1. 一般地，若$x^n=a$，则$x$叫作$a$的$n$次方根，其中$n＞1$，且$n$是正整数.例如：因为$(±3)^4=81$，所以$±3$叫作81的四次方根，记作$±\sqrt[4]{81}=±3$；因为$(-2)^5=-32$，所以$-2$叫作$-32$的五次方根，记作$\sqrt[5]{-32}=-2$.下列说法不正确的是（）

A.负数$a$没有偶数次方根
B.任何有理数$a$都有奇数次方根
C.$\sqrt[2025]{a^{2025}}=a$
D.$\sqrt[2026]{a^{2026}}=a$

1. D

2.（2025·江苏徐州一模）规定：在平面直角坐标系中，一个点做“0”变换表示将它向右平移1个单位长度，一个点做“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转$90°$.由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换.例如：如图，点$O(0,0)$按序列“011…”做变换，表示点$O$先向右平移1个单位长度得到点$O_1(1,0)$，再将点$O_1(1,0)$绕原点顺时针旋转$90°$得到点$O_2(0,-1)$，再将点$O_2(0,-1)$绕原点顺时针旋转$90°$得到点$O_3(-1,0)$……以此类推，则点$(0,1)$经过“011011011”变换后得到点的坐标为.

2. (-1, -1) 解析: 由题意, 得点(0,1)经过“011011011”变换后每次得到的点的坐标依次为(1,1),(1,-1),(-1,-1),(0,-1),(-1,0),(0,1),(1,1),(1,-1),(-1,-1).所以变换后得到点的坐标为(-1,-1).

3. 如图，将$△ ABC$沿$∠ BAC$的平分线$AB_1$折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿$∠ B_1A_1C$的平分线$A_1B_2$折叠，剪掉重叠部分……将余下部分沿$∠ B_{n-1}A_{n-1}C$的平分线$A_{n-1}B_n$折叠，直至点$B_{n-1}$与点$C$重合，此时$∠ BAC$就是$△ ABC$的“好角”。若经过$n$次折叠后发现$∠ BAC$是$△ ABC$的“好角”，则$∠ B$与$∠ C$（$∠ B＞∠ C$）之间的数量关系为。

3. ∠B = n ∠C 解析: 由题意, 得△ABB₁ ≌ △AA₁B₁. 所以∠B = ∠AA₁B₁. 又∠AA₁B₁ = ∠A₁B₁B₂+∠C,所以∠B=∠A₁B₁B₂+∠C.同理,得∠A₁B₁B₂ = ∠A₁A₂B₂ = ∠A₂B₂B₃ + ∠C, ∠A₂B₂B₃ = ∠A₂A₃B₃ = ∠A₃B₃B₄ + ∠C……因为经过n次折叠后发现∠BAC是△ABC的“好角”, 所以$∠A_{n-1}B_{n-1}B_n=∠C,$即∠B=n∠C.

4. (2026·江苏扬州期末)阅读下面的材料,并解决问题.
(1) 如图①,等边三角形ABC内有一点P.若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,求∠APB的度数.
为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处,此时△ACP'≌△ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中,从而求出∠APB=;
(2)【基本运用】请你利用(1)中的思想方法解答下面的问题.
如图②,在△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E,F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF²=BE²+CF²;
(3)【能力提升】如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,O为△ABC内一点,连接AO,BO,CO,且∠AOC=∠BOC=∠AOB=120°,求AO+BO+CO的值.

4. (1) 150° 解析: 因为△ACP'≌△ABP,所以AP'=AP=3,CP'=BP=4,∠AP'C = ∠APB. 因为△ABC为等边三角形,所以∠PAP' = ∠BAC = 60°.所以△APP'为等边三角形.所以PP'=AP=3, ∠AP'P = 60°. 因为CP=5,所以PP'² + CP'² = CP².所以△PP'C为直角三角形,且∠PP'C=90°. 所以∠APB=∠AP'C=∠AP'P+∠PP'C=150°.
(2) 因为∠CAB = 90°, AB = AC, 所以∠B = ∠ACB=1/2(180°−∠CAB)=45°. 如图①,将△ABE绕顶点A旋转到△ACE'处,连接E'F,此时△ACE' ≌ △ABE, 则 AE' = AE, CE' = BE, ∠ACE' = ∠B = 45°, ∠CAE' = ∠BAE. 因为∠EAF = 45°, 所以∠BAE + ∠CAF = ∠CAB − ∠EAF = 45°. 所以∠CAE' + ∠CAF = 45°, 即∠E'AF=45°. 所以∠E'AF = ∠EAF. 又 AF=AF, 所以△E'AF ≌ △EAF(SAS). 所以E'F = EF. 因为∠E'CF = ∠ACB + ∠ACE' = 90°, 所以E'F² = CE'² + CF²,即EF²=BE²+CF².

(3) 因为∠ACB = 90°, AC = 1, ∠ABC = 30°, 所以AB=2AC=2. 所以BC=√(AB²−AC²)=√3. 如图②,将△AOB绕顶点B按顺时针方向旋转60°到△A'O'B处,连接OO',此时△A'O'B ≌ △AOB,则∠A'O'B=∠AOB=120°,A'B=AB=2,A'O'=AO, BO' = BO, ∠A'BA = ∠O'BO = 60°. 所以△BO'O为等边三角形.所以OO' = BO, ∠BOO' = ∠BO'O = 60°. 所以∠BO'O + ∠A'O'B = 180°. 又∠BOC=120°, 所以∠BOC + ∠BOO' = 180°. 所以C,O,O',A'四点共线. 因为∠A'BC = ∠A'BA + ∠ABC = 90°, 所以A'C=√(A'B² + BC²)=√7. 所以AO+BO+CO = A'O' + OO' + CO = A'C = √7.