1. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，直线$l$经过点$A$，且与$BC$平行.仅用圆规完成下列画图.（保留画图痕迹，不写作法）
（1）如图①，在直线$l$上画出一点$P$，使得$∠ APC=∠ ACB$；
（2）如图②，在直线$l$上画出所有的点$Q$，使得$∠ AQC=\dfrac{1}{2}∠ ACB$.

1. (1)如图①,点 P 即为所求.
(2)如图②,点 $Q_1,Q_2$ 即为所求.

2. (2025·盐城期中)如图,在$△ ABC$中,$∠ B=30°$,$∠ C=20°$,请用尺规作图,将$△ ABC$分成三个等腰三角形.(不写作法,保留作图痕迹)

2. 如图,$△ ABD,△ ADE,△ CDE$ 均为等腰三角形.
解析: 在 AB 下方作 $∠ BAD = ∠ B = 30°$, 在 DC 上方边作 $∠ CDE=∠ C=20°$,交 AC 于点 E.

3. (1)如图①,已知$△ ABC$,请用圆规和直尺在$BC$上找一点$D$,使$△ ABC$沿直线$AD$折叠,点$C$落在边$AB$上;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)如图②,已知$△ ABC$,请用圆规和直尺在$BC$上找一点$D$,使$△ ABC$沿过点$D$的某一条直线折叠,点$C$落在边$AB$上的$E$处,且$DE ⊥ AB$.(不写作法,保留作图痕迹)

3. (1)如图①,点 D 即为所求.
(2)如图②,点 D 即为所求.

4. (2025·南京月考)尺规作图:
(1)已知点 P 是$∠ AOB$的内部一点,过点 P 用直尺和圆规作直线 CD,直线 CD 分别交 OA,OB 于点 C,D,使$OC=OD$,写出必要的文字说明(两种方法);
(2)已知点 P 是$∠ AOB$的内部一点,用直尺和圆规作直线 CD,直线 CD 分别交 OA,OB 于点 C,D,使得$△ PCD$为等边三角形.

4. (1)方法 1:作$∠ AOB$的平分线,再过点 P 作角平分线的垂线即可,如图①;方法 2:先作等腰三角形 OMN,再连接 PM,利用同位角相等,两直线平行,过点 P 作$CD// MN$即可,如图②.
(2)答案不唯一,如:作$PE ⊥ OB$于点 E 后,分别以点 P,E 为圆心,PE 长为半径作圆弧,交于点 F,连接 PF,EF,易得$△ PEF$是等边三角形,再过点 F 作 PF 的垂线,交射线 OA 于点 C,连接 PC,以点 P 为圆心,PC 长为半径作圆弧,交射线 OB 于点 D,连接 PD,CD,$△ PCD$即为等边三角形.