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1. 若$a ＜ b$，则下列结论不一定成立的是(
A.$a - 1 ＜ b - 1$
B.$2a ＜ 2b$
C.$-\dfrac{a}{3} ＞ -\dfrac{b}{3}$
D.$a^2 ＜ b^2$
D
).A.$a - 1 ＜ b - 1$
B.$2a ＜ 2b$
C.$-\dfrac{a}{3} ＞ -\dfrac{b}{3}$
D.$a^2 ＜ b^2$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查不等式基本性质的应用，解题时先回忆不等式的三条基本性质，再逐一分析每个选项是否符合性质要求，对于不确定的选项可以通过举反例的方式验证是否一定成立，最终选出不一定成立的选项。
【解析】
首先回忆不等式的基本性质：
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变；
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
对各选项逐一分析：
A选项：在$a＜b$两边同时减1，根据性质1，不等号方向不变，可得$a-1＜b-1$，该结论一定成立，不符合题意；
B选项：在$a＜b$两边同时乘正数2，根据性质2，不等号方向不变，可得$2a＜2b$，该结论一定成立，不符合题意；
C选项：在$a＜b$两边同时乘$-\dfrac{1}{3}$（负数），根据性质3，不等号方向改变，可得$-\dfrac{a}{3}＞-\dfrac{b}{3}$，该结论一定成立，不符合题意；
D选项：举反例：若$a=-2$，$b=1$，满足$a＜b$，此时$a^2=(-2)^2=4$，$b^2=1^2=1$，可得$a^2＞b^2$，因此$a^2＜b^2$的结论不一定成立，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质、举反例验证结论、有理数平方运算
【点评】
本题是不等式性质的基础应用题型，解题时要注意不等式两边乘负数时不等号方向必须改变，判断“不一定成立”类的题目，通过举反例验证可以快速得出结论，切忌仅通过正数范围的情况直接判断所有情况都成立。
【难度系数】
0.7
本题考查不等式基本性质的应用，解题时先回忆不等式的三条基本性质，再逐一分析每个选项是否符合性质要求，对于不确定的选项可以通过举反例的方式验证是否一定成立，最终选出不一定成立的选项。
【解析】
首先回忆不等式的基本性质：
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变；
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
对各选项逐一分析：
A选项：在$a＜b$两边同时减1，根据性质1，不等号方向不变，可得$a-1＜b-1$，该结论一定成立，不符合题意；
B选项：在$a＜b$两边同时乘正数2，根据性质2，不等号方向不变，可得$2a＜2b$，该结论一定成立，不符合题意；
C选项：在$a＜b$两边同时乘$-\dfrac{1}{3}$（负数），根据性质3，不等号方向改变，可得$-\dfrac{a}{3}＞-\dfrac{b}{3}$，该结论一定成立，不符合题意；
D选项：举反例：若$a=-2$，$b=1$，满足$a＜b$，此时$a^2=(-2)^2=4$，$b^2=1^2=1$，可得$a^2＞b^2$，因此$a^2＜b^2$的结论不一定成立，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质、举反例验证结论、有理数平方运算
【点评】
本题是不等式性质的基础应用题型，解题时要注意不等式两边乘负数时不等号方向必须改变，判断“不一定成立”类的题目，通过举反例验证可以快速得出结论，切忌仅通过正数范围的情况直接判断所有情况都成立。
【难度系数】
0.7
2. 关于$x$的一元一次不等式$\frac{m - 2x}{3} ≤ -2$的解集为$x ≥ 4$，则$m$的值为（
A.2
B.7
C.$-2$
D.14
A
）。A.2
B.7
C.$-2$
D.14
答案
2.A
解析
【分析】
要解决已知含参数的一元一次不等式的解集求参数的问题，解题思路为：首先把参数m当作常数，按照一元一次不等式的求解步骤解出关于x的解集，再将求出的解集和题目给出的x≥4对应相等，建立关于m的一元一次方程，解方程即可得到m的值。需注意解不等式系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要改变。
【解析】
解：先求解不等式$\frac{m - 2x}{3} ≤ -2$
1. 去分母，两边同时乘3（正数乘除不改变不等号方向），得：
$m - 2x ≤ -6$
2. 移项，将含x的项留在左侧，其余项移到右侧，得：
$-2x ≤ -6 - m$
3. 系数化为1，两边同时除以-2（负数乘除需改变不等号方向），得：
$x ≥ \frac{6 + m}{2}$
已知不等式解集为$x ≥ 4$，因此可得：
$\frac{6 + m}{2} = 4$
两边同乘2得：$6 + m = 8$
解得：$m = 2$
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式的性质，含参数不等式求解
【点评】
本题是一元一次不等式的基础常考题型，重点考察解不等式的规范步骤，以及根据解集反求参数的逆向思维，解题易错点是系数化为1时忽略负数系数需要改变不等号方向。
【难度系数】
0.7
要解决已知含参数的一元一次不等式的解集求参数的问题，解题思路为：首先把参数m当作常数，按照一元一次不等式的求解步骤解出关于x的解集，再将求出的解集和题目给出的x≥4对应相等，建立关于m的一元一次方程，解方程即可得到m的值。需注意解不等式系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要改变。
【解析】
解：先求解不等式$\frac{m - 2x}{3} ≤ -2$
1. 去分母，两边同时乘3（正数乘除不改变不等号方向），得：
$m - 2x ≤ -6$
2. 移项，将含x的项留在左侧，其余项移到右侧，得：
$-2x ≤ -6 - m$
3. 系数化为1，两边同时除以-2（负数乘除需改变不等号方向），得：
$x ≥ \frac{6 + m}{2}$
已知不等式解集为$x ≥ 4$，因此可得：
$\frac{6 + m}{2} = 4$
两边同乘2得：$6 + m = 8$
解得：$m = 2$
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式的性质，含参数不等式求解
【点评】
本题是一元一次不等式的基础常考题型，重点考察解不等式的规范步骤，以及根据解集反求参数的逆向思维，解题易错点是系数化为1时忽略负数系数需要改变不等号方向。
【难度系数】
0.7
3. 下列说法错误的是(
A.$x=1$不是$x≥2$的解
B.$x=0$是$x＜1$的一个解
C.不等式$x+3＞3$的解集是$x＞0$
D.$x=6$是$x-7＜0$的解集
D
).A.$x=1$不是$x≥2$的解
B.$x=0$是$x＜1$的一个解
C.不等式$x+3＞3$的解集是$x＞0$
D.$x=6$是$x-7＜0$的解集
答案
3.D
解析
【分析】
解题前先明确两个核心概念：①不等式的解：能使不等式成立的未知数的值；②不等式的解集：一个不等式所有的解组成的集合。解题时逐个验证每个选项的说法是否符合概念，最终选出错误选项即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A. 要判断$x=1$是不是$x≥2$的解，看$x=1$是否满足不等式：$1＜2$，不满足$x≥2$，因此$x=1$不是$x≥2$的解，该说法正确，不符合题意。
B. 把$x=0$代入$x＜1$，$0＜1$成立，因此$x=0$是$x＜1$的一个解，该说法正确，不符合题意。
C. 解不等式$x+3＞3$，移项可得$x＞3-3$，即$x＞0$，因此不等式的解集是$x＞0$，该说法正确，不符合题意。
D. 把$x=6$代入$x-7＜0$，得$6-7=-1＜0$，成立，因此$x=6$是$x-7＜0$的一个解；解不等式$x-7＜0$得$x＜7$，即该不等式的解集是$x＜7$，单个数值不能称为解集，因此该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
不等式的解与解集；解一元一次不等式
【点评】
本题侧重考查对不等式的解和解集的概念区分，要注意“解”是单个满足条件的数值，“解集”是所有解的集合，同时需熟练掌握一元一次不等式的基本解法。
【难度系数】
0.8
解题前先明确两个核心概念：①不等式的解：能使不等式成立的未知数的值；②不等式的解集：一个不等式所有的解组成的集合。解题时逐个验证每个选项的说法是否符合概念，最终选出错误选项即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A. 要判断$x=1$是不是$x≥2$的解，看$x=1$是否满足不等式：$1＜2$，不满足$x≥2$，因此$x=1$不是$x≥2$的解，该说法正确，不符合题意。
B. 把$x=0$代入$x＜1$，$0＜1$成立，因此$x=0$是$x＜1$的一个解，该说法正确，不符合题意。
C. 解不等式$x+3＞3$，移项可得$x＞3-3$，即$x＞0$，因此不等式的解集是$x＞0$，该说法正确，不符合题意。
D. 把$x=6$代入$x-7＜0$，得$6-7=-1＜0$，成立，因此$x=6$是$x-7＜0$的一个解；解不等式$x-7＜0$得$x＜7$，即该不等式的解集是$x＜7$，单个数值不能称为解集，因此该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
不等式的解与解集；解一元一次不等式
【点评】
本题侧重考查对不等式的解和解集的概念区分，要注意“解”是单个满足条件的数值，“解集”是所有解的集合，同时需熟练掌握一元一次不等式的基本解法。
【难度系数】
0.8
4. 如果关于$x$的不等式$(a+1)x ＞ a+1$的解集为$x＜1$，那么$a$的取值范围是(
A.$a＞0$
B.$a＜0$
C.$a＞-1$
D.$a＜-1$
D
).A.$a＞0$
B.$a＜0$
C.$a＞-1$
D.$a＜-1$
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先观察不等式的变形特点：要将原不等式中x的系数化为1，需要在不等式两边同时除以整式$a+1$。根据不等式的性质，若除以正数，不等号方向不变；若除以负数，不等号方向会反向。题目中原不等式不等号为“＞”，最终解集的不等号为“＜”，方向发生了改变，由此可判断出$a+1$是负数，再列不等式求解a的取值范围即可。
【解析】
解：已知不等式$(a+1)x ＞ a+1$的解集为$x＜1$，不等号方向发生改变。
根据不等式的性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，可得：
$a+1 ＜ 0$
移项解得：$a ＜ -1$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 不等式的基本性质
2. 含参数的一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元一次不等式的典型考题，解题核心是抓住不等号方向的变化规律判断系数的符号，易错点是容易忽略不等号变向的前提是乘除负数，进而选错参数的取值范围。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察不等式的变形特点：要将原不等式中x的系数化为1，需要在不等式两边同时除以整式$a+1$。根据不等式的性质，若除以正数，不等号方向不变；若除以负数，不等号方向会反向。题目中原不等式不等号为“＞”，最终解集的不等号为“＜”，方向发生了改变，由此可判断出$a+1$是负数，再列不等式求解a的取值范围即可。
【解析】
解：已知不等式$(a+1)x ＞ a+1$的解集为$x＜1$，不等号方向发生改变。
根据不等式的性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，可得：
$a+1 ＜ 0$
移项解得：$a ＜ -1$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 不等式的基本性质
2. 含参数的一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元一次不等式的典型考题，解题核心是抓住不等号方向的变化规律判断系数的符号，易错点是容易忽略不等号变向的前提是乘除负数，进而选错参数的取值范围。
【难度系数】
0.7
5. 在方程组$\begin{cases}2x + y = 1 - m, \\x + 2y = 2\end{cases}$中，若未知数$x,y$满足$x + y ＞ 0$，则$m$的取值范围在数轴上表示为( ).
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先观察方程组的系数特点，发现将两个方程左右两边相加后可直接得到x+y与m的关系，无需单独求解x、y，能简化计算。得到x+y的含m表达式后，结合x+y＞0的条件列一元一次不等式，解出m的取值范围，最后根据不等式解集的数轴表示规则（小于向左、不含等号用空心圈）匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：将方程组的两个方程左右两边分别相加：
$\begin{cases}2x + y = 1 - m&① \\x + 2y = 2&②\end{cases}$
①+②得：$3x + 3y = 3 - m$
两边同时除以3，得：$x+y=\frac{3 - m}{3}$
第二步：根据$x+y＞0$列不等式：
$\frac{3 - m}{3}＞0$
不等式两边同乘3得：$3 - m＞0$
移项解得：$m＜3$
第三步：将$m＜3$在数轴上表示：3的位置画空心圆圈（不包含3），折线向左延伸，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的整体运算；解一元一次不等式；不等式解集的数轴表示
【点评】
本题巧妙运用整体思想处理方程组，避免了单独求解未知数的繁琐计算，同时综合考查了一元一次不等式的解法和数轴表示解集的规则，是方程与不等式结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察方程组的系数特点，发现将两个方程左右两边相加后可直接得到x+y与m的关系，无需单独求解x、y，能简化计算。得到x+y的含m表达式后，结合x+y＞0的条件列一元一次不等式，解出m的取值范围，最后根据不等式解集的数轴表示规则（小于向左、不含等号用空心圈）匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：将方程组的两个方程左右两边分别相加：
$\begin{cases}2x + y = 1 - m&① \\x + 2y = 2&②\end{cases}$
①+②得：$3x + 3y = 3 - m$
两边同时除以3，得：$x+y=\frac{3 - m}{3}$
第二步：根据$x+y＞0$列不等式：
$\frac{3 - m}{3}＞0$
不等式两边同乘3得：$3 - m＞0$
移项解得：$m＜3$
第三步：将$m＜3$在数轴上表示：3的位置画空心圆圈（不包含3），折线向左延伸，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的整体运算；解一元一次不等式；不等式解集的数轴表示
【点评】
本题巧妙运用整体思想处理方程组，避免了单独求解未知数的繁琐计算，同时综合考查了一元一次不等式的解法和数轴表示解集的规则，是方程与不等式结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
6. 不等式$\frac{x+1}{2} ＞ \frac{2x+2}{3} -1$的正整数解的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
D
).A.1
B.2
C.3
D.4
答案
6.D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要按照一元一次不等式的求解步骤求出不等式的解集，再从解集中找出所有正整数，统计正整数的个数即可得到答案。解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，系数化为1时如果两边同时乘或除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
解：解不等式$\frac{x+1}{2} ＞ \frac{2x+2}{3} -1$，步骤如下：
1. 去分母：不等式两边同时乘分母2和3的最小公倍数6，得$3(x+1) ＞ 2(2x+2) - 6$；
2. 去括号：展开后得$3x + 3 ＞ 4x + 4 - 6$；
3. 化简右侧：计算常数项得$3x + 3 ＞ 4x - 2$；
4. 移项：将含$x$的项移到左侧，常数项移到右侧，得$3x - 4x ＞ -2 - 3$；
5. 合并同类项：计算得$-x ＞ -5$；
6. 系数化为1：两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$x ＜ 5$。
因此该不等式的正整数解为1、2、3、4，共4个。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式的解法，一元一次不等式的整数解
【点评】
本题考查一元一次不等式的求解及整数解的确定，解题核心是准确求出不等式的解集，求解过程需注意两个易错点：一是去分母时不要漏乘不等式中的常数项，二是系数化为1时若两边同时乘除负数，要及时改变不等号的方向。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要按照一元一次不等式的求解步骤求出不等式的解集，再从解集中找出所有正整数，统计正整数的个数即可得到答案。解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，系数化为1时如果两边同时乘或除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
解：解不等式$\frac{x+1}{2} ＞ \frac{2x+2}{3} -1$，步骤如下：
1. 去分母：不等式两边同时乘分母2和3的最小公倍数6，得$3(x+1) ＞ 2(2x+2) - 6$；
2. 去括号：展开后得$3x + 3 ＞ 4x + 4 - 6$；
3. 化简右侧：计算常数项得$3x + 3 ＞ 4x - 2$；
4. 移项：将含$x$的项移到左侧，常数项移到右侧，得$3x - 4x ＞ -2 - 3$；
5. 合并同类项：计算得$-x ＞ -5$；
6. 系数化为1：两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$x ＜ 5$。
因此该不等式的正整数解为1、2、3、4，共4个。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式的解法，一元一次不等式的整数解
【点评】
本题考查一元一次不等式的求解及整数解的确定，解题核心是准确求出不等式的解集，求解过程需注意两个易错点：一是去分母时不要漏乘不等式中的常数项，二是系数化为1时若两边同时乘除负数，要及时改变不等号的方向。
【难度系数】
0.8
7.如图，天平右盘中每个砝码的质量都是1g，则图中药品A的质量范围是(
A.大于2g
B.小于3g
C.大于2g且小于3g
D.大于2g或小于3g
C
)。A.大于2g
B.小于3g
C.大于2g且小于3g
D.大于2g或小于3g
答案
7.C
解析
【分析】
解题时先根据天平的倾斜特征判断两边质量的大小关系：天平下沉一侧的质量更大。第一步分析第一个天平：左侧放药品A，右侧放2个1g砝码，总质量为2g，左侧下沉说明药品A质量大于2g；第二步分析第二个天平：左侧放药品A，右侧放3个1g砝码，总质量为3g，右侧下沉说明药品A质量小于3g；第三步合并两个结论即可得到药品A的质量范围。
【解析】
设药品A的质量为$ x\ \mathrm{g} $。
观察第一个天平，左盘下沉，左盘质量大于右盘质量，可得：
$ x ＞ 2×1 $，即$ x＞2 $
观察第二个天平，右盘下沉，右盘质量大于左盘质量，可得：
$ x ＜ 3×1 $，即$ x＜3 $
因此药品A的质量范围是$ 2\ \mathrm{g}＜x＜3\ \mathrm{g} $，即大于2g且小于3g。
【答案】
C
【知识点】
不等关系应用，不等式组解集
【点评】
本题结合天平情境考察不等关系的识别与应用，解题核心是准确将天平的倾斜状态转化为数学中的不等关系，再合并得到取值范围，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先根据天平的倾斜特征判断两边质量的大小关系：天平下沉一侧的质量更大。第一步分析第一个天平：左侧放药品A，右侧放2个1g砝码，总质量为2g，左侧下沉说明药品A质量大于2g；第二步分析第二个天平：左侧放药品A，右侧放3个1g砝码，总质量为3g，右侧下沉说明药品A质量小于3g；第三步合并两个结论即可得到药品A的质量范围。
【解析】
设药品A的质量为$ x\ \mathrm{g} $。
观察第一个天平，左盘下沉，左盘质量大于右盘质量，可得：
$ x ＞ 2×1 $，即$ x＞2 $
观察第二个天平，右盘下沉，右盘质量大于左盘质量，可得：
$ x ＜ 3×1 $，即$ x＜3 $
因此药品A的质量范围是$ 2\ \mathrm{g}＜x＜3\ \mathrm{g} $，即大于2g且小于3g。
【答案】
C
【知识点】
不等关系应用，不等式组解集
【点评】
本题结合天平情境考察不等关系的识别与应用，解题核心是准确将天平的倾斜状态转化为数学中的不等关系，再合并得到取值范围，难度较低。
【难度系数】
0.8
8. 不等式组 $\begin{cases}a-1 ＜ x ＜ a+2, \\ 3 ＜ x ＜ 5\end{cases}$ 的解集是 $3 ＜ x ＜ a+2$，则 $a$ 的取值范围是（ ）。
A.$a＞1$
B.$a≤ 3$
C.$a＜1$ 或 $a＞3$
D.$1＜ a≤ 3$
A.$a＞1$
B.$a≤ 3$
C.$a＜1$ 或 $a＞3$
D.$1＜ a≤ 3$
答案
8.D
解析
【分析】
要解决这类根据不等式组解集求参数取值范围的问题，首先回忆一元一次不等式组解集的确定规则：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”。本题中两个不等式的解集分别为$a-1＜x＜a+2$和$3＜x＜5$，已知公共解集是$3＜x＜a+2$，我们从公共解集的端点入手分析：
1. 公共解集的右端点是$a+2$，说明$a+2$不能超过第二个不等式的右端点5，否则公共解集的右端点会变成5，不符合题意；
2. 公共解集有意义，必须满足右端点大于左端点，也就是$a+2＞3$，否则解集为空，不符合要求；
当$a+2≤5$时可得$a≤3$，此时$a-1≤2＜3$，自然满足公共解集左端点为3的要求，无需额外列不等式。
【解析】
∵ 不等式组$\begin{cases}a-1 ＜ x ＜ a+2 \\ 3 ＜ x ＜ 5\end{cases}$的解集是$3 ＜ x ＜ a+2$
∴ 需同时满足以下两个条件：
① 公共解集的右端点$a+2$不超过第二个不等式的右端点，即$a+2 ≤ 5$，解得$a ≤ 3$
② 公共解集存在，需满足右端点大于左端点，即$a+2 ＞ 3$，解得$a ＞ 1$
综上，$a$的取值范围是$1 ＜ a ≤ 3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式组的解集
【点评】
本题考查根据不等式组的解集求参数的取值范围，解题关键是熟练掌握不等式组解集的确定规则，特别要注意验证端点处的等号是否成立，避免漏加或错加等号。
【难度系数】
0.7
要解决这类根据不等式组解集求参数取值范围的问题，首先回忆一元一次不等式组解集的确定规则：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”。本题中两个不等式的解集分别为$a-1＜x＜a+2$和$3＜x＜5$，已知公共解集是$3＜x＜a+2$，我们从公共解集的端点入手分析：
1. 公共解集的右端点是$a+2$，说明$a+2$不能超过第二个不等式的右端点5，否则公共解集的右端点会变成5，不符合题意；
2. 公共解集有意义，必须满足右端点大于左端点，也就是$a+2＞3$，否则解集为空，不符合要求；
当$a+2≤5$时可得$a≤3$，此时$a-1≤2＜3$，自然满足公共解集左端点为3的要求，无需额外列不等式。
【解析】
∵ 不等式组$\begin{cases}a-1 ＜ x ＜ a+2 \\ 3 ＜ x ＜ 5\end{cases}$的解集是$3 ＜ x ＜ a+2$
∴ 需同时满足以下两个条件：
① 公共解集的右端点$a+2$不超过第二个不等式的右端点，即$a+2 ≤ 5$，解得$a ≤ 3$
② 公共解集存在，需满足右端点大于左端点，即$a+2 ＞ 3$，解得$a ＞ 1$
综上，$a$的取值范围是$1 ＜ a ≤ 3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式组的解集
【点评】
本题考查根据不等式组的解集求参数的取值范围，解题关键是熟练掌握不等式组解集的确定规则，特别要注意验证端点处的等号是否成立，避免漏加或错加等号。
【难度系数】
0.7
9. 不等式$2x＜5$的解有
无数
个.答案
9.无数
解析
【分析】
解题时首先需要先求出不等式的解集，再根据解集的特征判断解的个数。第一步先利用不等式的性质解一元一次不等式2x＜5，得到x的取值范围；第二步思考满足该取值范围的数的数量，只要比2.5小的数都是不等式的解，包括整数、小数、分数等，这类数的数量是无限的，因此就能得出解的个数。
【解析】
解：先求解不等式$2x＜5$：
根据不等式的性质，不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，可得：
$x ＜ \frac{5}{2}$，也就是$x＜2.5$。
所有小于2.5的数都能使不等式$2x＜5$成立，这类数有无数个，因此该不等式的解有无数个。
【答案】
无数
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式的解的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，需要注意区分一元一次方程的解和一元一次不等式的解的区别，一元一次方程通常只有1个解，而一元一次不等式的解通常有无数个。
【难度系数】
0.9
解题时首先需要先求出不等式的解集，再根据解集的特征判断解的个数。第一步先利用不等式的性质解一元一次不等式2x＜5，得到x的取值范围；第二步思考满足该取值范围的数的数量，只要比2.5小的数都是不等式的解，包括整数、小数、分数等，这类数的数量是无限的，因此就能得出解的个数。
【解析】
解：先求解不等式$2x＜5$：
根据不等式的性质，不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，可得：
$x ＜ \frac{5}{2}$，也就是$x＜2.5$。
所有小于2.5的数都能使不等式$2x＜5$成立，这类数有无数个，因此该不等式的解有无数个。
【答案】
无数
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式的解的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，需要注意区分一元一次方程的解和一元一次不等式的解的区别，一元一次方程通常只有1个解，而一元一次不等式的解通常有无数个。
【难度系数】
0.9
10. 不等式 $ x + 1 ≥ 0 $ 的解集是
$x≥-1$
.答案
10.$x≥-1$
解析
【分析】
本题要求解一元一次不等式的解集，解题思路为：先把含未知数的项留在不等号左侧，将常数项移到不等号右侧，移项时注意改变符号，本题仅涉及加减运算，不需要改变不等号的方向，最后整理即可得到x的取值范围。
【解析】
求解不等式 $x + 1 ≥ 0$：
将左侧的常数项$+1$移到不等号右侧，变为$-1$，可得：
$x ≥ 0 - 1$
计算后得到 $x ≥ -1$。
【答案】
$x≥ -1$
【知识点】
一元一次不等式的解法、移项法则
【点评】
本题属于基础考点，主要考查一元一次不等式的基本求解技能，熟练掌握移项规则以及不等号方向的变化规律即可快速解题，是不等式模块的入门类题型。
【难度系数】
0.9
本题要求解一元一次不等式的解集，解题思路为：先把含未知数的项留在不等号左侧，将常数项移到不等号右侧，移项时注意改变符号，本题仅涉及加减运算，不需要改变不等号的方向，最后整理即可得到x的取值范围。
【解析】
求解不等式 $x + 1 ≥ 0$：
将左侧的常数项$+1$移到不等号右侧，变为$-1$，可得：
$x ≥ 0 - 1$
计算后得到 $x ≥ -1$。
【答案】
$x≥ -1$
【知识点】
一元一次不等式的解法、移项法则
【点评】
本题属于基础考点，主要考查一元一次不等式的基本求解技能，熟练掌握移项规则以及不等号方向的变化规律即可快速解题，是不等式模块的入门类题型。
【难度系数】
0.9
11. 对于等式 $y=\frac{1}{3}x + 6$，x满足条件
$x＞-6$
时，$y＞4$；$y_1=x + 3$，$y_2=-x + 1$，当$y_1＞2y_2$时，x满足条件$x＞-\dfrac{1}{3}$
。答案
11.$x＞-6$ $x＞-\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
本题需将题目给出的函数关系代入对应的大小条件，转化为一元一次不等式后求解。第一问先把$y=\frac{1}{3}x + 6$代入$y＞4$，得到关于$x$的一元一次不等式，再按解不等式的步骤计算；第二问把$y_1=x+3$、$y_2=-x+1$代入$y_1＞2y_2$，化简后解不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
1. 求第一空$x$的取值范围：
将$y=\frac{1}{3}x + 6$代入$y＞4$，可得不等式：
$\frac{1}{3}x + 6 ＞ 4$
移项得：$\frac{1}{3}x ＞ 4 - 6$
计算右侧得：$\frac{1}{3}x ＞ -2$
不等式两边同时乘3，不等号方向不变，得：$x ＞ -6$
2. 求第二空$x$的取值范围：
将$y_1=x+3$、$y_2=-x+1$代入$y_1＞2y_2$，可得不等式：
$x + 3 ＞ 2(-x + 1)$
去括号得：$x + 3 ＞ -2x + 2$
移项得：$x + 2x ＞ 2 - 3$
合并同类项得：$3x ＞ -1$
不等式两边同时除以3，不等号方向不变，得：$x ＞ -\frac{1}{3}$
【答案】
$x＞-6$；$x＞-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次不等式的基础应用，解题核心是根据题意正确列出不等式，再按照解一元一次不等式的步骤计算，计算时需注意移项要变号，不等式两边乘除正数时不等号方向不发生改变。
【难度系数】
0.8
本题需将题目给出的函数关系代入对应的大小条件，转化为一元一次不等式后求解。第一问先把$y=\frac{1}{3}x + 6$代入$y＞4$，得到关于$x$的一元一次不等式，再按解不等式的步骤计算；第二问把$y_1=x+3$、$y_2=-x+1$代入$y_1＞2y_2$，化简后解不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
1. 求第一空$x$的取值范围：
将$y=\frac{1}{3}x + 6$代入$y＞4$，可得不等式：
$\frac{1}{3}x + 6 ＞ 4$
移项得：$\frac{1}{3}x ＞ 4 - 6$
计算右侧得：$\frac{1}{3}x ＞ -2$
不等式两边同时乘3，不等号方向不变，得：$x ＞ -6$
2. 求第二空$x$的取值范围：
将$y_1=x+3$、$y_2=-x+1$代入$y_1＞2y_2$，可得不等式：
$x + 3 ＞ 2(-x + 1)$
去括号得：$x + 3 ＞ -2x + 2$
移项得：$x + 2x ＞ 2 - 3$
合并同类项得：$3x ＞ -1$
不等式两边同时除以3，不等号方向不变，得：$x ＞ -\frac{1}{3}$
【答案】
$x＞-6$；$x＞-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次不等式的基础应用，解题核心是根据题意正确列出不等式，再按照解一元一次不等式的步骤计算，计算时需注意移项要变号，不等式两边乘除正数时不等号方向不发生改变。
【难度系数】
0.8
12. 若关于$x$的不等式$\begin{cases}\dfrac{x+4}{3}＞\dfrac{x}{2}+1,\\x+k＜0\end{cases}$的解集为$x＜2$，则$k$的取值范围是 ______ 。
答案
12.$k≤-2$
解析
【分析】
要解决这个含参数的一元一次不等式组问题，第一步先分别求解两个不等式：第一个不等式不含参数，可先求出它的解集；再根据不等式组“同小取小”的解集确定规则，结合题目给出的已知解集$x＜2$，判断第二个不等式的解集边界和2的大小关系，进而求出$k$的取值范围，注意要验证等号是否符合题意。
【解析】
1. 解不等式$\dfrac{x+4}{3}＞\dfrac{x}{2}+1$：
两边同时乘6消去分母，得$2(x+4) ＞ 3x + 6$，
去括号，得$2x + 8 ＞ 3x + 6$，
移项、合并同类项，得$-x ＞ -2$，
系数化为1，得$x ＜ 2$。
2. 解不等式$x + k ＜ 0$：
移项得$x ＜ -k$。
3. 确定$k$的取值范围：
已知不等式组的解集为$x ＜ 2$，根据“同小取小”的解集判定规则：
若$-k ＜ 2$，则不等式组的解集为$x ＜ -k$，不符合题意；
若$-k ≥ 2$，即$k≤ -2$时，不等式组的解集为$x ＜ 2$，符合要求（当$-k=2$时，两个不等式解集均为$x＜2$，解集仍为$x＜2$）。
【答案】
$k≤ -2$
【知识点】
一元一次不等式组解法，不等式组解集判定，含参数不等式求解
【点评】
本题重点考察一元一次不等式组的解法和解集的确定规则，解题关键是熟练掌握“同小取小、同大取大、大小小大中间找、大大小小找不到”的解集判定方法，易错点是容易忽略等号成立的情况，求解后可代入验证等号是否符合题意。
【难度系数】
0.7
要解决这个含参数的一元一次不等式组问题，第一步先分别求解两个不等式：第一个不等式不含参数，可先求出它的解集；再根据不等式组“同小取小”的解集确定规则，结合题目给出的已知解集$x＜2$，判断第二个不等式的解集边界和2的大小关系，进而求出$k$的取值范围，注意要验证等号是否符合题意。
【解析】
1. 解不等式$\dfrac{x+4}{3}＞\dfrac{x}{2}+1$：
两边同时乘6消去分母，得$2(x+4) ＞ 3x + 6$，
去括号，得$2x + 8 ＞ 3x + 6$，
移项、合并同类项，得$-x ＞ -2$，
系数化为1，得$x ＜ 2$。
2. 解不等式$x + k ＜ 0$：
移项得$x ＜ -k$。
3. 确定$k$的取值范围：
已知不等式组的解集为$x ＜ 2$，根据“同小取小”的解集判定规则：
若$-k ＜ 2$，则不等式组的解集为$x ＜ -k$，不符合题意；
若$-k ≥ 2$，即$k≤ -2$时，不等式组的解集为$x ＜ 2$，符合要求（当$-k=2$时，两个不等式解集均为$x＜2$，解集仍为$x＜2$）。
【答案】
$k≤ -2$
【知识点】
一元一次不等式组解法，不等式组解集判定，含参数不等式求解
【点评】
本题重点考察一元一次不等式组的解法和解集的确定规则，解题关键是熟练掌握“同小取小、同大取大、大小小大中间找、大大小小找不到”的解集判定方法，易错点是容易忽略等号成立的情况，求解后可代入验证等号是否符合题意。
【难度系数】
0.7
13.若关于x的不等式$3m - 2x ＜ 5$的解集为$x ＞ 2$，则实数m的值为
3
。答案
13.3
解析
【分析】
本题是已知含参数的一元一次不等式的解集，求参数值的问题。解题思路分为两步：第一步，先把参数m当作常数，按照解一元一次不等式的步骤，求出x的解集（用含m的代数式表示）；第二步，题目已经给出不等式的解集为x＞2，所以我们得到的用m表示的解集和已知解集是完全等价的，对应列关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。解题时要注意，解不等式系数化为1时，如果系数为负数，不等号方向要改变。
【解析】
首先解不等式$3m - 2x ＜ 5$：
1. 移项，得：$-2x ＜ 5 - 3m$
2. 系数化为1（两边同时除以-2，不等号方向改变），得：
$x ＞ \frac{3m - 5}{2}$
已知该不等式的解集为$x ＞ 2$，因此两个解集相等，可列方程：
$\frac{3m - 5}{2} = 2$
解方程：
两边同时乘2，得$3m - 5 = 4$
移项合并同类项，得$3m = 9$
系数化为1，得$m = 3$
【答案】
3
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式解集的含义、一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解不等式解集的唯一性，解题关键是先用含参数的代数式表示出不等式的解集，再结合已知解集建立方程求解，解题时要注意解不等式时系数为负时不等号的方向要改变，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
本题是已知含参数的一元一次不等式的解集，求参数值的问题。解题思路分为两步：第一步，先把参数m当作常数，按照解一元一次不等式的步骤，求出x的解集（用含m的代数式表示）；第二步，题目已经给出不等式的解集为x＞2，所以我们得到的用m表示的解集和已知解集是完全等价的，对应列关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。解题时要注意，解不等式系数化为1时，如果系数为负数，不等号方向要改变。
【解析】
首先解不等式$3m - 2x ＜ 5$：
1. 移项，得：$-2x ＜ 5 - 3m$
2. 系数化为1（两边同时除以-2，不等号方向改变），得：
$x ＞ \frac{3m - 5}{2}$
已知该不等式的解集为$x ＞ 2$，因此两个解集相等，可列方程：
$\frac{3m - 5}{2} = 2$
解方程：
两边同时乘2，得$3m - 5 = 4$
移项合并同类项，得$3m = 9$
系数化为1，得$m = 3$
【答案】
3
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式解集的含义、一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解不等式解集的唯一性，解题关键是先用含参数的代数式表示出不等式的解集，再结合已知解集建立方程求解，解题时要注意解不等式时系数为负时不等号的方向要改变，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
14. 不等式组$\begin{cases}x+2＞1, \\ 2x-1≤8-x\end{cases}$的最大整数解是 ______ .
答案
14.3
解析
【分析】
要得到不等式组的最大整数解，需按以下思路逐步求解：首先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，其次找出两个解集的公共部分得到不等式组的总解集，最后在总解集范围内筛选出所有整数，即可找到最大的整数解。
【解析】
解不等式$x+2＞1$：
移项得$x＞1-2$，
计算得$x＞-1$。
解不等式$2x-1≤8-x$：
移项得$2x+x≤8+1$，
合并同类项得$3x≤9$，
系数化为1得$x≤3$。
因此该不等式组的解集为$\boldsymbol{-1＜x≤3}$，
该范围内的整数有0、1、2、3，其中最大的整数为3。
【答案】
3
【知识点】
解一元一次不等式，不等式组解集确定，不等式组整数解求解
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础题型，重点考查不等式组的求解能力和整数解的筛选能力，解题关键是准确求出每个不等式的解集，正确确定公共解集后即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
要得到不等式组的最大整数解，需按以下思路逐步求解：首先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，其次找出两个解集的公共部分得到不等式组的总解集，最后在总解集范围内筛选出所有整数，即可找到最大的整数解。
【解析】
解不等式$x+2＞1$：
移项得$x＞1-2$，
计算得$x＞-1$。
解不等式$2x-1≤8-x$：
移项得$2x+x≤8+1$，
合并同类项得$3x≤9$，
系数化为1得$x≤3$。
因此该不等式组的解集为$\boldsymbol{-1＜x≤3}$，
该范围内的整数有0、1、2、3，其中最大的整数为3。
【答案】
3
【知识点】
解一元一次不等式，不等式组解集确定，不等式组整数解求解
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础题型，重点考查不等式组的求解能力和整数解的筛选能力，解题关键是准确求出每个不等式的解集，正确确定公共解集后即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
15.若$\left| \dfrac{x-1}{2} -5 \right| =5 - \dfrac{x-1}{2}$，则$x$的取值范围是
$x≤11$
。答案
15.$x≤11$
解析
【分析】
解题时首先回忆绝对值的代数意义：当一个数小于等于0时，它的绝对值等于它的相反数。观察题目给出的等式，等号右侧是左侧绝对值内式子的相反数，由此可推出绝对值内的式子是非正数，据此列出一元一次不等式，再按解一元一次不等式的步骤求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据绝对值的性质：若$\vert a\vert=-a$，则$a≤0$。
在等式$\left| \dfrac{x-1}{2} -5 \right| =5 - \dfrac{x-1}{2}$中，设$a=\dfrac{x-1}{2}-5$，可得：
$\dfrac{x-1}{2}-5≤0$
解这个不等式：
1. 不等式两边同时乘2，得$x-1-10≤0$
2. 合并同类项，得$x-11≤0$
3. 移项，得$x≤11$
【答案】
$x≤11$
【知识点】
绝对值的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题核心是利用绝对值的性质建立不等式，重点考查对基础性质的理解和一元一次不等式的求解能力，解题时容易漏掉等号，需注意非正数包含0的情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆绝对值的代数意义：当一个数小于等于0时，它的绝对值等于它的相反数。观察题目给出的等式，等号右侧是左侧绝对值内式子的相反数，由此可推出绝对值内的式子是非正数，据此列出一元一次不等式，再按解一元一次不等式的步骤求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据绝对值的性质：若$\vert a\vert=-a$，则$a≤0$。
在等式$\left| \dfrac{x-1}{2} -5 \right| =5 - \dfrac{x-1}{2}$中，设$a=\dfrac{x-1}{2}-5$，可得：
$\dfrac{x-1}{2}-5≤0$
解这个不等式：
1. 不等式两边同时乘2，得$x-1-10≤0$
2. 合并同类项，得$x-11≤0$
3. 移项，得$x≤11$
【答案】
$x≤11$
【知识点】
绝对值的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题核心是利用绝对值的性质建立不等式，重点考查对基础性质的理解和一元一次不等式的求解能力，解题时容易漏掉等号，需注意非正数包含0的情况。
【难度系数】
0.7
16.八年级(1)班部分同学去延安研学旅行，晚上需安排住宿，由于房间有限，女生已全部安排完毕，现将男生安排到剩余房间，如果
每个房间住2人，则多8人；如果每个房间住4人，则有一个房间有人住，但没住满4人，那么共有男生
每个房间住2人，则多8人；如果每个房间住4人，则有一个房间有人住，但没住满4人，那么共有男生
18
人。答案
16.18 [解析]设剩余$x$个房间，则共有男生$(2x+8)$人，根据题意，得$\begin{cases}2x+8＞4(x-1),\\2x+8＜4x,\end{cases}$解得$4＜x＜6$.$\because x$为正整数，$\therefore x=5$，$\therefore 2x+8=2×5+8=18$，$\therefore$共有男生18人.
解析
【分析】
这是一道一元一次不等式组的实际应用题，解题时先明确两个不变量：剩余房间数和男生总人数。首先设剩余房间数为x，即可用含x的代数式表示男生总人数；再根据“每个房间住4人时，有一个房间有人但没住满”的条件，提炼两个不等关系：①男生总人数比（x-1）个房间住满4人的总人数多（最后一个房间有人住）；②男生总人数比x个房间住满4人的总人数少（最后一个房间没住满）。据此列出不等式组，解出x的取值范围，再结合x是正整数的隐含条件确定x的取值，最后代入计算男生人数即可。
【解析】
设剩余房间有$x$个，则男生总人数为$(2x+8)$人。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}2x+8＞4(x-1)\\2x+8＜4x\end{cases}$
解第一个不等式：
$2x+8＞4x-4$
$12＞2x$
$x＜6$
解第二个不等式：
$8＜2x$
$x＞4$
因此不等式组的解集为$4＜x＜6$。
$\because x$为正整数，$\therefore x=5$
代入得男生人数：$2x+8=2×5+8=18$
【答案】
18
【知识点】
1. 一元一次不等式组的应用
2. 不等式组的整数解求解
【点评】
本题是不等式组的典型实际应用题，解题核心是准确提取“未住满房间”对应的不等关系，同时不要忽略房间数为正整数的隐含条件，考查学生将实际情景转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
这是一道一元一次不等式组的实际应用题，解题时先明确两个不变量：剩余房间数和男生总人数。首先设剩余房间数为x，即可用含x的代数式表示男生总人数；再根据“每个房间住4人时，有一个房间有人但没住满”的条件，提炼两个不等关系：①男生总人数比（x-1）个房间住满4人的总人数多（最后一个房间有人住）；②男生总人数比x个房间住满4人的总人数少（最后一个房间没住满）。据此列出不等式组，解出x的取值范围，再结合x是正整数的隐含条件确定x的取值，最后代入计算男生人数即可。
【解析】
设剩余房间有$x$个，则男生总人数为$(2x+8)$人。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}2x+8＞4(x-1)\\2x+8＜4x\end{cases}$
解第一个不等式：
$2x+8＞4x-4$
$12＞2x$
$x＜6$
解第二个不等式：
$8＜2x$
$x＞4$
因此不等式组的解集为$4＜x＜6$。
$\because x$为正整数，$\therefore x=5$
代入得男生人数：$2x+8=2×5+8=18$
【答案】
18
【知识点】
1. 一元一次不等式组的应用
2. 不等式组的整数解求解
【点评】
本题是不等式组的典型实际应用题，解题核心是准确提取“未住满房间”对应的不等关系，同时不要忽略房间数为正整数的隐含条件，考查学生将实际情景转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
