1. 如图,在$△ ABC$中,$AB$边上的动点$D$由点$A$向点$B$运动(与点$A,B$不重合),点$E$与点$D$同时出发,由点$C$沿$BC$的延长线方向运动(点$E$不与点$C$重合),连接$DE$交$AC$于点$F$,点$H$是线段$AF$上一点.若$△ ABC$是等边三角形,$DH ⊥ AC$,且点$D,E$的运动速度相等,求证:$HF=AH+CF$.

1. 过点 D 作 DG//BC,交 AC 于点 G,如图所示,则∠ADG=∠B,∠AGD=∠ACB.
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠A=∠B=∠ACB=60°,
∴ ∠ADG=∠AGD=∠A,
∴ △ADG是等边三角形,
∴ GD=AD=AG.
∵ 点D,E的运动速度相等,
∴ AD = CE,
∴ GD=CE.
∵ DH⊥AC,
∴ GH=AH.
∵ DG//BC,
∴ ∠GDF=∠CEF,∠DGF=∠ECF.在△GDF和△CEF中,$\begin{cases} ∠GDF=∠CEF, \\ GD=CE, \\ ∠DGF=∠ECF, \end{cases}$
∴ △GDF≌△CEF(ASA),
∴ GF=CF,
∴ HF=GH+GF=AH+CF,即 HF=AH+CF.

2. |分类讨论思想 如图，$△ ABC$的两条高$AD$与$BE$交于点$O$，$AD=BD$，$AC=6$.
(1)若$∠ DBO=23°$，则$∠ DAC=$______；
(2)求$BO$的长；
(3)点$F$是射线$BC$上一点，且$CF=AO$，动点$P$从点$O$出发，沿线段$OB$以每秒1个单位长度的速度向终点$B$运动，同时动点$Q$从点$A$出发，沿射线$AC$以每秒5个单位长度的速度运动，当点$P$到达点$B$时，$P,Q$两点同时停止运动，设运动时间为$t$(秒)，当$△ AOP$与$△ FCQ$全等时，直接写出$t$的值.

(1)23° 解析:
∵ △ABC 的两条高 AD 与 BE 交于点 O,
∴ ∠BDO=∠ADC=∠AEB = 90°,
∴ ∠DAC + ∠AOE = 90°,∠DBO + ∠BOD = 90°. 又
∵ ∠AOE = ∠BOD,
∴ ∠DAC = ∠DBO = 23°.
(2) 在 △ADC 和 △BDO 中, $\begin{cases} ∠DAC=∠DBO, \\ AD=BD, \\ ∠ADC=∠BDO, \end{cases}$
∴ △ADC ≌ △BDO(ASA),
∴ BO = AC = 6.
(3)1.5 或 1. 解析:
∵ ∠AOP=90°+∠DAC, ∠ACM=∠BCN= 90°+∠DAC,
∴ ∠AOP = ∠ACM = ∠BCN,根据题意,得 OP = t,AQ = 5t,
∵ F 是射线 BC 上一点,且 CF = AO,
∴ 有以下两种情况:
①当点 F 在线段 BC 上时,
∵ ∠AOP = ∠BCN,
∴ 当△AOP 与△FCQ 全等时,点 Q 在 AC 的延长线上,此时 OP = CQ,
∵ AC=6,AQ=5t,
∴ CQ=5t-6,
∴ t=5t-6,解得 t=1.5;
②当点 F 在 BC 的延长线上时,
∵ ∠AOP=∠ACM,
∴ 当△AOP与△FCQ 全等时,点 Q 在线段 AC 上,此时 OP=CQ.
∵ AC=6,AQ=5t,
∴ CQ=6-5t,
∴ t=6-5t,解得 t=1.
综上所述,当△AOP 与△FCQ 全等时,t 的值为 1.5 或 1.