登录
1. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠,是用代数思想解决几何问题最重要的工具,也是数形结合的纽带之一.如图,当秋千静止时,踏板$ B $离地的垂直高度$ BE = 0.5 \ \mathrm{m} $,将它往前推$ 3 \ \mathrm{m} $至$ C $处时(即水平距离$ CD = 3 \ \mathrm{m} $),踏板离地的垂直高度$ CF = 2.5 \ \mathrm{m} $,它的绳索始终拉直,则绳索$ AC $的长是 $\quad (\quad)$
A.$ 3.4 \ \mathrm{m} $
B.$ 3.25 \ \mathrm{m} $
C.$ 4 \ \mathrm{m} $
D.$ 5.5 \ \mathrm{m} $
＞＞ 对点专练 P94
A.$ 3.4 \ \mathrm{m} $
B.$ 3.25 \ \mathrm{m} $
C.$ 4 \ \mathrm{m} $
D.$ 5.5 \ \mathrm{m} $
＞＞ 对点专练 P94
答案
1. B
2. 如图,将一根长为22 cm 的筷子置于底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h 的取值范围是
$9≤ h≤ 10$
.答案
2. $9≤ h≤ 10$
3. 如图①是一台手机支架,图②是其侧面示意图,AB,DC可分别绕点A,B转动,当AB,DC转动到∠BAE=60°,∠ABC=45°时,点E在DC的延长线上,若AE=2,则AB=
$1+\sqrt{3}$
.答案
3. $1+\sqrt{3}$
4. (2025·镇江月考)如图,在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ ACB=90°,CD ⊥ AB$ 于点 $D$,设 $AC = b,BC = a,AB = c,CD = h$.
(1)求证:$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{h^2}$(又称反勾股定理);
(2)求证:$a+b ＜ c+h$;
(3)判断以 $a+b,h,c+h$ 为边构成的三角形的形状,并说明理由.
＞＞ 对点专练 P96
(1)求证:$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{h^2}$(又称反勾股定理);
(2)求证:$a+b ＜ c+h$;
(3)判断以 $a+b,h,c+h$ 为边构成的三角形的形状,并说明理由.
＞＞ 对点专练 P96
答案
(1)
∵ 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ACB = 90°, CD ⊥ AB, \therefore S_{△ ABC} =\frac{1}{2}AB · CD =\frac{1}{2}AC · BC, AB^2 = AC^2 + BC^2$, 即 $AB · CD = AC · BC$,
$\therefore AB^2 · CD^2 = AC^2 · BC^2, \therefore CD^2 = \frac{AC^2 · BC^2}{AB^2}. \because ( \frac{1}{a^2} + $$ \frac{1}{b^2}) · h^2 = \frac{CD^2}{BC^2} + \frac{CD^2}{AC^2} = \frac{\frac{AC^2 · BC^2}{AB^2}}{BC^2} + \frac{\frac{AC^2 · BC^2}{AB^2}}{AC^2} = \frac{AC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} =$$\frac{AC^2+BC^2}{AB^2}=\frac{AB^2}{AB^2}=1,\therefore \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}.$
(2)
∵ 在 $Rt△ABC$ 中, $∠ACB = 90°, CD ⊥ AB, \therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch, \therefore ab = ch. \because ∠ACB = 90°, \therefore a^2 + b^2 = c^2, \therefore (a + b)^2 = a^2+2ab + b^2 = c^2 + 2ch, (c+h)^2 = c^2 + 2ch + h^2. \because a,b,c,h$ 都是正数, $\therefore (a+b)^2＜(c+h)^2, \therefore a+b＜c+h.$
(3)以 $a+b,h,c+h$ 为边构成的三角形为直角三角形,理由如下:根据勾股定理得 $a^2 + b^2 = c^2$, 根据(2)可知 $ab = ch$. $\because (c+h)^2 = c^2 + 2ch + h^2, h^2 + (a+b)^2 = h^2 + a^2 + 2ab + b^2$. 又$\because c^2 + 2ch + h^2 = a^2 + b^2 + 2ab + h^2, \therefore (c+h)^2 = h^2 + (a+b)^2, \therefore$ 根据勾股定理的逆定理知道以 $a+b,h,c+h$ 为边构成的三角形是直角三角形.
∵ 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ACB = 90°, CD ⊥ AB, \therefore S_{△ ABC} =\frac{1}{2}AB · CD =\frac{1}{2}AC · BC, AB^2 = AC^2 + BC^2$, 即 $AB · CD = AC · BC$,
$\therefore AB^2 · CD^2 = AC^2 · BC^2, \therefore CD^2 = \frac{AC^2 · BC^2}{AB^2}. \because ( \frac{1}{a^2} + $$ \frac{1}{b^2}) · h^2 = \frac{CD^2}{BC^2} + \frac{CD^2}{AC^2} = \frac{\frac{AC^2 · BC^2}{AB^2}}{BC^2} + \frac{\frac{AC^2 · BC^2}{AB^2}}{AC^2} = \frac{AC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} =$$\frac{AC^2+BC^2}{AB^2}=\frac{AB^2}{AB^2}=1,\therefore \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}.$
(2)
∵ 在 $Rt△ABC$ 中, $∠ACB = 90°, CD ⊥ AB, \therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch, \therefore ab = ch. \because ∠ACB = 90°, \therefore a^2 + b^2 = c^2, \therefore (a + b)^2 = a^2+2ab + b^2 = c^2 + 2ch, (c+h)^2 = c^2 + 2ch + h^2. \because a,b,c,h$ 都是正数, $\therefore (a+b)^2＜(c+h)^2, \therefore a+b＜c+h.$
(3)以 $a+b,h,c+h$ 为边构成的三角形为直角三角形,理由如下:根据勾股定理得 $a^2 + b^2 = c^2$, 根据(2)可知 $ab = ch$. $\because (c+h)^2 = c^2 + 2ch + h^2, h^2 + (a+b)^2 = h^2 + a^2 + 2ab + b^2$. 又$\because c^2 + 2ch + h^2 = a^2 + b^2 + 2ab + h^2, \therefore (c+h)^2 = h^2 + (a+b)^2, \therefore$ 根据勾股定理的逆定理知道以 $a+b,h,c+h$ 为边构成的三角形是直角三角形.
