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17. 关于x的方程$kx -1=2x$的解为正实数，则k的取值范围是
$k＞2$
。答案
17.$k＞2$
解析
【分析】
首先把参数k当作已知常数，求解关于x的一元一次方程，得到用k表示的x的表达式；再根据题目“解为正实数”即x＞0的条件，列出关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围，过程中要注意排除x的系数为0时方程无解的情况。
【解析】
1. 求解方程$kx -1=2x$：
移项，将含x的项移到等号左侧，常数项移到右侧，得：
$kx - 2x = 1$
合并同类项，提取公因式x，得：
$(k - 2)x = 1$
若$k-2=0$即$k=2$时，方程左边为0、右边为1，等式不成立，方程无解，不符合题意；
因此$k≠2$，将x的系数化为1，得：
$x = \frac{1}{k - 2}$
2. 根据“方程的解为正实数”可得$x＞0$，代入得：
$\frac{1}{k - 2} ＞ 0$
由于分子1为正数，要使分数值为正，分母也需为正，因此：
$k - 2 ＞ 0$
解得$k ＞ 2$
【答案】
$k＞2$
【知识点】
1. 含参一元一次方程求解
2. 一元一次不等式求解
【点评】
本题是方程与不等式结合的基础题，解题核心是先将参数视为已知数求出方程的解，再结合解的限制条件列不等式求解，注意要先判断未知数系数不为0的情况，避免漏考虑方程无解的情形。
【难度系数】
0.7
首先把参数k当作已知常数，求解关于x的一元一次方程，得到用k表示的x的表达式；再根据题目“解为正实数”即x＞0的条件，列出关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围，过程中要注意排除x的系数为0时方程无解的情况。
【解析】
1. 求解方程$kx -1=2x$：
移项，将含x的项移到等号左侧，常数项移到右侧，得：
$kx - 2x = 1$
合并同类项，提取公因式x，得：
$(k - 2)x = 1$
若$k-2=0$即$k=2$时，方程左边为0、右边为1，等式不成立，方程无解，不符合题意；
因此$k≠2$，将x的系数化为1，得：
$x = \frac{1}{k - 2}$
2. 根据“方程的解为正实数”可得$x＞0$，代入得：
$\frac{1}{k - 2} ＞ 0$
由于分子1为正数，要使分数值为正，分母也需为正，因此：
$k - 2 ＞ 0$
解得$k ＞ 2$
【答案】
$k＞2$
【知识点】
1. 含参一元一次方程求解
2. 一元一次不等式求解
【点评】
本题是方程与不等式结合的基础题，解题核心是先将参数视为已知数求出方程的解，再结合解的限制条件列不等式求解，注意要先判断未知数系数不为0的情况，避免漏考虑方程无解的情形。
【难度系数】
0.7
18. 若不等式$\frac{1}{3}(kx + 9) ＞ 2x$恒成立，则$k=$
6
.答案
18.6
解析
【分析】
要解决这个不等式恒成立的问题，首先按照解一元一次不等式的步骤对原式化简，将含x的项合并到一起。若x的系数不为0，不等式的解会是x大于或小于某个固定值，不可能对所有x都成立；只有当x的系数为0，且化简后的不等式本身恒成立时，原式才能对任意x都满足，据此即可求出k的值。
【解析】
解：对不等式$\frac{1}{3}(kx + 9) ＞ 2x$逐步化简：
1. 去分母，两边同时乘3，不等号方向不变：
$kx + 9 ＞ 6x$
2. 移项，将含x的项移到不等号左侧：
$kx - 6x ＞ -9$
3. 合并同类项：
$(k - 6)x ＞ -9$
分析恒成立条件：
若$k-6≠0$，不等式的解会受x取值影响，总有部分x不满足不等式，不符合恒成立要求；
若$k-6=0$，即$k=6$时，左侧变为$0× x=0$，不等式变为$0＞-9$，该式永远成立，符合要求。
综上可得$k=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元一次不等式解法；不等式恒成立判定
【点评】
本题易错点是容易忽略含未知数项的系数为0的特殊情况，解题时要明确：要使含未知数的不等式对所有未知数取值都成立，需让含未知数的项系数为0，且剩余常数项满足不等关系。
【难度系数】
0.6
要解决这个不等式恒成立的问题，首先按照解一元一次不等式的步骤对原式化简，将含x的项合并到一起。若x的系数不为0，不等式的解会是x大于或小于某个固定值，不可能对所有x都成立；只有当x的系数为0，且化简后的不等式本身恒成立时，原式才能对任意x都满足，据此即可求出k的值。
【解析】
解：对不等式$\frac{1}{3}(kx + 9) ＞ 2x$逐步化简：
1. 去分母，两边同时乘3，不等号方向不变：
$kx + 9 ＞ 6x$
2. 移项，将含x的项移到不等号左侧：
$kx - 6x ＞ -9$
3. 合并同类项：
$(k - 6)x ＞ -9$
分析恒成立条件：
若$k-6≠0$，不等式的解会受x取值影响，总有部分x不满足不等式，不符合恒成立要求；
若$k-6=0$，即$k=6$时，左侧变为$0× x=0$，不等式变为$0＞-9$，该式永远成立，符合要求。
综上可得$k=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元一次不等式解法；不等式恒成立判定
【点评】
本题易错点是容易忽略含未知数项的系数为0的特殊情况，解题时要明确：要使含未知数的不等式对所有未知数取值都成立，需让含未知数的项系数为0，且剩余常数项满足不等关系。
【难度系数】
0.6
三、解答题
19. 解不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来：
(1)$\frac{3}{2}x -7 ＜ \frac{1}{5}(9x + \frac{1}{2})$；
(2)
；
(3)$\begin{cases}2x ＞ x+1, \\3x ＜ 2(x+1);\end{cases}$
(4)$\begin{cases}x+2＞1, \\\frac{x+1}{2}＜2.\end{cases}$
19. 解不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来：
(1)$\frac{3}{2}x -7 ＜ \frac{1}{5}(9x + \frac{1}{2})$；
(2)
；(3)$\begin{cases}2x ＞ x+1, \\3x ＜ 2(x+1);\end{cases}$
(4)$\begin{cases}x+2＞1, \\\frac{x+1}{2}＜2.\end{cases}$
答案
19.(1)$x＞-\dfrac{71}{3}$，数轴表示略.
(2)$x≤\dfrac{5}{2}$，数轴表示略.
(3)$1＜x＜2$，数轴表示略.
(4)$-1＜x＜3$，数轴表示略.
(2)$x≤\dfrac{5}{2}$，数轴表示略.
(3)$1＜x＜2$，数轴表示略.
(4)$-1＜x＜3$，数轴表示略.
解析
【分析】
这是一元一次不等式求解类题目，解题思路和一元一次方程求解逻辑相似，步骤如下：首先找到各分母的最小公倍数去分母，注意不等式两边的每一项都要乘最小公倍数，不要漏乘常数项；之后去括号，若括号前是负号，括号内每一项都要变号；再移项，将含未知数的项放在不等号一侧，常数项放在另一侧；接着合并同类项，最后系数化为1，注意如果未知数的系数为负数，不等号方向要改变。
【解析】
解：原不等式为$\dfrac{x-1}{3}-\dfrac{2x+5}{4}≥ -2$
1. 去分母，两边同时乘以3和4的最小公倍数12，得：
$4(x-1)-3(2x+5)≥ -24$
2. 去括号，得：
$4x-4-6x-15≥ -24$
3. 合并同类项，得：
$-2x-19≥ -24$
4. 移项，得：
$-2x≥ -24+19$
计算得：$-2x≥ -5$
5. 系数化为1，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：
$x≤ \dfrac{5}{2}$
数轴表示略。
【答案】
$x≤ \dfrac{5}{2}$，数轴表示略。
【知识点】
一元一次不等式求解，不等式的基本性质，去括号法则
【点评】
本题是一元一次不等式的基础考察题型，解题过程中容易出现去分母时漏乘右侧常数项、去括号时符号出错、系数化为1时忘记改变不等号方向这几类错误，熟练掌握不等式求解步骤和相关注意事项即可正确解答。
【难度系数】
0.7
这是一元一次不等式求解类题目，解题思路和一元一次方程求解逻辑相似，步骤如下：首先找到各分母的最小公倍数去分母，注意不等式两边的每一项都要乘最小公倍数，不要漏乘常数项；之后去括号，若括号前是负号，括号内每一项都要变号；再移项，将含未知数的项放在不等号一侧，常数项放在另一侧；接着合并同类项，最后系数化为1，注意如果未知数的系数为负数，不等号方向要改变。
【解析】
解：原不等式为$\dfrac{x-1}{3}-\dfrac{2x+5}{4}≥ -2$
1. 去分母，两边同时乘以3和4的最小公倍数12，得：
$4(x-1)-3(2x+5)≥ -24$
2. 去括号，得：
$4x-4-6x-15≥ -24$
3. 合并同类项，得：
$-2x-19≥ -24$
4. 移项，得：
$-2x≥ -24+19$
计算得：$-2x≥ -5$
5. 系数化为1，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：
$x≤ \dfrac{5}{2}$
数轴表示略。
【答案】
$x≤ \dfrac{5}{2}$，数轴表示略。
【知识点】
一元一次不等式求解，不等式的基本性质，去括号法则
【点评】
本题是一元一次不等式的基础考察题型，解题过程中容易出现去分母时漏乘右侧常数项、去括号时符号出错、系数化为1时忘记改变不等号方向这几类错误，熟练掌握不等式求解步骤和相关注意事项即可正确解答。
【难度系数】
0.7
20. 求不等式$\frac{3y - 2}{4} ＞ \frac{5y + 2}{3}$的最大整数解.
答案
20.最大整数解为$-2$.
解析
【分析】
要解本题需分两步进行：第一步先求解一元一次不等式的解集，解一元一次不等式的步骤与一元一次方程类似，依次为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，需注意当不等式两边同乘或同除负数时，不等号方向要改变；第二步在得到的解集范围内，找出符合要求的最大整数即可。
【解析】
解：去分母，两边同时乘12（正数，不等号方向不变），得：
$3(3y - 2) ＞ 4(5y + 2)$
去括号，得：
$9y - 6 ＞ 20y + 8$
移项，得：
$9y - 20y ＞ 8 + 6$
合并同类项，得：
$-11y ＞ 14$
系数化为1，两边同时除以$-11$（负数，不等号方向改变），得：
$y ＜ -\frac{14}{11}$，即$y ＜ -1\frac{3}{11}$
小于$-1\frac{3}{11}$的整数有$-2,-3,-4···$，其中最大的整数是$-2$。
【答案】
最大整数解为$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的性质；不等式的整数解
【点评】
本题考查一元一次不等式的求解及整数解的确定，解题时要注意去分母时不要漏乘常数项，系数化为1时若系数为负，必须改变不等号的方向，这是此类题的高频易错点。
【难度系数】
0.7
要解本题需分两步进行：第一步先求解一元一次不等式的解集，解一元一次不等式的步骤与一元一次方程类似，依次为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，需注意当不等式两边同乘或同除负数时，不等号方向要改变；第二步在得到的解集范围内，找出符合要求的最大整数即可。
【解析】
解：去分母，两边同时乘12（正数，不等号方向不变），得：
$3(3y - 2) ＞ 4(5y + 2)$
去括号，得：
$9y - 6 ＞ 20y + 8$
移项，得：
$9y - 20y ＞ 8 + 6$
合并同类项，得：
$-11y ＞ 14$
系数化为1，两边同时除以$-11$（负数，不等号方向改变），得：
$y ＜ -\frac{14}{11}$，即$y ＜ -1\frac{3}{11}$
小于$-1\frac{3}{11}$的整数有$-2,-3,-4···$，其中最大的整数是$-2$。
【答案】
最大整数解为$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的性质；不等式的整数解
【点评】
本题考查一元一次不等式的求解及整数解的确定，解题时要注意去分母时不要漏乘常数项，系数化为1时若系数为负，必须改变不等号的方向，这是此类题的高频易错点。
【难度系数】
0.7
21. 小伟准备用一段长30 m的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔. 已知第一条边长为a m，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2 m.
(1)请用a表示第三条边长；
(2)问第一条边长可以为7 m吗？请说明理由，并求出a的取值范围.
(1)请用a表示第三条边长；
(2)问第一条边长可以为7 m吗？请说明理由，并求出a的取值范围.
答案
21.(1)因为第二条边长为$(2a+2)\mathrm{m}$，所以第三条边长为$30-a-(2a+2)=(28-3a)\mathrm{m}$.
(2)当$a=7$时，三边长分别为7,16,7.
由于$7+7＜16$，所以不能构成三角形，即第一条边长不可以为7米.
由$\begin{cases}2a+2+a＞28-3a, \\2a+2-a＜28-3a,\end{cases}$解得$\dfrac{13}{3}＜a＜\dfrac{13}{2}$.
故$a$的取值范围是$\dfrac{13}{3}＜a＜\dfrac{13}{2}$.
(2)当$a=7$时，三边长分别为7,16,7.
由于$7+7＜16$，所以不能构成三角形，即第一条边长不可以为7米.
由$\begin{cases}2a+2+a＞28-3a, \\2a+2-a＜28-3a,\end{cases}$解得$\dfrac{13}{3}＜a＜\dfrac{13}{2}$.
故$a$的取值范围是$\dfrac{13}{3}＜a＜\dfrac{13}{2}$.
解析
【分析】
(1) 已知篱笆总长度即三角形周长为30m，第一条边长为a m，第二条边长为(2a+2)m，根据周长等于三边之和，用总长度减去前两条边的长度，即可推出第三条边的代数式。
(2) 判断a=7是否可行时，先代入求出三边长，再用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”验证是否满足构成三角形的条件。求a的取值范围时，需结合三边均为正数、任意两边之和大于第三边的条件列不等式组，求解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
(1) 由题意可知第二条边长为$(2a+2)\mathrm{m}$，
因为三角形周长为30m，因此第三条边长为：
$30 - a - (2a + 2) = 30 - a - 2a - 2 = (28 - 3a)\mathrm{m}$。
(2) 当$a=7$时，三边长分别为：
第一条边$7\mathrm{m}$，第二条边$2×7+2=16\mathrm{m}$，第三条边$28-3×7=7\mathrm{m}$，
根据三角形三边关系，任意两边之和需大于第三边，而$7+7=14＜16$，不满足构成三角形的条件，因此第一条边长不可以为7m。
求a的取值范围，需满足三角形三边关系，列不等式组：
$\begin{cases}a + (2a + 2) ＞ 28 - 3a \\ (2a + 2) - a ＜ 28 - 3a \end{cases}$
解第一个不等式：
$3a + 2 ＞ 28 - 3a$
$6a ＞ 26$
$a ＞ \dfrac{13}{3}$
解第二个不等式：
$a + 2 ＜ 28 - 3a$
$4a ＜ 26$
$a ＜ \dfrac{13}{2}$
综上，a的取值范围为$\dfrac{13}{3} ＜ a ＜ \dfrac{13}{2}$。
【答案】
(1) 第三条边长为$\boldsymbol{(28-3a)\mathrm{m}}$；
(2) 第一条边长不可以为7m；a的取值范围是$\boldsymbol{\dfrac{13}{3} ＜ a ＜ \dfrac{13}{2}}$。
【知识点】
列代数式；三角形三边关系；一元一次不等式组的应用
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，核心考查三角形三边关系的实际应用，解题时要注意所有边长必须为正数，列不等式组时要覆盖所有三边关系的约束，避免因漏判三边大小关系导致取值范围错误。
【难度系数】
0.7
(1) 已知篱笆总长度即三角形周长为30m，第一条边长为a m，第二条边长为(2a+2)m，根据周长等于三边之和，用总长度减去前两条边的长度，即可推出第三条边的代数式。
(2) 判断a=7是否可行时，先代入求出三边长，再用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”验证是否满足构成三角形的条件。求a的取值范围时，需结合三边均为正数、任意两边之和大于第三边的条件列不等式组，求解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
(1) 由题意可知第二条边长为$(2a+2)\mathrm{m}$，
因为三角形周长为30m，因此第三条边长为：
$30 - a - (2a + 2) = 30 - a - 2a - 2 = (28 - 3a)\mathrm{m}$。
(2) 当$a=7$时，三边长分别为：
第一条边$7\mathrm{m}$，第二条边$2×7+2=16\mathrm{m}$，第三条边$28-3×7=7\mathrm{m}$，
根据三角形三边关系，任意两边之和需大于第三边，而$7+7=14＜16$，不满足构成三角形的条件，因此第一条边长不可以为7m。
求a的取值范围，需满足三角形三边关系，列不等式组：
$\begin{cases}a + (2a + 2) ＞ 28 - 3a \\ (2a + 2) - a ＜ 28 - 3a \end{cases}$
解第一个不等式：
$3a + 2 ＞ 28 - 3a$
$6a ＞ 26$
$a ＞ \dfrac{13}{3}$
解第二个不等式：
$a + 2 ＜ 28 - 3a$
$4a ＜ 26$
$a ＜ \dfrac{13}{2}$
综上，a的取值范围为$\dfrac{13}{3} ＜ a ＜ \dfrac{13}{2}$。
【答案】
(1) 第三条边长为$\boldsymbol{(28-3a)\mathrm{m}}$；
(2) 第一条边长不可以为7m；a的取值范围是$\boldsymbol{\dfrac{13}{3} ＜ a ＜ \dfrac{13}{2}}$。
【知识点】
列代数式；三角形三边关系；一元一次不等式组的应用
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，核心考查三角形三边关系的实际应用，解题时要注意所有边长必须为正数，列不等式组时要覆盖所有三边关系的约束，避免因漏判三边大小关系导致取值范围错误。
【难度系数】
0.7
