1. (2026·江苏宿迁期末)如图，光点P从点(0，2)处发出，沿所示的方向运动，每当碰到长方形OABC的边界时反弹，反弹时反射角等于入射角(遵循光的反射原理)。当光点P第2026次碰到长方形OABC的边界时，光点P的坐标为 ()


A.(8,2)
B.(6,0)
C.(2,4)
D.(6,4)

1. B 解析:由题意,得光点P的坐标依次为(2,0),(6,4),(8,2),(6,0),(2,4),(0,2),(2,0)……按照(2,0),(6,4),(8,2),(6,0),(2,4),(0,2)每6个一组循环. 因为 2 026÷6=337……4,所以当光点P第2 026次碰到长方形OABC的边界时,光点P的坐标为(6,0).

2. (2026·江苏连云港期末)如图,在平面直角坐标系中有A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2)四点,动点P从点A出发,以每秒3个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形ABCD的边做环绕运动;同时另一动点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形CBAD的边做环绕运动,则P,Q两点第2026次相遇点的坐标是 ()

A.(-1,0)
B.(-1,-2)
C.(1,-2)
D.(1,0)

2. A 解析:因为A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2),所以AB=CD=2,BC=AD=3. 所以长方形ABCD的周长为(2+3)×2=10,AB+BC=5. 因为5÷(3+2)=1(s),所以经过1 s,P,Q两点第一次相遇. 因为10÷(3+2)=2(s),1+2×(2 026-1)=4 051(s),所以经过4 051 s,P,Q两点第2 026次相遇. 因为3×4 051÷10=1 215……3,所以P,Q两点第2 026次相遇时,点P运动了1 215圈还多3个单位长度. 所以P,Q两点第2 026次相遇点的坐标是(-1,0).

3. 亮点原创·如图,在平面直角坐标系中有直线$a:y=x$、直线$b:y=-\frac{1}{2}x$和点$P(1,0)$,过点$P$作$y$轴的平行线交直线$a$于点$P_1$,过点$P_1$作
$x$轴的平行线交直线$b$于点$P_2$,过点$P_2$作$y$轴的平行线交直线$a$于点$P_3$,过点$P_3$作$x$轴的平行线交直线$b$于点$P_4······$按此作法进行下去,则点$P_{2026}$的横坐标为.

3. $-2^{1013}$ 解析:因为P(1,0),$PP_1// y$轴,点$P_1$在直线$y=x$上,所以$P_1(1,1)$. 又$P_1P_2// x$轴,且点$P_2$在直线$y=-\frac{1}{2}x$上,所以$P_2(-2,1)$. 又$P_2P_3// y$轴,且点$P_3$在直线$y=x$上,所以$P_3(-2,-2)$. 同理,得$P_4(4,-2),P_5(4,4),P_6(-8,4),P_7(-8,-8),P_8(16,-8),P_9(16,16)$……所以点$P_{4n+2}$(n 为自然数)的坐标为$(-2^{2n+1},2^{2n})$. 令$4n+2=2 026$,得$n=506$,所以点$P_{2026}$的横坐标为$-2^{2×506+1}$,即$-2^{1013}$.

4. 已知 $ S_1 = \sqrt{1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} $，$ S_2 = \sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} $，$ S_3 = \sqrt{1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2}} $，…，$ S_n = \sqrt{1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}} $。计算前三个式子，观察结果，用你发现的规律计算 $ S_1 + S_2 + S_3 + \dots + S_{50} = $ 。

4. $50 \frac{50}{51}$ 解析:由题意,得$S_1=\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1 \frac{1}{2}$,$S_2=\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1 \frac{1}{6}$,$S_3=\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1 \frac{1}{12}$……所以$S_n=\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n(n+1)}$. 所以$S_1+S_2+S_3+…+S_{50}=1 \frac{1}{2}+1 \frac{1}{6}+1 \frac{1}{12}+…+1 \frac{1}{50×51}=50+(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{50}-\frac{1}{51})=50 \frac{50}{51}$.

5. 如图,学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成,将护栏的图案放在平面直角坐标系中(单位长度为1 m),已知小正方形的边长为1 m,点$ A_1 $的坐标为(2,2),点$ A_2 $的坐标为(5,2).
(1) 点$ A_3 $的坐标为________,点$ A_n $的坐标为________(用含n的代数式表示);
(2) 若要建成2025 m长的护栏,则需要两种正方形各多少个?

5. (1) (8,2) (3n−1,2)
(2) 由题意,得建成3 m长的护栏,需要两种正方形各1个. 因为2 025÷3=675,所以需要小正方形675个,大正方形675个.