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1. 定义:若某三角形的三边长$a,b,c$满足$ab+a^2=c^2$,则称该三角形为“类勾股三角形”.已知等腰三角形$ABC$是“类勾股三角形”,且$AC=BC$,$AB＞AC$,则$∠ A$的度数为 (
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
B
)A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
1. B
2. 对于给定的两个函数，任取自变量 $ x $ 的一个值，当 $ x＜0 $ 时，它们对应的函数值互为相反数；当 $ x≥0 $ 时，它们对应的函数值相等。我们称这样的两个函数互为相关函数。例如：一次函数 $ y = x - 1 $，它的相关函数为 $ y = \begin{cases}-x+1 & (x＜0), \\ x-1 & (x≥0).\end{cases}$ 已知一次函数 $ y=-2x+3 $，且点 $ B(t,-4) $ 在该函数的相关函数的图象上，则 $ t $ 的值为 ______ 。
答案
2. -0.5或3.5 解析:由题意,得一次函数$y=-2x+3$的相关函数的表达式为 $y=\begin{cases}2x-3(x＜0),\\-2x+3(x≥0).\end{cases}$ 因为点$B(t,-4)$在一次函数$y=-2x+3$的相关函数的图象上,所以分类讨论如下:当$t＜0$时,$2t-3=-4$,解得$t=-0.5$;当$t≥0$时,$-2t+3=-4$,解得$t=3.5$.综上,$t$的值为$-0.5$或$3.5$.
3. 如图①，D是$△ ABC$中边AB上任意一点（与A，B两点不重合），连接CD。若$CD=\frac{1}{2}AB$，则称CD是AB的“智慧线”。如图②，$BC=\sqrt{72}$，$AC=10$，$∠ B=45°$。若边AB上存在点D，使CD是AB的“智慧线”，则AD的长为
$8+\sqrt{13}$或$8-\sqrt{13}$
。答案
3. $8+\sqrt{13}$或$8-\sqrt{13}$ 解析:过点$C$作$CE⊥ AB$于点$E$,在$AB$上找一点$D$,连接$CD$,使$CD=\frac{1}{2}AB$,则$∠ CEB=∠ CEA=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ BCE$中,$∠ B=45°$, $BC=\sqrt{72}$, 所以$∠ ECB=∠ B=45°$. 所以$△ BCE$是等腰直角三角形. 设$CE=BE=x$, 所以$BE^2+CE^2=BC^2$, 即$x^2+x^2=(\sqrt{72})^2$, 解得$x=6$(负值已舍去). 所以$CE=BE=6$. 又$AC=10$, 所以$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=8$. 所以$AB=AE+BE=14$. 又$CD$是$AB$的“智慧线”, 所以$CD=\frac{1}{2}AB=7$. 所以$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{13}$. 当点$D$在$AE$上时,$AD=AE-DE=8-\sqrt{13}$;当点$D$在$BE$上时,$AD=AE+DE=8+\sqrt{13}$. 综上, $AD$的长为$8+\sqrt{13}$或$8-\sqrt{13}$.
4. (2026·江苏常州期末)在平面直角坐标系中,过不在坐标轴上的一点P作坐标轴的垂线.若点P与坐标轴围成长方形的周长是m,则点P称为“m一周长点”.如图,过点P(-1,2)分别作x轴、y轴的垂线,与坐标轴围成的长方形AOBP的周长是6,则点P是“6一周长点”.
【概念理解】
(1)点M(2,2)
【探索发现】
(2)若点P(x,y)在第一象限,且点P是“4一周长点”,求y关于x的函数表达式;
(3)若P₁,P₂两点是“4一周长点”(P₁,P₂两点不重合),且位于同一象限,Q₁,Q₂两点是“6一周长点”(Q₁,Q₂两点不重合),且位于同一象限,则直线P₁P₂与直线Q₁Q₂可能
①平行;②垂直;③是同一条直线;④相交但不垂直.
【综合应用】
(4)已知x轴上方的点P是“6一周长点”,且在一次函数y＝2x＋n的图象上,点A的坐标为(0,8).若△OAP的面积为8,求n的值.
【概念理解】
(1)点M(2,2)
是
“8一周长点”,点N$(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$不是
“5一周长点”(填“是”或“不是”);【探索发现】
(2)若点P(x,y)在第一象限,且点P是“4一周长点”,求y关于x的函数表达式;
(3)若P₁,P₂两点是“4一周长点”(P₁,P₂两点不重合),且位于同一象限,Q₁,Q₂两点是“6一周长点”(Q₁,Q₂两点不重合),且位于同一象限,则直线P₁P₂与直线Q₁Q₂可能
①②
(填序号);①平行;②垂直;③是同一条直线;④相交但不垂直.
【综合应用】
(4)已知x轴上方的点P是“6一周长点”,且在一次函数y＝2x＋n的图象上,点A的坐标为(0,8).若△OAP的面积为8,求n的值.
答案
4. (1) 是 不是 解析:因为$(2+2)×2=8$,所以点$M(2,2)$是“8-周长点”. 因为$(\frac{1}{2}+\frac{5}{2})×2=6$, 所以点$N(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$不是“5-周长点”.
(2) 由题意,得$2(x+y)=4$, 所以$x+y=2$. 则$y$关于$x$的函数表达式为$y=-x+2(0＜x＜2)$.
(3) ①② 解析:设$P_1(x,y)$, 则$2(|x|+|y|)=4$, 即$|x|+|y|=2$. 当$x＞0,y＞0$时,$y=-x+2$; 当$x＞0,y＜0$时,$y=x-2$; 当$x＜0,y＞0$时,$y=x+2$; 当$x＜0,y＜0$时,$y=-x-2$. 故点$P_1$在这四条线段上运动. 因为$P_1,P_2$两点位于同一象限, 所以直线$P_1P_2$的函数表达式为$y=-x+2$或$y=x-2$或$y=x+2$或$y=-x-2$. 同理,得直线$Q_1Q_2$的函数表达式为$y=-x+3$或$y=x-3$或$y=x+3$或$y=-x-3$, 所以直线$P_1P_2$与直线$Q_1Q_2$可能平行或垂直.
(4) 设$P(m,2m+n)$. 因为$A(0,8)$,$S_{△ OAP}=8$, 所以$\frac{1}{2}×8×|m|=8$, 解得$m=\pm2$. 因为点$P$是“6-周长点”, 所以分类讨论如下:① 当$m=2$时,$P(2,n+4)$, 则$2(2+|n+4|)=6$, 解得$n=-3$($n=-5$不符合题意,舍去);② 当$m=-2$时,$P(-2,n-4)$, 则$2(2+|n-4|)=6$, 解得$n=5$($n=3$不符合题意,舍去). 综上,$n$的值为$-3$或$5$.
(2) 由题意,得$2(x+y)=4$, 所以$x+y=2$. 则$y$关于$x$的函数表达式为$y=-x+2(0＜x＜2)$.
(3) ①② 解析:设$P_1(x,y)$, 则$2(|x|+|y|)=4$, 即$|x|+|y|=2$. 当$x＞0,y＞0$时,$y=-x+2$; 当$x＞0,y＜0$时,$y=x-2$; 当$x＜0,y＞0$时,$y=x+2$; 当$x＜0,y＜0$时,$y=-x-2$. 故点$P_1$在这四条线段上运动. 因为$P_1,P_2$两点位于同一象限, 所以直线$P_1P_2$的函数表达式为$y=-x+2$或$y=x-2$或$y=x+2$或$y=-x-2$. 同理,得直线$Q_1Q_2$的函数表达式为$y=-x+3$或$y=x-3$或$y=x+3$或$y=-x-3$, 所以直线$P_1P_2$与直线$Q_1Q_2$可能平行或垂直.
(4) 设$P(m,2m+n)$. 因为$A(0,8)$,$S_{△ OAP}=8$, 所以$\frac{1}{2}×8×|m|=8$, 解得$m=\pm2$. 因为点$P$是“6-周长点”, 所以分类讨论如下:① 当$m=2$时,$P(2,n+4)$, 则$2(2+|n+4|)=6$, 解得$n=-3$($n=-5$不符合题意,舍去);② 当$m=-2$时,$P(-2,n-4)$, 则$2(2+|n-4|)=6$, 解得$n=5$($n=3$不符合题意,舍去). 综上,$n$的值为$-3$或$5$.
