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8. 一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，这样的三角形的周长的最大值是（）
A.11
B.12
C.13
D.14
A.11
B.12
C.13
D.14
答案
C
解析
设第三边长为x，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，且第三边小于两边之和，可得4-3 ＜ x ＜ 4+3，即1 ＜ x ＜7。因为第三边长为整数，所以x的最大取值为6，此时三角形周长的最大值为3+4+6=13。
9. 具备下列条件的$△ ABC$中,不是直角三角形的是 （）
A.$∠ A+∠ B=∠ C$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
C.$∠ A-∠ B=90°$
D.$∠ A=∠ B=\frac{1}{2}∠ C$
A.$∠ A+∠ B=∠ C$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
C.$∠ A-∠ B=90°$
D.$∠ A=∠ B=\frac{1}{2}∠ C$
答案
C
解析
根据三角形内角和为180°逐一分析选项：
1. 选项A：已知∠A+∠B=∠C，代入∠A+∠B+∠C=180°，得2∠C=180°，∠C=90°，是直角三角形。
2. 选项B：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，代入内角和得x+2x+3x=180°，解得x=30°，∠C=90°，是直角三角形。
3. 选项C：由∠A-∠B=90°得∠A=90°+∠B＞90°，△ABC是钝角三角形，不是直角三角形。
4. 选项D：代入∠A=∠B=1/2∠C到内角和，得1/2∠C+1/2∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，是直角三角形。
1. 选项A：已知∠A+∠B=∠C，代入∠A+∠B+∠C=180°，得2∠C=180°，∠C=90°，是直角三角形。
2. 选项B：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，代入内角和得x+2x+3x=180°，解得x=30°，∠C=90°，是直角三角形。
3. 选项C：由∠A-∠B=90°得∠A=90°+∠B＞90°，△ABC是钝角三角形，不是直角三角形。
4. 选项D：代入∠A=∠B=1/2∠C到内角和，得1/2∠C+1/2∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，是直角三角形。
10. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$D$，$E$是$AC$上的两点，且$AE=DE$，$BD$平分$∠ EBC$，那么下列说法中不正确的是（）
A.$BE$是$△ ABD$的中线
B.$BD$是$△ BCE$的角平分线
C.$∠1=∠2=∠3$
D.$BC$是$△ BDE$的高
A.$BE$是$△ ABD$的中线
B.$BD$是$△ BCE$的角平分线
C.$∠1=∠2=∠3$
D.$BC$是$△ BDE$的高
答案
C
解析
我们逐个分析选项：
1. 选项A：已知$AE=DE$，说明E是边AD的中点，BE连接$△ ABD$的顶点B和对边AD的中点E，因此BE是$△ ABD$的中线，该说法正确。
2. 选项B：BD平分$∠ EBC$，即$∠ 2=∠ 3$，BD在$△ BCE$中，将$∠ EBC$分为两个相等的角，因此BD是$△ BCE$的角平分线，该说法正确。
3. 选项C：由已知条件仅能推出$∠ 2=∠ 3$，没有任何条件可以证明$∠ 1=∠ 2$，因此$∠1=∠2=∠3$的说法不成立。
4. 选项D：$∠ C=90°$，即$BC⊥ AC$，也就是$BC⊥ DE$，DE是$△ BDE$的一条边，因此BC是$△ BDE$的高，该说法正确。
综上，不正确的是选项C。
1. 选项A：已知$AE=DE$，说明E是边AD的中点，BE连接$△ ABD$的顶点B和对边AD的中点E，因此BE是$△ ABD$的中线，该说法正确。
2. 选项B：BD平分$∠ EBC$，即$∠ 2=∠ 3$，BD在$△ BCE$中，将$∠ EBC$分为两个相等的角，因此BD是$△ BCE$的角平分线，该说法正确。
3. 选项C：由已知条件仅能推出$∠ 2=∠ 3$，没有任何条件可以证明$∠ 1=∠ 2$，因此$∠1=∠2=∠3$的说法不成立。
4. 选项D：$∠ C=90°$，即$BC⊥ AC$，也就是$BC⊥ DE$，DE是$△ BDE$的一条边，因此BC是$△ BDE$的高，该说法正确。
综上，不正确的是选项C。
11. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是$∠ BAC$的平分线，$E$为$AD$上一点，且$EF ⊥ BC$于点$F$。若$∠ C=35°$，$∠ DEF=15°$，则$∠ B$的度数为（）
A.$60°$
B.$65°$
C.$75°$
D.$85°$
A.$60°$
B.$65°$
C.$75°$
D.$85°$
答案
B
解析
1. 因为$EF⊥ BC$，所以$∠ EFD=90°$，在$\mathrm{Rt}△ EFD$中，$∠ EDF=90°-∠ DEF=90°-15°=75°$。
2. 根据三角形外角性质，$∠ EDF=∠ DAC+∠ C$，代入$∠ C=35°$，得$∠ DAC=75°-35°=40°$。
3. 因为$AD$是$∠ BAC$的平分线，所以$∠ BAC=2∠ DAC=80°$。
4. 在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$，得$∠ B=180°-∠ BAC-∠ C=180°-80°-35°=65°$。
2. 根据三角形外角性质，$∠ EDF=∠ DAC+∠ C$，代入$∠ C=35°$，得$∠ DAC=75°-35°=40°$。
3. 因为$AD$是$∠ BAC$的平分线，所以$∠ BAC=2∠ DAC=80°$。
4. 在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$，得$∠ B=180°-∠ BAC-∠ C=180°-80°-35°=65°$。
12. 如图，$△ ABC$三边的中线$AD$，$BE$，$CF$相交于点$G$。若$S_{△ ABC}=12$，则图中阴影部分的面积是。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
解：
∵ AD，BE，CF是△ABC三边的中线，
∴ BD=DC，CE=AE，AF=BF，
∴ $S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=S_{△ BCE}=S_{△ ABE}=S_{△ CAF}=S_{△ CBF}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×12=6$。
由三角形重心的性质可得：$AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1$，
∴ $S_{△ CGE}=\frac{1}{3}S_{△ ADC}=\frac{1}{3}×6=2$，
$S_{△ BGF}=\frac{1}{3}S_{△ ABD}=\frac{1}{3}×6=2$，
∴ 阴影部分的面积 = $S_{△ BGF}+S_{△ CGE}=2+2=4$。
最终
∵ AD，BE，CF是△ABC三边的中线，
∴ BD=DC，CE=AE，AF=BF，
∴ $S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=S_{△ BCE}=S_{△ ABE}=S_{△ CAF}=S_{△ CBF}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×12=6$。
由三角形重心的性质可得：$AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1$，
∴ $S_{△ CGE}=\frac{1}{3}S_{△ ADC}=\frac{1}{3}×6=2$，
$S_{△ BGF}=\frac{1}{3}S_{△ ABD}=\frac{1}{3}×6=2$，
∴ 阴影部分的面积 = $S_{△ BGF}+S_{△ CGE}=2+2=4$。
最终
13. 一个零件的形状如图所示，按规定$∠ A=90°$，$∠ ABD$和$∠ ACD$应分别是$32°$和$21°$零件才合格。质检员测得$∠ BDC=148°$，则该零件（填“合格”或“不合格”）。
答案
解：连接AD并延长，根据三角形外角的性质，可得
∠BDC = ∠A + ∠ABD + ∠ACD。
将∠A=90°，∠ABD=32°，∠ACD=21°代入，
得合格状态下∠BDC的理论度数为：90°+32°+21°=143°。
因为实际测得∠BDC=148°≠143°，
所以该零件不合格。
∠BDC = ∠A + ∠ABD + ∠ACD。
将∠A=90°，∠ABD=32°，∠ACD=21°代入，
得合格状态下∠BDC的理论度数为：90°+32°+21°=143°。
因为实际测得∠BDC=148°≠143°，
所以该零件不合格。
14. 在综合实践活动中，数学兴趣小组对各边长度都是整数、最大边长为k的三角形的个数m进行了探究。发现：当k=1时，只有{1,1,1}一种情况，即m=1；当k=2时，有{1,2,2}和{2,2,2}两种情况，即m=2；当k=3时，有{1,3,3}，{2,2,3}，{2,3,3}和{3,3,3}四种情况，即m=4……若k=6，则m的值为；若k=19，则m的值为。
答案
$\boldsymbol{12}$；$\boldsymbol{100}$
解析
解：设三角形除最大边k外的另外两条边长为a、b，满足1≤a≤b≤k，根据三角形三边关系可得a + b ＞ k。
当k=6时：
若b=6，a可取1,2,3,4,5,6，共6种；
若b=5，由a+5＞6得a＞1，结合a≤b=5，a可取2,3,4,5，共4种；
若b=4，由a+4＞6得a＞2，结合a≤b=4，a可取3,4，共2种；
b≤3时不存在满足条件的a，因此总个数m=6+4+2=12。
当k=19时：
若b=19，a可取1,2,…,19，共19种；
若b=18，a可取2,3,…,18，共17种；
若b=17，a可取3,4,…,17，共15种；
……
若b=10，a可取10，共1种；
总个数m=19+17+15+…+1 = $\frac{(1+19)×10}{2}$ = 100。
当k=6时：
若b=6，a可取1,2,3,4,5,6，共6种；
若b=5，由a+5＞6得a＞1，结合a≤b=5，a可取2,3,4,5，共4种；
若b=4，由a+4＞6得a＞2，结合a≤b=4，a可取3,4，共2种；
b≤3时不存在满足条件的a，因此总个数m=6+4+2=12。
当k=19时：
若b=19，a可取1,2,…,19，共19种；
若b=18，a可取2,3,…,18，共17种；
若b=17，a可取3,4,…,17，共15种；
……
若b=10，a可取10，共1种；
总个数m=19+17+15+…+1 = $\frac{(1+19)×10}{2}$ = 100。
