1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=60°$,$AD$,$CE$分别是$∠ BAC$,$∠ BCA$的平分线,$AD$,$CE$相交于点$F$.
(1)求证:$∠ BEC=∠ ADC$;
(2)请你判断$FE$与$FD$之间的数量关系,并进行证明.

1. (1)
∵ CE 平分∠BCA,AD 平分∠BAC,
∴ ∠ADC = ∠B + ∠BAD = 60° + 1/2 ∠BAC, ∠BEC = ∠BAC + ∠ACE = ∠BAC + 1/2 ∠BCA = ∠BAC + 1/2 (180° - 60° - ∠BAC) = ∠BAC + 60° - 1/2 ∠BAC = 60° + 1/2 ∠BAC,
∴ ∠BEC = ∠ADC.
(2)FE = FD. 证明如下: 如图,过点 F 作 FG⊥AB 交 AB 于 G,作 FH⊥BC 交 BC 于 H,作 FK⊥AC 交 AC 于 K.
∵ AD,CE 分别是∠BAC,∠BCA 的平分线,
∴ FG = FK = FH. 在四边形 BGFH 中, ∠GFH = 360° - 60° - 90°×2 = 120°.
∵ AD,CE 分别是∠BAC,∠BCA 的平分线,∠B = 60°,
∴ ∠FAC + ∠FCA = 1/2 ×(180° - 60°) = 60°, 在△AFC 中, ∠AFC = 180° - (∠FAC + ∠FCA) = 180° - 60° = 120°,
∴ ∠EFD = ∠AFC = 120°,
∴ ∠GFH = ∠EFD,
∴ ∠EFG = ∠DFH. 在△EFG 和 △DFH 中,
$\begin{cases} ∠EFG=∠DFH,\\ FG=FH,\\ ∠EGF=∠DHF=90°, \end{cases}$
∴ △EFG≌△DFH(ASA),
∴ FE = FD.

2. 如图,在∠EAF的平分线上取点B,作BC⊥AF于点C,在直线AC上取一动点P,在直线AE上取点Q使得BQ=BP.
(1)如图①,当点P在线段AC上时,∠BQA+∠BPA=°;
(2)如图②,当点P在CA延长线上时,探究AQ,AP,AC三条线段之间的数量关系,说明理由;
(3)在满足(1)的结论条件下,当点P在射线AC上运动时,直接写出AQ,AP,PC三条线段之间的数量关系为.

2. (1)180 解析:作 BM ⊥ AE 于点 M,
∵ AB 平分∠EAF,BC⊥AF,
∴ BM = BC. 在 Rt△BMQ 和 Rt△BCP 中, $\begin{cases} BQ=BP,\\ BM=BC, \end{cases}$
∴ Rt△BMQ≌Rt△BCP(HL),
∴ ∠BQA = ∠BPC. 又
∵ ∠BPC+∠BPA = 180°,
∴ ∠BQA+∠BPA = 180°.
(2)AQ-AP=2AC,理由如下:作 BM ⊥ AE 于点 M,
∵ AB 平分∠EAF,BC⊥AF,
∴ BM = BC,∠BMA = ∠BCA = 90°.在Rt△ABM和Rt△ABC 中, $\begin{cases} BM=BC,\\ AB=AB, \end{cases}$
∴ Rt△ABM ≌ Rt△ABC (HL),
∴ ∠ABM = ∠ABC, AM = AC. 在 Rt△BMQ 和 Rt△BCP 中,
$\begin{cases} BQ=BP,\\ BM=BC, \end{cases}$
∴ Rt△BMQ ≌ Rt△BCP (HL),
∴ PC = QM,
∴ AQ-AP=(AM+QM)-(PC-AC)=AM+AC=2AC.
(3)AQ-AP=2PC 或 AP-AQ=2PC 解析:当点 P 在线段 AC 上时,如图①,作 BM ⊥ AE 于点 M.
∵ BC⊥AF,
∴ ∠BMA = ∠BCA = 90°.
∵ ∠BQA+∠BPA = 180°, ∠BPC+∠BPA = 180°,
∴ ∠BPC=∠BQM.在△QBM 和△PBC 中, $\begin{cases} ∠BMQ=∠BCP,\\ ∠BQM=∠BPC,\\ QB=PB, \end{cases}$
∴ △QBM≌△PBC(AAS),
∴ QM = PC, BM = BC. 在Rt△ABM和Rt△ABC 中, $\begin{cases} BM=BC,\\ AB=AB, \end{cases}$
∴ Rt△ABM≌Rt△ABC(HL),
∴ AM=AC,
∴ AQ-AP=AM+QM-(AC-PC)=QM+PC=2PC;

当点 P 在线段 AC 的延长线上时,如图②,作 BM ⊥ AE 于点 M.
∵ BC⊥AF,
∴ ∠BMA = ∠BCA = 90°.
∵ ∠BQA+∠BPA = 180°,∠BQM+∠BQA = 180°,
∴ ∠BPC = ∠BQM.在△QBM 和△PBC 中,
$\begin{cases} ∠BMQ=∠BCP,\\ ∠BQM=∠BPC,\\ QB=PB, \end{cases}$
∴ △QBM≌△PBC(AAS),
∴ QM = PC,
BM=BC.在Rt△ABM和Rt△ABC 中, $\begin{cases} BM=BC,\\ AB=AB, \end{cases}$
∴ Rt△ABM≌Rt△ABC(HL),
∴ AM=AC,
∴ AP-AQ=AC+CP-(AM-QM)=MQ+PC=2PC.
综上,AQ,AP,PC三条线段之间的数量关系为AQ-AP=2PC或AP-AQ=2PC.