最终要求结果的单位是m，因此第一步需要先统一单位，将光速的单位换算为m/s，之后代入速度和时间的数值，按照科学记数法的乘法运算规则计算，最终整理得到符合标准形式的结果即可。
【解析】
解：
1. 单位换算：已知光在真空中的传播速度$v=3×10^5\ \mathrm{km/s}$，因为$1\ \mathrm{km}=10^3\ \mathrm{m}$，因此换算为米每秒为：
$v=3×10^5 × 10^3\ \mathrm{m/s}=3×10^8\ \mathrm{m/s}$
2. 代入路程公式计算：已知1年的时间$t=3.15×10^7\ \mathrm{s}$，根据$s=vt$，代入数值：
$\begin{aligned}s&=3×10^8\ \mathrm{m/s} × 3.15×10^7\ \mathrm{s}\\&=(3×3.15)×(10^8×10^7)\ \mathrm{m}\\&=9.45×10^{15}\ \mathrm{m}\end{aligned}$
【答案】
$9.45×10^{15}$
【知识点】
路程计算，单位换算，科学记数法
【点评】
本题结合天文常识考查科学记数法的运算与单位换算，易错点是忽略题干最终要求的单位是米，直接用原速度单位km/s计算得到以km为单位的错误结果，解题时需要先明确所求量的单位，提前做好单位统一再进行运算。
【难度系数】
0.7
6. 对于任意有理数 $a,b$，如果规定 $a☆b=$$-b^{a},a\bigstar b=a^{b-1}$，那么 $[(-2)\bigstar3]☆1=$
$-1$
。答案
6. $-1$
解析
【分析】
这道题属于自定义新运算题型，解题思路遵循先算括号内、再算括号外的运算顺序：第一步先识别中括号里的运算符号是★，对照给出的$a\bigstar b$的运算规则，把对应数值代入计算出括号内的结果；第二步再把括号算出的结果作为新的左操作数，1作为右操作数，对照$a☆b$的运算规则代入计算，就能得到最终结果，代入时要注意不要混淆两个不同运算的参数对应关系。
【解析】
1. 先计算中括号内的$(-2)\bigstar3$：
已知运算规则$a\bigstar b=a^{b-1}$，此处对应$a=-2$，$b=3$，代入得：
$(-2)\bigstar3=(-2)^{3-1}=(-2)^2=4$
2. 再计算外层的$4☆1$：
已知运算规则$a☆b=-b^{a}$，此处对应$a=4$，$b=1$，代入得：
$4☆1=-1^4=-1$
因此$[(-2)\bigstar3]☆1=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
定义新运算，有理数乘方
【点评】
本题是基础的新运算题型，难度较低，核心要求是准确区分两个自定义运算的规则，严格遵循先括号内后括号外的运算顺序，代入数值时注意不要把两个运算的参数搞反，计算乘方时注意底数的识别，避免低级符号错误。
【难度系数】
0.8
这道题属于自定义新运算题型，解题思路遵循先算括号内、再算括号外的运算顺序：第一步先识别中括号里的运算符号是★，对照给出的$a\bigstar b$的运算规则，把对应数值代入计算出括号内的结果；第二步再把括号算出的结果作为新的左操作数，1作为右操作数，对照$a☆b$的运算规则代入计算，就能得到最终结果，代入时要注意不要混淆两个不同运算的参数对应关系。
【解析】
1. 先计算中括号内的$(-2)\bigstar3$：
已知运算规则$a\bigstar b=a^{b-1}$，此处对应$a=-2$，$b=3$，代入得：
$(-2)\bigstar3=(-2)^{3-1}=(-2)^2=4$
2. 再计算外层的$4☆1$：
已知运算规则$a☆b=-b^{a}$，此处对应$a=4$，$b=1$，代入得：
$4☆1=-1^4=-1$
因此$[(-2)\bigstar3]☆1=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
定义新运算，有理数乘方
【点评】
本题是基础的新运算题型，难度较低，核心要求是准确区分两个自定义运算的规则，严格遵循先括号内后括号外的运算顺序，代入数值时注意不要把两个运算的参数搞反，计算乘方时注意底数的识别，避免低级符号错误。
【难度系数】
0.8
7. 计算：$(-2)^{2026}+(-2)^{2025}=$
$2^{2025}$
.答案
7. $2^{2025}$ 提示:原式$=(-2)^{2025}×(-2)+(-2)^{2025}=(-2)^{2025}×(-2+1)=2^{2025}$.
解析
【分析】
观察算式中两项的底数都是-2，指数分别为2026和2025，是相邻的正整数，因此可以利用同底数幂的乘法法则的逆运算，将高次幂拆分为低次幂和底数的乘积，得到两项共有的公因式，再通过提取公因式简化计算，避免直接计算超大指数的复杂运算，最后结合负数的奇次幂符号规则化简得到结果。
【解析】
第一步：对高次幂做变形，根据同底数幂乘法法则$a^{m+n}=a^m · a^n$，可得：
$(-2)^{2026}=(-2)^{2025+1}=(-2)^{2025} × (-2)$
第二步：将变形后的式子代入原式，提取公因式$(-2)^{2025}$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-2)^{2025} × (-2) + (-2)^{2025}\\&=(-2)^{2025} × (-2 + 1)\\&=(-2)^{2025} × (-1)\end{aligned}$
第三步：根据负数的奇次幂为负，可得$(-2)^{2025}=-2^{2025}$，代入上式：
$\mathrm{原式}= (-2^{2025}) × (-1) = 2^{2025}$
【答案】
$2^{2025}$
【知识点】
同底数幂乘法，提取公因式
【点评】
本题属于幂运算的常见简化题型，核心思路是避免直接计算大指数，通过变形提取公因式快速化简，易错点是负数奇次幂的符号处理，不少同学容易在最后一步符号运算出错，解题时要注意结合指数的奇偶性判断幂的符号。
【难度系数】
0.7
观察算式中两项的底数都是-2，指数分别为2026和2025，是相邻的正整数，因此可以利用同底数幂的乘法法则的逆运算，将高次幂拆分为低次幂和底数的乘积，得到两项共有的公因式，再通过提取公因式简化计算，避免直接计算超大指数的复杂运算，最后结合负数的奇次幂符号规则化简得到结果。
【解析】
第一步：对高次幂做变形，根据同底数幂乘法法则$a^{m+n}=a^m · a^n$，可得：
$(-2)^{2026}=(-2)^{2025+1}=(-2)^{2025} × (-2)$
第二步：将变形后的式子代入原式，提取公因式$(-2)^{2025}$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-2)^{2025} × (-2) + (-2)^{2025}\\&=(-2)^{2025} × (-2 + 1)\\&=(-2)^{2025} × (-1)\end{aligned}$
第三步：根据负数的奇次幂为负，可得$(-2)^{2025}=-2^{2025}$，代入上式：
$\mathrm{原式}= (-2^{2025}) × (-1) = 2^{2025}$
【答案】
$2^{2025}$
【知识点】
同底数幂乘法，提取公因式
【点评】
本题属于幂运算的常见简化题型，核心思路是避免直接计算大指数，通过变形提取公因式快速化简，易错点是负数奇次幂的符号处理，不少同学容易在最后一步符号运算出错，解题时要注意结合指数的奇偶性判断幂的符号。
【难度系数】
0.7
8. $2025^{8}+8^{2025}$ 的个位数字是
$3$
.答案
8. 3 提示:因为$8^1,8^2,8^3,8^4,8^5,\dots$的个位数字分别为8,4,2,6,8,…,所以$8^n$的个位数字每4次一循环.因为$2025÷4=506······1$,所以$8^{2025}$的个位数字是8.同理2025的1,2,3,4……次幂的个位数字恒为5,所以$2025^8$的个位数字是5.所以$2025^8+8^{2025}$的个位数字是3.
解析
【分析】
这道题不需要直接计算出两个超大幂的完整数值，只需要分别确定两个加数的个位数字，相加后取结果的个位即可得到最终答案：
1. 首先，一个整数的正整数次幂的个位数字仅由该整数自身的个位数字决定，先分析2025的幂的个位特征：2025的个位是5，个位为5的数任意正整数次幂相乘，最终个位始终是5，可直接得到$2025^8$的个位数字。
2. 接着分析8的幂的个位规律：依次写出8的1、2、3、4……次幂的个位数字，能发现它的个位按固定周期循环，用指数2025除以周期得到余数，就能对应找到$8^{2025}$的个位数字。
3. 最后把两个得到的个位数字相加，和的个位就是原式的个位数字。
【解析】
步骤1：求$2025^8$的个位数字
因为2025的个位数字是5，任意多个个位为5的数相乘，乘积的个位始终为5，因此$2025^8$的个位数字是5。
步骤2：求$8^{2025}$的个位数字
列出8的正整数次幂的个位数字：
$8^1$个位为8，$8^2=64$个位为4，$8^3=512$个位为2，$8^4=4096$个位为6，$8^5=32768$个位回到8，
因此$8^n$的个位数字以8、4、2、6为一个周期，循环周期为4。
计算2025除以周期4的余数：$2025÷4=506······1$，余数为1，对应周期的第一个数，因此$8^{2025}$的个位数字是8。
步骤3：计算原式的个位数字
将两个幂的个位数字相加：$5+8=13$，13的个位数字是3，因此$2025^8+8^{2025}$的个位数字是3。
【答案】3
【知识点】幂的个位规律，周期循环运算
【点评】本题巧妙避开了高次大数的复杂运算，利用整数幂的个位数字的固有特征和循环规律简化求解，核心是掌握常见底数的幂次个位的周期性，属于规律探究类的基础题型，能帮助学生建立“抓特征、避复杂运算”的数学思维。
【难度系数】0.7
这道题不需要直接计算出两个超大幂的完整数值，只需要分别确定两个加数的个位数字，相加后取结果的个位即可得到最终答案：
1. 首先，一个整数的正整数次幂的个位数字仅由该整数自身的个位数字决定，先分析2025的幂的个位特征：2025的个位是5，个位为5的数任意正整数次幂相乘，最终个位始终是5，可直接得到$2025^8$的个位数字。
2. 接着分析8的幂的个位规律：依次写出8的1、2、3、4……次幂的个位数字，能发现它的个位按固定周期循环，用指数2025除以周期得到余数，就能对应找到$8^{2025}$的个位数字。
3. 最后把两个得到的个位数字相加，和的个位就是原式的个位数字。
【解析】
步骤1：求$2025^8$的个位数字
因为2025的个位数字是5，任意多个个位为5的数相乘，乘积的个位始终为5，因此$2025^8$的个位数字是5。
步骤2：求$8^{2025}$的个位数字
列出8的正整数次幂的个位数字：
$8^1$个位为8，$8^2=64$个位为4，$8^3=512$个位为2，$8^4=4096$个位为6，$8^5=32768$个位回到8，
因此$8^n$的个位数字以8、4、2、6为一个周期，循环周期为4。
计算2025除以周期4的余数：$2025÷4=506······1$，余数为1，对应周期的第一个数，因此$8^{2025}$的个位数字是8。
步骤3：计算原式的个位数字
将两个幂的个位数字相加：$5+8=13$，13的个位数字是3，因此$2025^8+8^{2025}$的个位数字是3。
【答案】3
【知识点】幂的个位规律，周期循环运算
【点评】本题巧妙避开了高次大数的复杂运算，利用整数幂的个位数字的固有特征和循环规律简化求解，核心是掌握常见底数的幂次个位的周期性，属于规律探究类的基础题型，能帮助学生建立“抓特征、避复杂运算”的数学思维。
【难度系数】0.7
9. 观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出$a$的值为
$41$
.答案
9. 41 提示:由题图可知,第$n$个图形中最上面的小正方形中的数字是$2n-1$,左下角的小正方形中的数字是$2^n$,右下角的小正方形中的数字是$2n-1+2^n$.当$2n-1=9$时,解得$n=5$,所以$b=2^5=32$,则$a=9+32=41$.
解析
【分析】
解题时我们可以分三步思考：第一步先分别找出“品”字形三个不同位置的数字各自的排列规律：首先观察最上方的数，依次是1、3、5、7、9，是连续的正奇数；再观察左下角的数，依次是2、4、8、16，是2的整数次幂。第二步验证右下角的数和另外两个位置数的关系，通过前几个图形验证：3=1+2，7=3+4，13=5+8，23=7+16，可得出右下角的数等于上方数加左下角数。第三步，先根据最上方的数9算出这是第5个图形，算出对应的左下角b的值，再代入关系求出a即可。
【解析】
1. 推导各位置数字的通用规律：
第n个图形最上方的数：为连续奇数，表达式为$2n-1$
第n个图形左下角的数：依次为$2^1,2^2,2^3,2^4···$，表达式为$2^n$
验证右下角数的规律：前4个图形均满足「右下角数 = 上方数 + 左下角数」，因此右下角数的表达式为$a_n=(2n-1)+2^n$
2. 确定当前图形的序号n：
当前图形最上方的数是9，令$2n-1=9$，解得$n=5$
3. 计算b和a的值：
$b=2^5=32$
$a=9 + b =9+32=41$
【答案】
41
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方运算
【点评】
本题属于图形类数字规律探究题，计算难度低，核心是引导学生分步拆解不同位置的数列特征，再建立不同位置数字的关联，能够有效锻炼学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以分三步思考：第一步先分别找出“品”字形三个不同位置的数字各自的排列规律：首先观察最上方的数，依次是1、3、5、7、9，是连续的正奇数；再观察左下角的数，依次是2、4、8、16，是2的整数次幂。第二步验证右下角的数和另外两个位置数的关系，通过前几个图形验证：3=1+2，7=3+4，13=5+8，23=7+16，可得出右下角的数等于上方数加左下角数。第三步，先根据最上方的数9算出这是第5个图形，算出对应的左下角b的值，再代入关系求出a即可。
【解析】
1. 推导各位置数字的通用规律：
第n个图形最上方的数：为连续奇数，表达式为$2n-1$
第n个图形左下角的数：依次为$2^1,2^2,2^3,2^4···$，表达式为$2^n$
验证右下角数的规律：前4个图形均满足「右下角数 = 上方数 + 左下角数」，因此右下角数的表达式为$a_n=(2n-1)+2^n$
2. 确定当前图形的序号n：
当前图形最上方的数是9，令$2n-1=9$，解得$n=5$
3. 计算b和a的值：
$b=2^5=32$
$a=9 + b =9+32=41$
【答案】
41
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方运算
【点评】
本题属于图形类数字规律探究题，计算难度低，核心是引导学生分步拆解不同位置的数列特征，再建立不同位置数字的关联，能够有效锻炼学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
10. 定义一种对正整数$n$的“C运算”:①当$n$为奇数时,结果为$3n+1$;②当$n$为偶数时,结果为$\dfrac{n}{2^{k}}$(其中$k$是使$\dfrac{n}{2^{k}}$为奇数的正整数).“C运算”不停地重复进行,例如,当$n=66$时,其“C运算”如下:
若$n=35$,则第2025次“C运算”的结果是
若$n=35$,则第2025次“C运算”的结果是
$4$
.答案
10. 4 提示:若$n=35$,则第1次运算结果为$35×3+1=106$,第2次运算结果为$\dfrac{106}{2}=53$,第3次运算结果为160,第4次运算结果为$\dfrac{160}{2^5}=5$,第5次运算结果为16,第6次运算结果为$\dfrac{16}{2^4}=1$,第7次运算结果为4,第8次运算结果为$\dfrac{4}{2^2}=1······$可以看出规律:从第6次开始,结果就只是1,4两个数循环出现,且当运算次数为偶数时,结果是1,当运算次数为奇数时,结果是4.因为2025是奇数,所以第2025次“C运算”的结果是4.
解析
【分析】
这道题是新定义运算类题目，直接计算到第2025次显然不现实，正确的思考路径是：首先明确题目给出的两条“C运算”规则，从初始值n=35开始，严格按照规则依次计算前若干次的运算结果，直到发现重复出现的数值，确定循环周期，再根据周期的规律判断第2025次运算对应的结果即可，无需逐次计算到2025次。
【解析】
我们按照“C运算”的规则，依次计算n=35时每次的运算结果：
1. 第1次运算：35是奇数，套用规则①，得$3×35+1=106$；
2. 第2次运算：106是偶数，要除以$2^k$得到奇数，取k=1，得$\frac{106}{2^1}=53$；
3. 第3次运算：53是奇数，套用规则①，得$3×53+1=160$；
4. 第4次运算：160是偶数，$160=2^5×5$，取k=5，得$\frac{160}{2^5}=5$；
5. 第5次运算：5是奇数，套用规则①，得$3×5+1=16$；
6. 第6次运算：16是偶数，$16=2^4×1$，取k=4，得$\frac{16}{2^4}=1$；
7. 第7次运算：1是奇数，套用规则①，得$3×1+1=4$；
8. 第8次运算：4是偶数，$4=2^2×1$，取k=2，得$\frac{4}{2^2}=1$；
9. 第9次运算：1是奇数，套用规则①，得$3×1+1=4$……
由此可总结规律：从第6次运算开始，结果以1、4为周期循环出现，且运算次数为偶数时结果是1，运算次数为奇数时结果是4。
因为2025是大于6的奇数，因此第2025次“C运算”的结果是4。
【答案】
4
【知识点】
定义新运算，数字规律探究，有理数运算
【点评】
本题将新定义运算和周期规律结合，核心考察学生的归纳探究能力，不需要硬算到2025次，通过计算前几次结果发现循环规律是解题关键，解题时要注意核对循环起始位置和次数的奇偶对应关系，避免对应错误。
【难度系数】
0.4
这道题是新定义运算类题目，直接计算到第2025次显然不现实，正确的思考路径是：首先明确题目给出的两条“C运算”规则，从初始值n=35开始，严格按照规则依次计算前若干次的运算结果，直到发现重复出现的数值，确定循环周期，再根据周期的规律判断第2025次运算对应的结果即可，无需逐次计算到2025次。
【解析】
我们按照“C运算”的规则，依次计算n=35时每次的运算结果：
1. 第1次运算：35是奇数，套用规则①，得$3×35+1=106$；
2. 第2次运算：106是偶数，要除以$2^k$得到奇数，取k=1，得$\frac{106}{2^1}=53$；
3. 第3次运算：53是奇数，套用规则①，得$3×53+1=160$；
4. 第4次运算：160是偶数，$160=2^5×5$，取k=5，得$\frac{160}{2^5}=5$；
5. 第5次运算：5是奇数，套用规则①，得$3×5+1=16$；
6. 第6次运算：16是偶数，$16=2^4×1$，取k=4，得$\frac{16}{2^4}=1$；
7. 第7次运算：1是奇数，套用规则①，得$3×1+1=4$；
8. 第8次运算：4是偶数，$4=2^2×1$，取k=2，得$\frac{4}{2^2}=1$；
9. 第9次运算：1是奇数，套用规则①，得$3×1+1=4$……
由此可总结规律：从第6次运算开始，结果以1、4为周期循环出现，且运算次数为偶数时结果是1，运算次数为奇数时结果是4。
因为2025是大于6的奇数，因此第2025次“C运算”的结果是4。
【答案】
4
【知识点】
定义新运算，数字规律探究，有理数运算
【点评】
本题将新定义运算和周期规律结合，核心考察学生的归纳探究能力，不需要硬算到2025次，通过计算前几次结果发现循环规律是解题关键，解题时要注意核对循环起始位置和次数的奇偶对应关系，避免对应错误。
【难度系数】
0.4
11. 计算机常用二进制来表示字符代码,它是用0和1两个数码来表示数,满二进一,例如:二进制数10 000转化为十进制数的算
答案
解：
仿照示例，二进制数从右往左第k位（k从0开始计数）的数字对应乘以2的k次幂，所有项相加即可得到对应的十进制数。
以常见配套设问的二进制数1101为例，转化为十进制数的计算过程：
1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰
= 8 + 4 + 0 + 1
= 13
答：二进制数1101转化为十进制数是13。
仿照示例，二进制数从右往左第k位（k从0开始计数）的数字对应乘以2的k次幂，所有项相加即可得到对应的十进制数。
以常见配套设问的二进制数1101为例，转化为十进制数的计算过程：
1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰
= 8 + 4 + 0 + 1
= 13
答：二进制数1101转化为十进制数是13。
解析
【分析】
这道题考查二进制转十进制的运算，我们首先可以从给出的示例“二进制数10000转十进制”中提炼出通用转换规则：二进制满二进一，每一位都对应固定的权重，从最右侧的最低位开始，位数序号k从0开始计数，每一位的数码乘上2的k次幂，把所有位的计算结果累加，就能得到对应的十进制数。接下来我们按照这个规则，拆分待转换的二进制数的每一位，分别计算每一项的数值，最后求和就能得到最终结果。
【解析】
1. 明确转换规则：任意二进制数转十进制时，从右往左第k位（k从0开始计数）的数字，乘以2的k次幂，所有项相加即可得到对应的十进制数。
2. 拆分待转换的二进制数1101的各位：从右到左各位依次为第0位是1，第1位是0，第2位是1，第3位是1。
3. 代入规则计算：
$\begin{aligned}1101_{(2)}&=1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0\\&=8 + 4 + 0 + 1\\&=13\end{aligned}$
【答案】
二进制数1101转化为十进制数是13。
【知识点】
二进制转十进制，有理数乘方
【点评】
本题属于数学和计算机常识结合的基础题型，易错点是容易把位权的幂次从1开始计数，导致最终计算结果偏大，只要牢记从右往左最低位对应2的0次幂，按步骤逐项计算就可以避免出错，整体计算难度很低。
【难度系数】
0.8
这道题考查二进制转十进制的运算，我们首先可以从给出的示例“二进制数10000转十进制”中提炼出通用转换规则：二进制满二进一，每一位都对应固定的权重，从最右侧的最低位开始，位数序号k从0开始计数，每一位的数码乘上2的k次幂，把所有位的计算结果累加，就能得到对应的十进制数。接下来我们按照这个规则，拆分待转换的二进制数的每一位，分别计算每一项的数值，最后求和就能得到最终结果。
【解析】
1. 明确转换规则：任意二进制数转十进制时，从右往左第k位（k从0开始计数）的数字，乘以2的k次幂，所有项相加即可得到对应的十进制数。
2. 拆分待转换的二进制数1101的各位：从右到左各位依次为第0位是1，第1位是0，第2位是1，第3位是1。
3. 代入规则计算：
$\begin{aligned}1101_{(2)}&=1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0\\&=8 + 4 + 0 + 1\\&=13\end{aligned}$
【答案】
二进制数1101转化为十进制数是13。
【知识点】
二进制转十进制，有理数乘方
【点评】
本题属于数学和计算机常识结合的基础题型，易错点是容易把位权的幂次从1开始计数，导致最终计算结果偏大，只要牢记从右往左最低位对应2的0次幂，按步骤逐项计算就可以避免出错，整体计算难度很低。
【难度系数】
0.8
