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22. 中考新考法 解题方法型阅读理解题 先阅读,再解题. 解不等式:$\frac{2x+5}{x-3}＞0$.
解:根据两数相除,同号得正,异号得负,得
① $\begin{cases}2x+5＞0, \\ x-3＞0\end{cases}$ 或② $\begin{cases}2x+5＜0, \\ x-3＜0.\end{cases}$
解不等式组①,得$x＞3$；
解不等式组②,得$x＜-\frac{5}{2}$.
所以原不等式的解集为$x＞3$或$x＜-\frac{5}{2}$.
参照以上解题过程所反映的解题思想方法,试解不等式:$\frac{2x-3}{1+3x}＜0$.
解:根据两数相除,同号得正,异号得负,得
① $\begin{cases}2x+5＞0, \\ x-3＞0\end{cases}$ 或② $\begin{cases}2x+5＜0, \\ x-3＜0.\end{cases}$
解不等式组①,得$x＞3$；
解不等式组②,得$x＜-\frac{5}{2}$.
所以原不等式的解集为$x＞3$或$x＜-\frac{5}{2}$.
参照以上解题过程所反映的解题思想方法,试解不等式:$\frac{2x-3}{1+3x}＜0$.
答案
22.根据两数相除，异号得负，得
①$\begin{cases}2x-3＞0,\\1+3x＜0\end{cases}$或②$\begin{cases}2x-3＜0,\\1+3x＞0.\end{cases}$
解不等式组①，无解；
解不等式组②，得$-\dfrac{1}{3}＜x＜\dfrac{3}{2}$.
所以原不等式的解集为$-\dfrac{1}{3}＜x＜\dfrac{3}{2}$.
①$\begin{cases}2x-3＞0,\\1+3x＜0\end{cases}$或②$\begin{cases}2x-3＜0,\\1+3x＞0.\end{cases}$
解不等式组①，无解；
解不等式组②，得$-\dfrac{1}{3}＜x＜\dfrac{3}{2}$.
所以原不等式的解集为$-\dfrac{1}{3}＜x＜\dfrac{3}{2}$.
解析
【分析】
本题是方法迁移类阅读理解题，解题思路可参照题干给出的例题，利用有理数除法“异号得负”的符号法则，将分式小于0的问题转化为两类分子分母异号的一元一次不等式组求解。首先明确：两个式子相除结果小于0，说明分子和分母符号相反，因此分“分子正、分母负”和“分子负、分母正”两种情况列不等式组，再分别求解每一组，最后合并有效解集即可得到原不等式的解集。
【解析】
根据两数相除，异号得负，得
① $\begin{cases}2x-3＞0, \\ 1+3x＜0\end{cases}$ 或② $\begin{cases}2x-3＜0, \\ 1+3x＞0.\end{cases}$
解不等式组①：解$2x-3＞0$得$x＞\frac{3}{2}$，解$1+3x＜0$得$x＜-\frac{1}{3}$，两个解集无公共部分，故不等式组①无解；
解不等式组②：解$2x-3＜0$得$x＜\frac{3}{2}$，解$1+3x＞0$得$x＞-\frac{1}{3}$，取公共部分得$-\frac{1}{3}＜x＜\frac{3}{2}$。
所以原不等式的解集为$-\frac{1}{3}＜x＜\frac{3}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{3}＜x＜\dfrac{3}{2}$
【知识点】
分式不等式求解、一元一次不等式组解法、有理数除法符号法则
【点评】
本题属于方法迁移型阅读理解题，核心是将陌生的分式不等式通过有理数除法的符号规则，转化为已经学过的一元一次不等式组求解，解题时要注意分类讨论不要遗漏情况，同时要准确判断不等式组的解集是否存在公共部分。
【难度系数】
0.7
本题是方法迁移类阅读理解题，解题思路可参照题干给出的例题，利用有理数除法“异号得负”的符号法则，将分式小于0的问题转化为两类分子分母异号的一元一次不等式组求解。首先明确：两个式子相除结果小于0，说明分子和分母符号相反，因此分“分子正、分母负”和“分子负、分母正”两种情况列不等式组，再分别求解每一组，最后合并有效解集即可得到原不等式的解集。
【解析】
根据两数相除，异号得负，得
① $\begin{cases}2x-3＞0, \\ 1+3x＜0\end{cases}$ 或② $\begin{cases}2x-3＜0, \\ 1+3x＞0.\end{cases}$
解不等式组①：解$2x-3＞0$得$x＞\frac{3}{2}$，解$1+3x＜0$得$x＜-\frac{1}{3}$，两个解集无公共部分，故不等式组①无解；
解不等式组②：解$2x-3＜0$得$x＜\frac{3}{2}$，解$1+3x＞0$得$x＞-\frac{1}{3}$，取公共部分得$-\frac{1}{3}＜x＜\frac{3}{2}$。
所以原不等式的解集为$-\frac{1}{3}＜x＜\frac{3}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{3}＜x＜\dfrac{3}{2}$
【知识点】
分式不等式求解、一元一次不等式组解法、有理数除法符号法则
【点评】
本题属于方法迁移型阅读理解题，核心是将陌生的分式不等式通过有理数除法的符号规则，转化为已经学过的一元一次不等式组求解，解题时要注意分类讨论不要遗漏情况，同时要准确判断不等式组的解集是否存在公共部分。
【难度系数】
0.7
23. 为倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号的健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号的健身器材必须整套购买.
(1)若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20 000元，求A，B两种型号的健身器材各购买多少套？
(2)若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18 000元，求A种型号的健身器材至少要购买多少套？
(1)若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20 000元，求A，B两种型号的健身器材各购买多少套？
(2)若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18 000元，求A种型号的健身器材至少要购买多少套？
答案
23.(1)设购买A种型号的健身器材$x$套，B种型号的健身器材$y$套，
根据题意，得$\begin{cases}x+y=50,\\310x+460y=20000,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=20,\\y=30.\end{cases}$
故购买A种型号的健身器材20套，B种型号的健身器材30套.
(2)设购买A种型号的健身器材$m$套，
根据题意，得
$310m+460(50-m)≤18000$，
解得$m≥33\dfrac{1}{3}$.
$\because m$为整数，$\therefore m$的最小值为34.
故A种型号的健身器材至少要购买34套.
根据题意，得$\begin{cases}x+y=50,\\310x+460y=20000,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=20,\\y=30.\end{cases}$
故购买A种型号的健身器材20套，B种型号的健身器材30套.
(2)设购买A种型号的健身器材$m$套，
根据题意，得
$310m+460(50-m)≤18000$，
解得$m≥33\dfrac{1}{3}$.
$\because m$为整数，$\therefore m$的最小值为34.
故A种型号的健身器材至少要购买34套.
解析
【分析】
(1)本问可通过建立二元一次方程组求解，首先找到两个核心等量关系：①A、B两种型号健身器材的总套数为50套；②购买两种器材的总支出恰好为20000元。我们设A、B两种型号的健身器材购买数量分别为x套、y套，代入等量关系列出方程组，解方程组即可得到结果。
(2)本问可通过建立一元一次不等式求解，核心不等关系为购买两种器材的总支出不超过18000元。设A种型号健身器材购买m套，用总套数50减去m即可得到B种型号的套数，代入不等关系列出不等式求解，注意器材必须整套购买，因此m为正整数，最终取满足解集的最小正整数即可。
【解析】
(1)设购买A种型号的健身器材$x$套，B种型号的健身器材$y$套，
根据题意，得$\begin{cases}x+y=50,\\310x+460y=20000,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=20,\\y=30.\end{cases}$
(2)设购买A种型号的健身器材$m$套，
根据题意，得
$310m+460(50-m)≤18000$，
解得$m≥33\dfrac{1}{3}$。
$\because m$为整数，$\therefore m$的最小值为34。
【答案】
(1)购买A种型号的健身器材20套，B种型号的健身器材30套；
(2)A种型号的健身器材至少要购买34套。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，实际问题整数解
【点评】
本题结合生活实际考查方程与不等式的应用，解题时要先明确题干中的等量关系和不等关系，构建对应的数学模型求解，同时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实要求，本题能很好地考查学生的数学建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
(1)本问可通过建立二元一次方程组求解，首先找到两个核心等量关系：①A、B两种型号健身器材的总套数为50套；②购买两种器材的总支出恰好为20000元。我们设A、B两种型号的健身器材购买数量分别为x套、y套，代入等量关系列出方程组，解方程组即可得到结果。
(2)本问可通过建立一元一次不等式求解，核心不等关系为购买两种器材的总支出不超过18000元。设A种型号健身器材购买m套，用总套数50减去m即可得到B种型号的套数，代入不等关系列出不等式求解，注意器材必须整套购买，因此m为正整数，最终取满足解集的最小正整数即可。
【解析】
(1)设购买A种型号的健身器材$x$套，B种型号的健身器材$y$套，
根据题意，得$\begin{cases}x+y=50,\\310x+460y=20000,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=20,\\y=30.\end{cases}$
(2)设购买A种型号的健身器材$m$套，
根据题意，得
$310m+460(50-m)≤18000$，
解得$m≥33\dfrac{1}{3}$。
$\because m$为整数，$\therefore m$的最小值为34。
【答案】
(1)购买A种型号的健身器材20套，B种型号的健身器材30套；
(2)A种型号的健身器材至少要购买34套。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，实际问题整数解
【点评】
本题结合生活实际考查方程与不等式的应用，解题时要先明确题干中的等量关系和不等关系，构建对应的数学模型求解，同时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实要求，本题能很好地考查学生的数学建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
24. 传统文化 “鸡兔同笼”问题 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：
(1)笼中鸡、兔各有多少只？
(2)若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只.问这笼鸡兔最多有多少只鸡？
(1)笼中鸡、兔各有多少只？
(2)若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只.问这笼鸡兔最多有多少只鸡？
答案
24.(1)设鸡有$x$只，兔有$(35-x)$只，
根据题意，得$2x+4(35-x)=94$，
解得$x=23$. 则$35-23=12$(只).
故鸡有23只，兔有12只.
(2)设鸡有$y$只，则兔有$(\dfrac{94-2y}{4})$只，
根据题意，得$\begin{cases}y+\dfrac{94-2y}{4}≥30,\\y+\dfrac{94-2y}{4}≤40,\end{cases}$
$\therefore13≤ y≤33$.
故这笼鸡兔最多有33只鸡.
根据题意，得$2x+4(35-x)=94$，
解得$x=23$. 则$35-23=12$(只).
故鸡有23只，兔有12只.
(2)设鸡有$y$只，则兔有$(\dfrac{94-2y}{4})$只，
根据题意，得$\begin{cases}y+\dfrac{94-2y}{4}≥30,\\y+\dfrac{94-2y}{4}≤40,\end{cases}$
$\therefore13≤ y≤33$.
故这笼鸡兔最多有33只鸡.
解析
【分析】
(1) 第一问是经典鸡兔同笼问题，已知总头数为35，说明鸡兔总数量为35只，我们可以设鸡的数量为x只，那么兔的数量就是(35-x)只。结合鸡有2只脚、兔有4只脚，总脚数为94，根据“鸡的总脚数+兔的总脚数=94”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到鸡兔的数量。
(2) 第二问已知总脚数不变，鸡兔总数量在30到40之间，要求鸡的最大数量。我们设鸡有y只，那么兔的总脚数为(94-2y)，因此兔的数量为$\frac{94-2y}{4}$只。根据总数量的范围列出一元一次不等式组，求解得到y的取值范围，结合鸡和兔的数量都为非负整数的实际要求，取y的最大整数值即可。
【解析】
(1) 设笼中鸡有$x$只，则兔有$(35-x)$只。
根据总脚数为94列方程：
$2x+4(35-x)=94$
展开得：$2x+140-4x=94$
移项合并同类项得：$-2x=-46$
解得：$x=23$
则兔的数量为$35-23=12$（只）。
(2) 设笼中鸡有$y$只，则兔的数量为$\dfrac{94-2y}{4}$只。
根据鸡兔总数量的范围列不等式组：
$\begin{cases}y+\dfrac{94-2y}{4}≥30\\y+\dfrac{94-2y}{4}≤40\end{cases}$
不等式两边同时乘4消去分母：
第一个不等式化简为$4y+94-2y≥120$，即$2y≥26$，解得$y≥13$；
第二个不等式化简为$4y+94-2y≤160$，即$2y≤66$，解得$y≤33$。
因此不等式组的解集为$13≤ y≤33$，y为正整数，故y的最大值为33。
【答案】
(1) 鸡有23只，兔有12只；
(2) 这笼鸡兔最多有33只鸡。
【知识点】
一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用；实际问题的整数解
【点评】
本题以传统数学名著中的经典问题为背景，既渗透了传统文化，又考查了方程和不等式在实际场景中的应用能力。解题的核心是找准题干中的等量关系和不等关系，建立对应的数学模型求解，第二问需要注意所求数量要符合实际意义，需取正整数解。
【难度系数】
0.75
(1) 第一问是经典鸡兔同笼问题，已知总头数为35，说明鸡兔总数量为35只，我们可以设鸡的数量为x只，那么兔的数量就是(35-x)只。结合鸡有2只脚、兔有4只脚，总脚数为94，根据“鸡的总脚数+兔的总脚数=94”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到鸡兔的数量。
(2) 第二问已知总脚数不变，鸡兔总数量在30到40之间，要求鸡的最大数量。我们设鸡有y只，那么兔的总脚数为(94-2y)，因此兔的数量为$\frac{94-2y}{4}$只。根据总数量的范围列出一元一次不等式组，求解得到y的取值范围，结合鸡和兔的数量都为非负整数的实际要求，取y的最大整数值即可。
【解析】
(1) 设笼中鸡有$x$只，则兔有$(35-x)$只。
根据总脚数为94列方程：
$2x+4(35-x)=94$
展开得：$2x+140-4x=94$
移项合并同类项得：$-2x=-46$
解得：$x=23$
则兔的数量为$35-23=12$（只）。
(2) 设笼中鸡有$y$只，则兔的数量为$\dfrac{94-2y}{4}$只。
根据鸡兔总数量的范围列不等式组：
$\begin{cases}y+\dfrac{94-2y}{4}≥30\\y+\dfrac{94-2y}{4}≤40\end{cases}$
不等式两边同时乘4消去分母：
第一个不等式化简为$4y+94-2y≥120$，即$2y≥26$，解得$y≥13$；
第二个不等式化简为$4y+94-2y≤160$，即$2y≤66$，解得$y≤33$。
因此不等式组的解集为$13≤ y≤33$，y为正整数，故y的最大值为33。
【答案】
(1) 鸡有23只，兔有12只；
(2) 这笼鸡兔最多有33只鸡。
【知识点】
一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用；实际问题的整数解
【点评】
本题以传统数学名著中的经典问题为背景，既渗透了传统文化，又考查了方程和不等式在实际场景中的应用能力。解题的核心是找准题干中的等量关系和不等关系，建立对应的数学模型求解，第二问需要注意所求数量要符合实际意义，需取正整数解。
【难度系数】
0.75
