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22. 甲、乙两人同时解方程组$\begin{cases}mx + ny = -8, ①\\mx - ny = 5, ②\end{cases}$ 由于甲看错了方程①中的$m$，得到的解为$\begin{cases}x=4,\\y=2,\end{cases}$ 乙看错了方程②中的$n$，得到的解为$\begin{cases}x=2,\\y=5,\end{cases}$ 试求$m,n$的正确值.
答案
22. 由题意可知$\begin{cases} x=4, \\ y=2 \end{cases}$是②的解，$\begin{cases} x=2, \\ y=5 \end{cases}$是①的解，分别代入，得
方程组$\begin{cases} 4m-2n=5, \\ 2m+5n=-8, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=\dfrac{3}{8}, \\ n=-\dfrac{7}{4}. \end{cases}$
方程组$\begin{cases} 4m-2n=5, \\ 2m+5n=-8, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=\dfrac{3}{8}, \\ n=-\dfrac{7}{4}. \end{cases}$
解析
【分析】
解题的关键是明确“看错某个方程的系数”的含义：甲只看错了方程①中的m，说明甲得到的解满足没有看错的方程②；乙只看错了方程②中的n，说明乙得到的解满足没有看错的方程①。我们只需要把两组解分别代入对应的正确方程，就能得到关于m、n的二元一次方程组，解这个方程组即可求出m、n的正确值。
【解析】
解：由题意可知，$\begin{cases} x=4 \\ y=2 \end{cases}$是方程②的解，$\begin{cases} x=2 \\ y=5 \end{cases}$是方程①的解。
将两组解分别代入对应的方程，可得：
$\begin{cases} 4m - 2n = 5 \quad ③ \\ 2m + 5n = -8 \quad ④ \end{cases}$
用消元法解这个方程组：
把④×2，得：$4m + 10n = -16 \quad ⑤$
用⑤-③，得：$12n = -21$，解得$n = -\frac{7}{4}$
把$n = -\frac{7}{4}$代入③，得：$4m - 2×(-\frac{7}{4}) =5$
化简得：$4m + \frac{7}{2}=5$，$4m = \frac{3}{2}$，解得$m = \frac{3}{8}$
【答案】
$\begin{cases} m=\dfrac{3}{8} \\ n=-\dfrac{7}{4} \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的典型错解类问题，核心是抓住“看错一个方程的系数时，解仍然符合另一个未看错的方程”这一要点，将问题转化为常规的二元一次方程组求解即可。
【难度系数】
0.7
解题的关键是明确“看错某个方程的系数”的含义：甲只看错了方程①中的m，说明甲得到的解满足没有看错的方程②；乙只看错了方程②中的n，说明乙得到的解满足没有看错的方程①。我们只需要把两组解分别代入对应的正确方程，就能得到关于m、n的二元一次方程组，解这个方程组即可求出m、n的正确值。
【解析】
解：由题意可知，$\begin{cases} x=4 \\ y=2 \end{cases}$是方程②的解，$\begin{cases} x=2 \\ y=5 \end{cases}$是方程①的解。
将两组解分别代入对应的方程，可得：
$\begin{cases} 4m - 2n = 5 \quad ③ \\ 2m + 5n = -8 \quad ④ \end{cases}$
用消元法解这个方程组：
把④×2，得：$4m + 10n = -16 \quad ⑤$
用⑤-③，得：$12n = -21$，解得$n = -\frac{7}{4}$
把$n = -\frac{7}{4}$代入③，得：$4m - 2×(-\frac{7}{4}) =5$
化简得：$4m + \frac{7}{2}=5$，$4m = \frac{3}{2}$，解得$m = \frac{3}{8}$
【答案】
$\begin{cases} m=\dfrac{3}{8} \\ n=-\dfrac{7}{4} \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的典型错解类问题，核心是抓住“看错一个方程的系数时，解仍然符合另一个未看错的方程”这一要点，将问题转化为常规的二元一次方程组求解即可。
【难度系数】
0.7
23. 某景区每张成人票8元，每张儿童票5元，售出1000张票，得票款6920元.
(1)问成人票与儿童票各售出多少张？
(2)若票价不变，仍售出1000张票，所得的票款可能是7290元吗？为什么？
(1)问成人票与儿童票各售出多少张？
(2)若票价不变，仍售出1000张票，所得的票款可能是7290元吗？为什么？
答案
23. (1)设售出成人票$x$张，儿童票$y$张，
依题意，得$\begin{cases} x+y=1\ 000, \\ 8x+5y=6\ 920, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=640, \\ y=360. \end{cases}$
故售出成人票640张，儿童票360张.
(2)所得的票款不可能是7 290元. 理由如下：
设售出成人票$m$张，儿童票$n$张，
依题意，得$\begin{cases} m+n=1\ 000, \\ 8m+5n=7\ 290, \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=763\ \dfrac{1}{3}, \\ n=236\ \dfrac{2}{3}. \end{cases}$
又$m,n$均为自然数，
$\therefore\begin{cases} m=763\ \dfrac{1}{3}, \\ n=236\ \dfrac{2}{3} \end{cases}$不符合题意，舍去，
$\therefore$所得的票款不可能是7 290元.
依题意，得$\begin{cases} x+y=1\ 000, \\ 8x+5y=6\ 920, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=640, \\ y=360. \end{cases}$
故售出成人票640张，儿童票360张.
(2)所得的票款不可能是7 290元. 理由如下：
设售出成人票$m$张，儿童票$n$张，
依题意，得$\begin{cases} m+n=1\ 000, \\ 8m+5n=7\ 290, \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=763\ \dfrac{1}{3}, \\ n=236\ \dfrac{2}{3}. \end{cases}$
又$m,n$均为自然数，
$\therefore\begin{cases} m=763\ \dfrac{1}{3}, \\ n=236\ \dfrac{2}{3} \end{cases}$不符合题意，舍去，
$\therefore$所得的票款不可能是7 290元.
解析
【分析】
本题是二元一次方程组的实际应用问题，解题核心是找准等量关系：①成人票张数+儿童票张数=总售出票数1000张；②成人票总票款+儿童票总票款=总票款。第一问可直接根据两个等量关系设未知数列方程组求解；第二问先按相同等量关系列方程组，再结合票数必须是非负整数的实际要求，判断解是否符合实际，即可得出结论。
【解析】
(1) 设售出成人票$x$张，儿童票$y$张，
依题意，得$\begin{cases} x+y=1\ 000, \\ 8x+5y=6\ 920, \end{cases}$
将$y=1000-x$代入第二个方程，得$8x+5(1000-x)=6920$，
解得$x=640$，则$y=1000-640=360$，
即方程组的解为$\begin{cases} x=640, \\ y=360. \end{cases}$
(2) 所得的票款不可能是7290元，理由如下：
设售出成人票$m$张，儿童票$n$张，
依题意，得$\begin{cases} m+n=1\ 000, \\ 8m+5n=7\ 290, \end{cases}$
将$n=1000-m$代入第二个方程，得$8m+5(1000-m)=7290$，
解得$m=763\dfrac{1}{3}$，则$n=1000-763\dfrac{1}{3}=236\dfrac{2}{3}$，
由于$m,n$均为自然数，上述解不符合题意，舍去，因此票款不可能为7290元。
【答案】
(1)售出成人票640张，儿童票360张；(2)所得的票款不可能是7290元，因为解得的票数为分数，不符合票数为自然数的实际要求。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法；实际问题解的检验
【点评】
本题是二元一次方程组的典型应用基础题，解题关键是准确提取等量关系建立方程组，同时要注意实际问题的解必须符合现实意义，求解后需对结果进行合理性验证。
【难度系数】
0.7
本题是二元一次方程组的实际应用问题，解题核心是找准等量关系：①成人票张数+儿童票张数=总售出票数1000张；②成人票总票款+儿童票总票款=总票款。第一问可直接根据两个等量关系设未知数列方程组求解；第二问先按相同等量关系列方程组，再结合票数必须是非负整数的实际要求，判断解是否符合实际，即可得出结论。
【解析】
(1) 设售出成人票$x$张，儿童票$y$张，
依题意，得$\begin{cases} x+y=1\ 000, \\ 8x+5y=6\ 920, \end{cases}$
将$y=1000-x$代入第二个方程，得$8x+5(1000-x)=6920$，
解得$x=640$，则$y=1000-640=360$，
即方程组的解为$\begin{cases} x=640, \\ y=360. \end{cases}$
(2) 所得的票款不可能是7290元，理由如下：
设售出成人票$m$张，儿童票$n$张，
依题意，得$\begin{cases} m+n=1\ 000, \\ 8m+5n=7\ 290, \end{cases}$
将$n=1000-m$代入第二个方程，得$8m+5(1000-m)=7290$，
解得$m=763\dfrac{1}{3}$，则$n=1000-763\dfrac{1}{3}=236\dfrac{2}{3}$，
由于$m,n$均为自然数，上述解不符合题意，舍去，因此票款不可能为7290元。
【答案】
(1)售出成人票640张，儿童票360张；(2)所得的票款不可能是7290元，因为解得的票数为分数，不符合票数为自然数的实际要求。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法；实际问题解的检验
【点评】
本题是二元一次方程组的典型应用基础题，解题关键是准确提取等量关系建立方程组，同时要注意实际问题的解必须符合现实意义，求解后需对结果进行合理性验证。
【难度系数】
0.7
24.一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行,从甲地到乙地顺流航行用6小时,逆流航行比顺流航行多用4小时.
(1)求该轮船在静水中的速度和水流速度.
(2)若在甲、乙两地之间建立丙码头,使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同,问甲、丙两地相距多少千米?
(1)求该轮船在静水中的速度和水流速度.
(2)若在甲、乙两地之间建立丙码头,使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同,问甲、丙两地相距多少千米?
答案
24. (1)设该轮船在静水中的速度是$x$千米/小时，水流速度是$y$千米/小时，
依题意，得$\begin{cases} 6(x+y)=90, \\ (6+4)(x-y)=90, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=12, \\ y=3. \end{cases}$
故该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时.
(2)设甲、丙两地相距$a$千米，则乙、丙两地相距$(90-a)$千米，
依题意，得$\dfrac{a}{12+3}=\dfrac{90-a}{12-3}$，解得$a=\dfrac{225}{4}.$
故甲、丙两地相距$\dfrac{225}{4}$千米.
依题意，得$\begin{cases} 6(x+y)=90, \\ (6+4)(x-y)=90, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=12, \\ y=3. \end{cases}$
故该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时.
(2)设甲、丙两地相距$a$千米，则乙、丙两地相距$(90-a)$千米，
依题意，得$\dfrac{a}{12+3}=\dfrac{90-a}{12-3}$，解得$a=\dfrac{225}{4}.$
故甲、丙两地相距$\dfrac{225}{4}$千米.
解析
【分析】
(1) 首先明确流水行船的速度关系：顺流速度=轮船在静水中的速度+水流速度，逆流速度=轮船在静水中的速度-水流速度。已知甲乙两地路程为90千米，顺流用时6小时，逆流用时6+4=10小时，根据“路程=速度×时间”可得到两个等量关系，列二元一次方程组即可求解两个未知量。
(2) 设甲丙两地相距a千米，则乙丙两地相距(90-a)千米。甲到丙是顺流航行，乙到丙是逆流航行，已知两段航行时间相等，根据“时间=路程÷速度”列一元一次方程，求解即可得到甲丙两地的距离。
【解析】
(1) 设该轮船在静水中的速度是$x$千米/小时，水流速度是$y$千米/小时。
依题意可得方程组：
$\begin{cases} 6(x+y)=90 \\ (6+4)(x-y)=90 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases} x+y=15 ①\\ x-y=9 ② \end{cases}$
①+②得$2x=24$，解得$x=12$，
将$x=12$代入①得$12+y=15$，解得$y=3$。
(2) 设甲、丙两地相距$a$千米，则乙、丙两地相距$(90-a)$千米。
依题意，两段航行时间相等，列方程：
$\dfrac{a}{12+3}=\dfrac{90-a}{12-3}$
去分母得$3a=5(90-a)$，
展开移项得$8a=450$，
解得$a=\dfrac{225}{4}$。
【答案】
(1) 该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时；
(2) 甲、丙两地相距$\dfrac{225}{4}$千米。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次方程应用，流水行船行程问题
【点评】
本题是流水行船类行程问题的典型考题，第一问通过顺流、逆流的行程关系列方程组求解基础速度，第二问结合时间相等的等量关系列方程求解距离，解题关键是熟练掌握顺流、逆流速度的计算公式，准确找到题目中的等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确流水行船的速度关系：顺流速度=轮船在静水中的速度+水流速度，逆流速度=轮船在静水中的速度-水流速度。已知甲乙两地路程为90千米，顺流用时6小时，逆流用时6+4=10小时，根据“路程=速度×时间”可得到两个等量关系，列二元一次方程组即可求解两个未知量。
(2) 设甲丙两地相距a千米，则乙丙两地相距(90-a)千米。甲到丙是顺流航行，乙到丙是逆流航行，已知两段航行时间相等，根据“时间=路程÷速度”列一元一次方程，求解即可得到甲丙两地的距离。
【解析】
(1) 设该轮船在静水中的速度是$x$千米/小时，水流速度是$y$千米/小时。
依题意可得方程组：
$\begin{cases} 6(x+y)=90 \\ (6+4)(x-y)=90 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases} x+y=15 ①\\ x-y=9 ② \end{cases}$
①+②得$2x=24$，解得$x=12$，
将$x=12$代入①得$12+y=15$，解得$y=3$。
(2) 设甲、丙两地相距$a$千米，则乙、丙两地相距$(90-a)$千米。
依题意，两段航行时间相等，列方程：
$\dfrac{a}{12+3}=\dfrac{90-a}{12-3}$
去分母得$3a=5(90-a)$，
展开移项得$8a=450$，
解得$a=\dfrac{225}{4}$。
【答案】
(1) 该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时；
(2) 甲、丙两地相距$\dfrac{225}{4}$千米。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次方程应用，流水行船行程问题
【点评】
本题是流水行船类行程问题的典型考题，第一问通过顺流、逆流的行程关系列方程组求解基础速度，第二问结合时间相等的等量关系列方程求解距离，解题关键是熟练掌握顺流、逆流速度的计算公式，准确找到题目中的等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.7
25. 传统文化 端午节习俗 随着中国传统节日“端午节”的临近，某商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打8折，乙品牌粽子打7.5折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
(2)某敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
(2)某敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
答案
25. (1)设打折前甲品牌粽子每盒$x$元，乙品牌粽子每盒$y$元，根据题意，得
$\begin{cases} 6x+3y=660, \\ 50×0.8x+40×0.75y=5\ 200, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=70, \\ y=80. \end{cases}$
故打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元.
(2)$80×70×(1-80\%)+100×80×(1-75\%)=3\ 120$(元).
故打折后购买这批粽子比不打折节省了3 120元.
$\begin{cases} 6x+3y=660, \\ 50×0.8x+40×0.75y=5\ 200, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=70, \\ y=80. \end{cases}$
故打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元.
(2)$80×70×(1-80\%)+100×80×(1-75\%)=3\ 120$(元).
故打折后购买这批粽子比不打折节省了3 120元.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 要求打折前甲、乙两种粽子的单价，存在两个未知量，可分别设两个未知数，从题干提取两个等量关系：①打折前6盒甲品牌粽子总价+3盒乙品牌粽子总价=660元；②打折后甲品牌打8折、乙品牌打7.5折，50盒甲品牌粽子总价+40盒乙品牌粽子总价=5200元，据此列二元一次方程组求解即可。
(2) 求节省的总费用，可分别计算甲、乙两种粽子每盒节省的金额，再乘以对应购买的数量，相加即可得到总节省金额，也可通过未打折总费用减去打折后总费用的方式计算。
【解析】
(1) 设打折前甲品牌粽子每盒$x$元，乙品牌粽子每盒$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 6x+3y=660 \\ 50×0.8x+40×0.75y=5200 \end{cases}$
化简第一个方程得：$2x+y=220$，即$y=220-2x$；
化简第二个方程得：$40x+30y=5200$，即$4x+3y=520$；
将$y=220-2x$代入$4x+3y=520$，得$4x+3(220-2x)=520$，
解得$x=70$，代入$y=220-2x$得$y=80$。
(2) 甲品牌粽子每盒打8折，单盒节省比例为$(1-80\%)$，乙品牌粽子每盒打7.5折，单盒节省比例为$(1-75\%)$，总节省金额为：
$80×70×(1-80\%) + 100×80×(1-75\%)=1120+2000=3120$（元）
【答案】
(1) 打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元；
(2) 打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；销售折扣计算
【点评】
本题结合端午节传统文化背景出题，贴近生活实际，主要考查学生提取题干等量关系、建立方程模型解决实际问题的能力，计算时需注意折扣与百分比的换算，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.75
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 要求打折前甲、乙两种粽子的单价，存在两个未知量，可分别设两个未知数，从题干提取两个等量关系：①打折前6盒甲品牌粽子总价+3盒乙品牌粽子总价=660元；②打折后甲品牌打8折、乙品牌打7.5折，50盒甲品牌粽子总价+40盒乙品牌粽子总价=5200元，据此列二元一次方程组求解即可。
(2) 求节省的总费用，可分别计算甲、乙两种粽子每盒节省的金额，再乘以对应购买的数量，相加即可得到总节省金额，也可通过未打折总费用减去打折后总费用的方式计算。
【解析】
(1) 设打折前甲品牌粽子每盒$x$元，乙品牌粽子每盒$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 6x+3y=660 \\ 50×0.8x+40×0.75y=5200 \end{cases}$
化简第一个方程得：$2x+y=220$，即$y=220-2x$；
化简第二个方程得：$40x+30y=5200$，即$4x+3y=520$；
将$y=220-2x$代入$4x+3y=520$，得$4x+3(220-2x)=520$，
解得$x=70$，代入$y=220-2x$得$y=80$。
(2) 甲品牌粽子每盒打8折，单盒节省比例为$(1-80\%)$，乙品牌粽子每盒打7.5折，单盒节省比例为$(1-75\%)$，总节省金额为：
$80×70×(1-80\%) + 100×80×(1-75\%)=1120+2000=3120$（元）
【答案】
(1) 打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元；
(2) 打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；销售折扣计算
【点评】
本题结合端午节传统文化背景出题，贴近生活实际，主要考查学生提取题干等量关系、建立方程模型解决实际问题的能力，计算时需注意折扣与百分比的换算，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.75
