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法为 $1 × 2^{4}+0 × 2^{3}+0 × 2^{2}+0 × 2^{1}+0=$
16.其他进制也有类似的算法.
(1) 根据以上信息,将二进制数“1 011”转化为十进制数.
(2) 中国古代《易经》一书中记载,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳记数”.如图,一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结,满五进一,用来记录采集到的野果数量.请计算采集到的野果数量.
16.其他进制也有类似的算法.
(1) 根据以上信息,将二进制数“1 011”转化为十进制数.
(2) 中国古代《易经》一书中记载,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳记数”.如图,一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结,满五进一,用来记录采集到的野果数量.请计算采集到的野果数量.
答案
11. 解:(1) 1 011转化为十进制数是$1×2^3+0×2^2+1×2^1+1=8+0+2+1=11$.
(2) 由于满五进一,可以将其看作五进制数“2 302”,转化为十进制数为$2×5^3+3×5^2+0×5^1+2=250+75+0+2=327$.
答:采集到的野果数量为327个.
(2) 由于满五进一,可以将其看作五进制数“2 302”,转化为十进制数为$2×5^3+3×5^2+0×5^1+2=250+75+0+2=327$.
答:采集到的野果数量为327个.
解析
【分析】
首先从题目给出的示例理解进制转十进制的通用规则：对于N进制数，每一位数字依次乘以N的对应位次幂次，所有乘积相加即可得到对应的十进制数。
第(1)问是二进制数1011转十进制，该数共4位，最高位对应2的3次方，后续位次的幂次依次降1，将每一位数字和对应2的幂次相乘后求和就能得到结果。
第(2)问是满五进一的结绳记数，题目明确绳子从右到左排列，对应五进制的低位到高位，先数出每根绳子的打结数量得到完整的五进制数，再按照进制转换规则，每一位乘对应5的幂次求和，就能算出野果总数量，注意不要搞反数位高低顺序。
【解析】
(1) 按照二进制转十进制的规则计算：
$\begin{aligned}1011_{(2)}&=1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1\\&=8+0+2+1\\&=11\end{aligned}$
(2) 从右到左数四根绳子的打结数依次为2、0、3、2，对应五进制数2302，将其转化为十进制：
$\begin{aligned}2302_{(5)}&=2×5^3 + 3×5^2 + 0×5^1 + 2\\&=250+75+0+2\\&=327\end{aligned}$
【答案】
(1) 11；(2) 采集到的野果数量为327个
【知识点】
进制转换，有理数乘方，结绳记数
【点评】
本题属于新定义迁移类题型，先通过二进制转十进制的示例给出通用转换规则，再结合古代结绳记数的文化场景考察五进制的实际应用，重点考察学生的知识迁移能力，解题时只要数清每根绳的打结数量、不混淆数位高低顺序，就可以顺利得到正确结果。
【难度系数】
0.8
首先从题目给出的示例理解进制转十进制的通用规则：对于N进制数，每一位数字依次乘以N的对应位次幂次，所有乘积相加即可得到对应的十进制数。
第(1)问是二进制数1011转十进制，该数共4位，最高位对应2的3次方，后续位次的幂次依次降1，将每一位数字和对应2的幂次相乘后求和就能得到结果。
第(2)问是满五进一的结绳记数，题目明确绳子从右到左排列，对应五进制的低位到高位，先数出每根绳子的打结数量得到完整的五进制数，再按照进制转换规则，每一位乘对应5的幂次求和，就能算出野果总数量，注意不要搞反数位高低顺序。
【解析】
(1) 按照二进制转十进制的规则计算：
$\begin{aligned}1011_{(2)}&=1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1\\&=8+0+2+1\\&=11\end{aligned}$
(2) 从右到左数四根绳子的打结数依次为2、0、3、2，对应五进制数2302，将其转化为十进制：
$\begin{aligned}2302_{(5)}&=2×5^3 + 3×5^2 + 0×5^1 + 2\\&=250+75+0+2\\&=327\end{aligned}$
【答案】
(1) 11；(2) 采集到的野果数量为327个
【知识点】
进制转换，有理数乘方，结绳记数
【点评】
本题属于新定义迁移类题型，先通过二进制转十进制的示例给出通用转换规则，再结合古代结绳记数的文化场景考察五进制的实际应用，重点考察学生的知识迁移能力，解题时只要数清每根绳的打结数量、不混淆数位高低顺序，就可以顺利得到正确结果。
【难度系数】
0.8
12. 观察下表的三行数(其中$n$为正整数)：
下面结论正确的是
①第1行第8列的数为128；
②用含$n$的式子表示$c$为$2^{n}+1$；
③若$a=x$，则$a+d+e=\dfrac{7}{2}x+1$；
④从第3行中任意选取连续的三个数相加的和一定是7的整数倍.
下面结论正确的是
②③④
（填序号）.①第1行第8列的数为128；
②用含$n$的式子表示$c$为$2^{n}+1$；
③若$a=x$，则$a+d+e=\dfrac{7}{2}x+1$；
④从第3行中任意选取连续的三个数相加的和一定是7的整数倍.
答案
12. ②③④ 提示:根据题意,得第1行第$n$列的数为$2^n$,所以第1行第8列的数为$2^8=256$,故①不正确;第2行第$n$列的数为$2^n+1$,故②正确;第3行第$n$列的数为$\dfrac{1}{2}×2^n$,所以$a=2^n$,$d=2^{n+1}+1$,$e=\dfrac{1}{2}×2^n$,所以$a+d+e=2^n+2×2^n+1+\dfrac{1}{2}×2^n=\dfrac{7}{2}×2^n+1$,由$a=x$,得$a+d+e=\dfrac{7}{2}x+1$,故③正确;从第3行中任意选取连续的三个数相加的和为$\dfrac{1}{2}×2^n+\dfrac{1}{2}×2^{n+1}+\dfrac{1}{2}×2^{n+2}=\dfrac{1}{2}×2^n+\dfrac{1}{2}×2×2^n+\dfrac{1}{2}×2×2×2^n=7×2^{n-1}(n≥1)$,所以从第3行中任意选取连续的三个数相加的和一定是7的整数倍,故④正确.
解析
【分析】
解题时我们先逐行观察数列特征，推导每一行第k列对应的数的通用规律：
1. 先看第1行的数：2、4、8、16，都是2的幂次，可得出第1行第k列的数为$2^k$；
2. 对比第2行和第1行同列的数：3=2+1、5=4+1、9=8+1、17=16+1，可得第2行第k列的数是第1行同列数加1，即$2^k +1$；
3. 对比第3行和第1行同列的数：1=2÷2、2=4÷2、4=8÷2、8=16÷2，可得第3行第k列的数是第1行同列数的$\frac{1}{2}$，即$2^{k-1}$。
得到三个行的通项规律后，再逐个验证题目给出的4个结论是否正确即可。
【解析】
我们逐一验证每个结论：
1. 验证结论①：第1行第8列的数，代入第1行通项$2^k$，k=8时，$2^8=256≠128$，因此①错误；
2. 验证结论②：c是第2行第n列的数，代入第2行通项，得$c=2^n +1$，因此②正确；
3. 验证结论③：已知a是第1行第n列的数，$a=x=2^n$；d是第2行第n+1列的数，$d=2^{n+1}+1=2·2^n +1=2x+1$；e是第3行第n列的数，$e=2^{n-1}= \frac{1}{2}·2^n = \frac{x}{2}$。因此$a+d+e = x + 2x +1 + \frac{x}{2} = \frac{7}{2}x +1$，因此③正确；
4. 验证结论④：设从第3行选取的连续三个数是第k、k+1、k+2列的数，三个数分别为$2^{k-1}$、$2^k$、$2^{k+1}$，求和得：
$2^{k-1} + 2^k + 2^{k+1} = 2^{k-1} + 2·2^{k-1} +4·2^{k-1} =7·2^{k-1}$，显然该结果是7的整数倍，因此④正确。
综上正确的结论是②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
数字规律探究，幂的运算，代数式化简
【点评】
本题属于规律探究类综合题，核心是先通过观察前几列的数值特征，推导出三行各自的列数对应数值的通项公式，再代入验证各个结论。解题时要注意区分不同行、不同列对应的指数取值，避免指数搞错导致计算失误，同时要熟练运用幂的运算法则完成代数式的化简推导。
【难度系数】
0.4
解题时我们先逐行观察数列特征，推导每一行第k列对应的数的通用规律：
1. 先看第1行的数：2、4、8、16，都是2的幂次，可得出第1行第k列的数为$2^k$；
2. 对比第2行和第1行同列的数：3=2+1、5=4+1、9=8+1、17=16+1，可得第2行第k列的数是第1行同列数加1，即$2^k +1$；
3. 对比第3行和第1行同列的数：1=2÷2、2=4÷2、4=8÷2、8=16÷2，可得第3行第k列的数是第1行同列数的$\frac{1}{2}$，即$2^{k-1}$。
得到三个行的通项规律后，再逐个验证题目给出的4个结论是否正确即可。
【解析】
我们逐一验证每个结论：
1. 验证结论①：第1行第8列的数，代入第1行通项$2^k$，k=8时，$2^8=256≠128$，因此①错误；
2. 验证结论②：c是第2行第n列的数，代入第2行通项，得$c=2^n +1$，因此②正确；
3. 验证结论③：已知a是第1行第n列的数，$a=x=2^n$；d是第2行第n+1列的数，$d=2^{n+1}+1=2·2^n +1=2x+1$；e是第3行第n列的数，$e=2^{n-1}= \frac{1}{2}·2^n = \frac{x}{2}$。因此$a+d+e = x + 2x +1 + \frac{x}{2} = \frac{7}{2}x +1$，因此③正确；
4. 验证结论④：设从第3行选取的连续三个数是第k、k+1、k+2列的数，三个数分别为$2^{k-1}$、$2^k$、$2^{k+1}$，求和得：
$2^{k-1} + 2^k + 2^{k+1} = 2^{k-1} + 2·2^{k-1} +4·2^{k-1} =7·2^{k-1}$，显然该结果是7的整数倍，因此④正确。
综上正确的结论是②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
数字规律探究，幂的运算，代数式化简
【点评】
本题属于规律探究类综合题，核心是先通过观察前几列的数值特征，推导出三行各自的列数对应数值的通项公式，再代入验证各个结论。解题时要注意区分不同行、不同列对应的指数取值，避免指数搞错导致计算失误，同时要熟练运用幂的运算法则完成代数式的化简推导。
【难度系数】
0.4
13.【阅读学习】
计算:$1+5+5^{2}+5^{3}+···+5^{99}+5^{100}$.
观察发现,上式从第二项起,每一项都是
它前一项的5倍.如果将上式各项都乘5,所得新算式中除个别项外,其余与原式中的项都相同,于是两式相减将使差易于计算.
解:设$S=1+5+5^{2}+···+5^{99}+5^{100}$ ①,
则$5S=5+5^{2}+5^{3}+···+5^{100}+5^{101}$ ②,
②$-$①,得$4S=5^{101}-1$,则$S=\dfrac{5^{101}-1}{4}$,
即原式$=\dfrac{5^{101}-1}{4}$.
上面计算用的方法称为"错位相减法".如果一列数,从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中都等于5),那么这列数的求和问题均可用上述"错位相减法"来解决.
【理解掌握】
(1) 请你观察算式$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{2^{3}}+···+\dfrac{1}{2^{2025}}$是否具备上述规律?若具备,请你尝试用"错位相减法"计算上式的结果.
【灵活应用】
(2) 已知$|x_{1}-1|+(x_{2}-2)^{2}+|x_{3}-3|+(x_{4}-4)^{4}+···+|x_{2025}-2025|+(x_{2026}-2026)^{2026}=0$,则$2^{x_{1}}-2^{x_{2}}-2^{x_{3}}-···-2^{x_{2025}}+2^{x_{2026}}=$
计算:$1+5+5^{2}+5^{3}+···+5^{99}+5^{100}$.
观察发现,上式从第二项起,每一项都是
它前一项的5倍.如果将上式各项都乘5,所得新算式中除个别项外,其余与原式中的项都相同,于是两式相减将使差易于计算.
解:设$S=1+5+5^{2}+···+5^{99}+5^{100}$ ①,
则$5S=5+5^{2}+5^{3}+···+5^{100}+5^{101}$ ②,
②$-$①,得$4S=5^{101}-1$,则$S=\dfrac{5^{101}-1}{4}$,
即原式$=\dfrac{5^{101}-1}{4}$.
上面计算用的方法称为"错位相减法".如果一列数,从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中都等于5),那么这列数的求和问题均可用上述"错位相减法"来解决.
【理解掌握】
(1) 请你观察算式$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{2^{3}}+···+\dfrac{1}{2^{2025}}$是否具备上述规律?若具备,请你尝试用"错位相减法"计算上式的结果.
【灵活应用】
(2) 已知$|x_{1}-1|+(x_{2}-2)^{2}+|x_{3}-3|+(x_{4}-4)^{4}+···+|x_{2025}-2025|+(x_{2026}-2026)^{2026}=0$,则$2^{x_{1}}-2^{x_{2}}-2^{x_{3}}-···-2^{x_{2025}}+2^{x_{2026}}=$
$6$
.答案
13. 解:(1) 具备上述规律.
设$S=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dots+\dfrac{1}{2^{2025}}$①,
则$\dfrac{1}{2}S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^4}+\dots+\dfrac{1}{2^{2026}}$②,
①$-$②,得$\dfrac{1}{2}S=1-\dfrac{1}{2^{2026}}$,则$S=2-\dfrac{1}{2^{2025}}$,即原式$=2-\dfrac{1}{2^{2025}}$.
(2) 6 提示:因为$|x_1-1|+(x_2-2)^2+|x_3-3|+(x_4-4)^4+\dots+|x_{2025}-2\ 025|+(x_{2026}-2\ 026)^{2026}=0$,且$|x_1-1|≥0$,$(x_2-2)^2≥0$,$|x_3-3|≥0$,$(x_4-4)^4≥0$,$\dots$,$|x_{2025}-2\ 025|≥0$,$(x_{2026}-2\ 026)^{2026}≥0$,所以$x_1-1=0$,$x_2-2=0$,$x_3-3=0$,$x_4-4=0$,$\dots$,$x_{2025}-2\ 025=0$,$x_{2026}-2\ 026=0$,解得$x_1=1$,$x_2=2$,$x_3=3$,$\dots$,$x_{2026}=2\ 026$,所以原式$=2^1-2^2-2^3-2^4-\dots-2^{2025}+2^{2026}=2^1+2^1-(2^1+2^2+\dots+2^{2025})+2^{2026}$.设$S=2^1+2^2+\dots+2^{2025}$①,所以$2S=2^2+2^3+\dots+2^{2026}$②,②$-$①,得$S=2^{2026}-2^1$,所以原式$=4-(2^{2026}-2)+2^{2026}=6$.
设$S=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dots+\dfrac{1}{2^{2025}}$①,
则$\dfrac{1}{2}S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^4}+\dots+\dfrac{1}{2^{2026}}$②,
①$-$②,得$\dfrac{1}{2}S=1-\dfrac{1}{2^{2026}}$,则$S=2-\dfrac{1}{2^{2025}}$,即原式$=2-\dfrac{1}{2^{2025}}$.
(2) 6 提示:因为$|x_1-1|+(x_2-2)^2+|x_3-3|+(x_4-4)^4+\dots+|x_{2025}-2\ 025|+(x_{2026}-2\ 026)^{2026}=0$,且$|x_1-1|≥0$,$(x_2-2)^2≥0$,$|x_3-3|≥0$,$(x_4-4)^4≥0$,$\dots$,$|x_{2025}-2\ 025|≥0$,$(x_{2026}-2\ 026)^{2026}≥0$,所以$x_1-1=0$,$x_2-2=0$,$x_3-3=0$,$x_4-4=0$,$\dots$,$x_{2025}-2\ 025=0$,$x_{2026}-2\ 026=0$,解得$x_1=1$,$x_2=2$,$x_3=3$,$\dots$,$x_{2026}=2\ 026$,所以原式$=2^1-2^2-2^3-2^4-\dots-2^{2025}+2^{2026}=2^1+2^1-(2^1+2^2+\dots+2^{2025})+2^{2026}$.设$S=2^1+2^2+\dots+2^{2025}$①,所以$2S=2^2+2^3+\dots+2^{2026}$②,②$-$①,得$S=2^{2026}-2^1$,所以原式$=4-(2^{2026}-2)+2^{2026}=6$.
解析
【分析】
首先处理第(1)问：先观察算式的规律，验证从第二项起每一项与前一项的比值都为1/2，符合题目给出的错位相减法的适用条件，完全可以参照题干给出的示例步骤，先设总和为S，给S整体乘公比1/2，再将两式相减，抵消中间的大量相同项，即可快速求出S的结果。
再处理第(2)问：首先根据绝对值、偶次幂的非负性，多个非负数相加和为0时，每一个非负数都为0，由此直接解出所有x₁到x₂₀₂₆的取值，代入待求式后，对中间的等比数列部分使用错位相减法求和，代入后高次幂项会互相抵消，最终得到常数结果。
【解析】
(1) 该算式具备题目描述的规律：从第二项起，每一项都是前一项的1/2，相邻两项比值恒等。
设$S=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dots+\dfrac{1}{2^{2025}}$ ①，
将等式两边同时乘公比$\dfrac{1}{2}$，得：
$\dfrac{1}{2}S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^4}+\dots+\dfrac{1}{2^{2026}}$ ②，
用①式减去②式，得：
$\dfrac{1}{2}S=1-\dfrac{1}{2^{2026}}$，
两边同乘2，得$S=2-\dfrac{1}{2^{2025}}$。
(2) 已知$|x_{1}-1|+(x_{2}-2)^{2}+|x_{3}-3|+(x_{4}-4)^{4}+···+|x_{2025}-2025|+(x_{2026}-2026)^{2026}=0$，
由于绝对值和任意正整数次的偶次幂都具有非负性，即：
$|x_1-1|≥0$，$(x_2-2)^2≥0$，……，$(x_{2026}-2026)^{2026}≥0$，
多个非负数的和为0，说明每一项都等于0，因此：
$x_1-1=0$，$x_2-2=0$，……，$x_{2026}-2026=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=2$，$x_3=3$，……，$x_{2026}=2026$。
将其代入待求式：
$2^{x_{1}}-2^{x_{2}}-2^{x_{3}}-···-2^{x_{2025}}+2^{x_{2026}}$
$=2^1 - 2^2 -2^3 - \dots -2^{2025} + 2^{2026}$
对式子做变形：
$= 2 + 2 - (2 + 2^2 + 2^3 + \dots +2^{2025}) + 2^{2026}$
设$S=2+2^2+2^3+\dots+2^{2025}$ ①，
两边乘2得：$2S=2^2+2^3+\dots+2^{2026}$ ②，
②-①得：$S=2^{2026}-2$，
将S代入原式：
原式$=4 - (2^{2026}-2) + 2^{2026} = 6$。
【答案】
(1) 具备上述规律，结果为$2-\dfrac{1}{2^{2025}}$；(2) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
错位相减法求和
非负数的性质
等比数列运算
【点评】
本题属于阅读拓展类题型，先通过示例讲解错位相减法的核心逻辑，第一问侧重考察学生对新方法的模仿应用能力，难度较低；第二问结合非负数的性质，需要先求出变量取值，再对原式做适当变形后使用错位相减法，高次项最终抵消得到常数结果，既考察学生的知识综合运用能力，也锻炼学生的代数变形思维。
【难度系数】
0.4
首先处理第(1)问：先观察算式的规律，验证从第二项起每一项与前一项的比值都为1/2，符合题目给出的错位相减法的适用条件，完全可以参照题干给出的示例步骤，先设总和为S，给S整体乘公比1/2，再将两式相减，抵消中间的大量相同项，即可快速求出S的结果。
再处理第(2)问：首先根据绝对值、偶次幂的非负性，多个非负数相加和为0时，每一个非负数都为0，由此直接解出所有x₁到x₂₀₂₆的取值，代入待求式后，对中间的等比数列部分使用错位相减法求和，代入后高次幂项会互相抵消，最终得到常数结果。
【解析】
(1) 该算式具备题目描述的规律：从第二项起，每一项都是前一项的1/2，相邻两项比值恒等。
设$S=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dots+\dfrac{1}{2^{2025}}$ ①，
将等式两边同时乘公比$\dfrac{1}{2}$，得：
$\dfrac{1}{2}S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^4}+\dots+\dfrac{1}{2^{2026}}$ ②，
用①式减去②式，得：
$\dfrac{1}{2}S=1-\dfrac{1}{2^{2026}}$，
两边同乘2，得$S=2-\dfrac{1}{2^{2025}}$。
(2) 已知$|x_{1}-1|+(x_{2}-2)^{2}+|x_{3}-3|+(x_{4}-4)^{4}+···+|x_{2025}-2025|+(x_{2026}-2026)^{2026}=0$，
由于绝对值和任意正整数次的偶次幂都具有非负性，即：
$|x_1-1|≥0$，$(x_2-2)^2≥0$，……，$(x_{2026}-2026)^{2026}≥0$，
多个非负数的和为0，说明每一项都等于0，因此：
$x_1-1=0$，$x_2-2=0$，……，$x_{2026}-2026=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=2$，$x_3=3$，……，$x_{2026}=2026$。
将其代入待求式：
$2^{x_{1}}-2^{x_{2}}-2^{x_{3}}-···-2^{x_{2025}}+2^{x_{2026}}$
$=2^1 - 2^2 -2^3 - \dots -2^{2025} + 2^{2026}$
对式子做变形：
$= 2 + 2 - (2 + 2^2 + 2^3 + \dots +2^{2025}) + 2^{2026}$
设$S=2+2^2+2^3+\dots+2^{2025}$ ①，
两边乘2得：$2S=2^2+2^3+\dots+2^{2026}$ ②，
②-①得：$S=2^{2026}-2$，
将S代入原式：
原式$=4 - (2^{2026}-2) + 2^{2026} = 6$。
【答案】
(1) 具备上述规律，结果为$2-\dfrac{1}{2^{2025}}$；(2) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
错位相减法求和
非负数的性质
等比数列运算
【点评】
本题属于阅读拓展类题型，先通过示例讲解错位相减法的核心逻辑，第一问侧重考察学生对新方法的模仿应用能力，难度较低；第二问结合非负数的性质，需要先求出变量取值，再对原式做适当变形后使用错位相减法，高次项最终抵消得到常数结果，既考察学生的知识综合运用能力，也锻炼学生的代数变形思维。
【难度系数】
0.4
