1. （2025·南京月考）如图，已知$△ ABC$中，$I$是角平分线交点，$△ ABI$的面积为$S_1$，$△ ACI$的面积为$S_2$，$△ BCI$的面积为$S_3$，且$S_3=8$，则$S_1+S_2$的值可能是（）

A.3
B.6
C.8
D.10

1.D

2. ★★★（2025·盐城期中）如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$和$∠ ACB$的外角平分线$BP$，$CP$交于点$P$，$PE ⊥ AC$于点$E$，若$S_{△ BPC}=7$，$PE=4$，$S_{△ ABC}=10$，则$△ ABC$的周长为（）

A.9
B.10
C.11
D.12

2.D 解析:如图,连接AP,过点P作PF⊥BC于点F,作PG⊥AB,交AB的延长线于点G,
∵ ∠ABC 和∠ACB 的外角平分线BP,CP交于点P,PE⊥AC,PF⊥BC,PG⊥AB,
∴ PG=PF=PE=4.
∵ $S_{△ BPC} = 7$,
∴ $\frac{1}{2} BC × 4 = 7$, 解得 $BC = \frac{7}{2}.\because S_{△ ABC} = S_{△ ABP}+S_{△ ACP} - S_{△ BCP} = 10$,
∴ $\frac{1}{2} AB × 4 + \frac{1}{2} AC × 4 -7 = 10$,
∴ $AB+AC=\frac{17}{2}$,
∴ $△ABC$ 的周长 = $AB+AC+BC =\frac{17}{2}+\frac{7}{2}=12$.故选D.

3. 如图,在$△ ABC$中,$E$为$AC$的中点,$AD$平分$∠ BAC$,$BA:CA=3:4$,$AD$与$BE$相交于点$O$,若$△ OAE$的面积比$△ BOD$的面积大$1$,求$△ ADC$的面积.

3. 如图,作$DM ⊥ AC$于M,$DN ⊥ AB$于N.$\because AD$平分$∠ BAC$,
$\therefore DM=DN$, $\therefore S_{△ ABD}: S_{△ ADC} = BD: DC = ( \frac{1}{2} AB · DN ): ( \frac{1}{2} AC · DM ) = BA: CA = 3: 4$.设$△ABC$ 的面积为 $a$,则$S_{△ ADC} = \frac{4}{7} a$.$\because E$ 为 $AC$ 的中点, $\therefore S_{△ BEC} = \frac{1}{2} S_{△ ABC} = \frac{1}{2} a$.
$\because △OAE$ 的面积比 $△BOD$ 的面积大 1, $\therefore △ADC$ 的面积比$△BEC$ 的面积大 1, $\therefore \frac{4}{7}a-\frac{1}{2}a = 1$, $\therefore a=14$, $\therefore S_{△ ADC} = \frac{4}{7} × 14 = 8$.