1. （2025·无锡月考）如图，$△ ABC$中，$BC$边的垂直平分线$ED$交$BC$于点$E$，交$BA$延长线于点$D$，过点$C$作$CF ⊥ BD$于点$F$，交$DE$于点$G$，$DF=\dfrac{1}{2}BC$，求证：$∠ FCB=\dfrac{1}{2}∠ B$。

1. 如图，连接BG，
∵ ED垂直平分BC，
∴ $BE=CE=\frac{1}{2}BC$，$BG=GC$，$∠GEB = ∠GEC = 90°$。在$△GEB$ 和 $△GEC$ 中，
$\begin{cases} BE=CE,\\ ∠GEB=∠GEC,\\ GE=GE, \end{cases}$
∴ $△GEB≌△GEC(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠FCB=∠GBE$。
∵ $DE⊥BC$，$CF⊥BD$，
∴ $∠DFG=∠CEG=90°$。
∵ $CE=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}BC$，
∴ $DF = CE$。在 $△DFG$ 和 $△CEG$ 中，
$\begin{cases} ∠FGD=∠EGC,\\ ∠DFG=∠CEG,\\ DF=CE, \end{cases}$
∴ $△DFG≌△CEG(\mathrm{AAS})$，
∴ $GF=GE$。
∴ 点G在$∠DBC$的平分线上，
∴ $∠FBG=∠EBG$。
∵ $∠FCB=∠GBE$，
∴ $∠FCB=\frac{1}{2}∠ABC$。

2. (2025·南京月考)如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠CAB=∠ABC=45°,D为BC边上的中点,CE⊥AD于点E,BF//AC交CE的延长线于点F,连接DF,求证:AB垂直平分DF.

2. 如图，设DF交AB于点G，
∵ $∠BCE+∠ACE=90°$，$∠ACE+∠CAE=90°$，
∴ $∠BCE=∠CAE$。又
∵ $AC⊥BC$，$BF// AC$，
∴ $BF⊥BC$，
∴ $∠ACD=∠CBF=90°$。
∵ $AC=CB$，
∴ $△ACD≌△CBF(\mathrm{ASA})$，
∴ $CD=BF$。
∵ $CD=BD=\frac{1}{2}BC$，
∴ $BF=BD$。
∴ $△BFD$为等腰直角三角形，
∴ $∠BDF=∠BFD=45°$。
∵ $∠FBD=90°$，$∠ABC=45°$，
∴ $∠ABF=45°$，
∴ $∠DGB=∠FGB=90°$，即 $DF⊥AB$。
∴ $△BDG$、$△BFG$ 为等腰直角三角形，
∴ $DG=GF=BG$。
∵ $DG=GF$，$DF⊥AB$，
∴ AB垂直平分DF。

3. （2025·徐州期中）如图，点 C 是线段 AB 外一点.借助无刻度直尺和圆规，判断点 C 是否在线段 AB 的垂直平分线上.（要求：用两种方法判断；保留作图痕迹，不写作法）

3. 如图①，以C点为圆心，CA长为半径画圆弧，圆弧经过点B即可判断点C在线段AB的垂直平分线上。如图②，作线段AB的垂直平分线，经过点C，即可判定点C在线段AB的垂直平分线上。

4. 如图，AE是∠CAM的平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的垂直平分线，交AE于点E，过点E作AM的垂线交AM于点F.若∠ACB=28°，∠EBD=25°，则∠AED=°.

4. 37 解析：如图，连接CE，过点E作$ER⊥AC$于点R，设CD与ER交点为Q，AE与BC交点为O。
∵ DE是线段BC的垂直平分线，
∴ $∠EDC=∠EDB=90°$，$CE=BE$。易证$△EDC≌△EDB$，
∴ $∠ECB=∠EBD$。
∵ $∠EBD=25°$，
∴ $∠ECB=25°$，
∴ $∠DEB=∠CED=90°-25°=65°$。
∵ $ER⊥AC$，$ED⊥BC$，
∴ $∠QRC=∠QDE=90°$，
∴ $∠ACB+∠CQR=90°$，$∠EQD+∠QED=90°$。
∵ $∠CQR=∠EQD$，
∴ $∠ACB=∠QED$。
∵ $∠ACB=28°$，
∴ $∠QED=28°$。
∵ AE平分$∠CAM$，$ER⊥AC$，$EF⊥AM$，
∴ $ER=EF$。在$\mathrm{Rt}△ERC$ 和 $\mathrm{Rt}△EFB$ 中，$\begin{cases} CE=BE,\\ ER=EF, \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ERC≌\mathrm{Rt}△EFB(\mathrm{HL})$，
∴ $∠EBF=∠ACE=∠ACB+∠ECD=28°+25°=53°$。
∵ $∠EFB=90°$，
∴ $∠BEF=90°-∠EBF=90°-53°=37°$，
∴ $∠REF=∠RED+∠BED+∠BEF=28°+65°+37°=130°$。
∵ $∠ARE=∠AFE=90°$，
∴ $∠CAM=360°-90°-90°-130°=50°$。
∵ AE平分$∠CAM$，
∴ $∠CAE=\frac{1}{2}∠CAM=25°$，
∴ $∠DOE=∠CAE+∠ACB=25°+28°=53°$。
∵ $ED⊥BC$，
∴ $∠EDB=90°$，
∴ $∠AED=90°-∠DOE=90°-53°=37°$。