1. 如图,有一棱长为 3 dm 的正方体盒子,现要按图中箭头所指方向从点 A 到点 D 拉一条捆绑线绳,使线绳经过ABFE,BCGF,EFGH,CDHG四个面,则所需捆绑线绳的长至少为 dm.
＞＞ 对点专练 P108

1. $\sqrt{117}$

2. (2025·连云港期中)如图,门上钉子P处挂着一个“欢迎光临”的长方形挂牌ABCD,测得AB=5 dm,AD=12 dm(如图①),当挂牌水平悬挂(即BC与地面平行)时,测得挂绳AP=DP=10 dm,将该挂牌的挂绳长度缩短2 dm后重新挂上,此时不小心把挂牌弄斜了(如图②),发现AC与地面平行,且点P,D,C三点在同一直线上,则点B的高度下降了________dm.

2. $\frac{11}{13}$

3. （2025·青岛期中）(1)问题①:如图①,长方形ABCD中,$AB=CD,AD=BC,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°$,则AC与BD的数量关系是.
问题②:如图②,P是长方形ABCD内任意一点,通过构造直角三角形,利用勾股定理,你能发现$AP^{2}+CP^{2}$与$BP^{2}+DP^{2}$的数量关系为.
(2)探究:如图③,P是长方形ABCD外任意一点,上面问题②的结论是否依然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
(3)应用结论:如图④,在$△ ADC$中,$DA=5,CD=12$,B是$△ ADC$内一点,且$DB=3,∠ABC=90°$,则AC的最小值为.

＞＞ 对点专练 P96
＞＞ 根据诊断结果,请完成对应的练习

(1)问题①:$AC = BD$ 解析:$\because ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB=90°, \therefore AC^2 = AD^2 + DC^2, BD^2 = AD^2 + AB^2. \because AB = CD, \therefore AC^2 = BD^2, \therefore AC = BD.$
问题②:$AP^2 + CP^2 = BP^2 + DP^2$ 解析:如图①,过 P 作 $PM ⊥ AD$ 于 M,交 BC 于 N,
∵ 平行线间距离相等,
∴ AM=BN,AB=MN=DC,DM=CN,由勾股定理得 $AP^2 = AM^2 + PM^2, CP^2 = CN^2 + PN^2$, $BP^2 = BN^2 + PN^2, DP^2 = DM^2 + PM^2, \therefore AP^2 + CP^2 = AM^2 + PM^2 + CN^2 + PN^2, BP^2 + DP^2 = BN^2 + PN^2 + DM^2 + PM^2, \therefore AP^2 + CP^2 = BP^2 + DP^2.$
(2)成立,证明:如图②,过 P 作 $PM ⊥ AD$ 于 M,交 BC 于 N,
∵ 平行线间距离相等,
∴ AM=BN,AB=MN=DC,DM=CN,由勾股定理得 $AP^2 = AM^2 + PM^2, CP^2 = CN^2 + PN^2, BP^2 = BN^2 + PN^2$, $DP^2 = DM^2 + PM^2, \therefore AP^2 + CP^2 = AM^2 + PM^2 + CN^2 + PN^2, BP^2 + DP^2 = BN^2 + PN^2 + DM^2 + PM^2, \therefore AP^2 + CP^2 = BP^2 + DP^2.$
(3)$\sqrt{160}-3$ 解析:如图③,以 AB,BC 为边作长方形 ABCE,连接 BE,DE,由(1)中规律可得 AC=BE,由(2)得 $DB^2 + DE^2 = DA^2 + CD^2. \because DA=5, CD=12, DB=3, \therefore 3^2 + DE^2 = 5^2 + 12^2$, 解得 $DE=\sqrt{160}$,当 B,D,E 三点共线时,BE 最小,
∴ AC 的最小值=BE 的最小值=$DE-DB=\sqrt{160}-3.$