三、解答题(本大题共52分)
13. (12分)先化简,再求值:$(\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{8x}{x^2-4})÷\dfrac{x^2-2x}{x+2}$,其中$x=\sqrt{3}$.

13. 原式$=\dfrac{1}{x}$.当$x=\sqrt{3}$时,原式$=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题思路如下：1. 先处理括号内的分式减法，先将分母$x^2-4$利用平方差公式因式分解为$(x+2)(x-2)$，找到最简公分母进行通分，再合并分子；2. 将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数），同时对各个分式的分子、分母进行因式分解，方便后续约分；3. 约分化为最简分式后，将$x=\sqrt{3}$代入，最后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
首先对原式中各项因式分解：
原式$=[\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{8x}{(x+2)(x-2)}]÷\dfrac{x(x-2)}{x+2}$
第一步，计算括号内的减法，通分（最简公分母为$(x+2)(x-2)$）：
$=[\dfrac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)}-\dfrac{8x}{(x+2)(x-2)}]×\dfrac{x+2}{x(x-2)}$
第二步，合并括号内的分子，再因式分解：
$=\dfrac{x^2+4x+4-8x}{(x+2)(x-2)}×\dfrac{x+2}{x(x-2)}$
$=\dfrac{x^2-4x+4}{(x+2)(x-2)}×\dfrac{x+2}{x(x-2)}$
$=\dfrac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)}×\dfrac{x+2}{x(x-2)}$
第三步，约分计算：
$=\dfrac{1}{x}$
将$x=\sqrt{3}$代入化简结果，分母有理化得：
原式$=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{x}$，当$x=\sqrt{3}$时，值为$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
【知识点】
分式混合运算，因式分解，二次根式化简
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，重点考察运算的规范性，计算时要注意通分、约分的准确性，代值后需将结果化为最简形式，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.7

14. (12 分)解下列方程：
(1)$2x^2 - 3x - 2 = 0$；
(2)$(3x - 1)(x + 2) = 10x - 4$。

14. (1)$x_1=2,x_2=-\dfrac{1}{2}$ (2)$x_1=\dfrac{2}{3},x_2=1$

【分析】
求解一元二次方程需先根据方程形式选择合适的方法：
(1) 题是标准的一元二次方程一般式，可优先尝试十字相乘法因式分解，若无法分解再使用求根公式法求解；
(2) 题左边为乘积形式、右边不为0，需先将左侧展开，再移项合并同类项整理为一元二次方程的一般形式，再选取因式分解法或公式法求解。
【解析】
(1) 解方程 $2x^2 - 3x - 2 = 0$
用十字相乘法因式分解得：
$(2x + 1)(x - 2) = 0$
令每个因式等于0，得：
$2x + 1 = 0$ 或 $x - 2 = 0$
解得：$x_1=2$，$x_2=-\dfrac{1}{2}$
(2) 解方程 $(3x - 1)(x + 2) = 10x - 4$
先展开左边式子：
$3x^2 + 6x - x - 2 = 10x - 4$
移项，将所有项移到等号左侧并合并同类项：
$3x^2 + 5x - 2 - 10x + 4 = 0$
整理得：$3x^2 - 5x + 2 = 0$
用十字相乘法因式分解得：
$(3x - 2)(x - 1) = 0$
令每个因式等于0，得：
$3x - 2 = 0$ 或 $x - 1 = 0$
解得：$x_1=\dfrac{2}{3}$，$x_2=1$
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=-\dfrac{1}{2}$ (2)$x_1=\dfrac{2}{3},x_2=1$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解、整式的乘法运算
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，重点考察一元二次方程的常规求解思路，需注意第(2)题不能直接令两侧因式分别等于0求解，必须先整理为一般形式后再求解，熟练掌握因式分解法可有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.85

15. (12分)如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象与一次函数$y=-\frac{1}{2}x+1$的图象交于$A(-2,m)$,$B(n,-1)$两点.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)求$△ AOB$的面积.

15. (1)$\because$点$A(-2,m)$在一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+1$的图象上,
$\therefore m=-\dfrac{1}{2}×(-2)+1=2$,
$\therefore$点$A$的坐标为$(-2,2)$.
$\because$点$A(-2,2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠ 0)$的图象上,
$\therefore k=(-2)× 2=-4$,
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{4}{x}$.
(2)$\because$点$B(n,-1)$在反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象上,
$\therefore n=4$,
$\therefore$点$B$的坐标为$(4,-1)$.
设一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+1$的图象与$x$轴的交点为$C$.
当$y=0$时,$-\dfrac{1}{2}x+1=0$,解得$x=2$,
$\therefore$点$C$的坐标为$(2,0)$,
$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}× 2× 2+\dfrac{1}{2}× 2× 1=3$.

【分析】
（1）要确定反比例函数的表达式，核心是求系数$k$的值。已知反比例函数过点$A(-2,m)$，因此先将点$A$的横坐标代入一次函数解析式，求出纵坐标$m$，得到点$A$的完整坐标后，再代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$即可算出$k$，进而得到反比例函数表达式。
（2）计算$△ AOB$的面积时，由于$A$、$B$分别在第二、四象限，直接计算面积较为复杂，因此先找到一次函数与$x$轴的交点$C$，将$△ AOB$分割为$△ AOC$和$△ BOC$两个三角形，两个三角形共底$OC$，高分别为点$A$纵坐标的绝对值和点$B$纵坐标的绝对值，分别计算两个三角形的面积再相加，即可得到$△ AOB$的总面积。
【解析】
(1) $\because$点$A(-2,m)$在一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+1$的图象上，
$\therefore m=-\dfrac{1}{2}×(-2)+1=2$，
$\therefore$点$A$的坐标为$(-2,2)$。
$\because$点$A(-2,2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠ 0)$的图象上，
$\therefore k=(-2)× 2=-4$，
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{4}{x}$。
(2) $\because$点$B(n,-1)$在反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象上，
$\therefore n=4$，
$\therefore$点$B$的坐标为$(4,-1)$。
设一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+1$的图象与$x$轴的交点为$C$。
当$y=0$时，$-\dfrac{1}{2}x+1=0$，解得$x=2$，
$\therefore$点$C$的坐标为$(2,0)$，
$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}× 2× 2+\dfrac{1}{2}× 2× 1=3$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{4}{x}}$；
(2) $△ AOB$的面积为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 一次函数的性质
3. 坐标系中面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合常考题，难度适中，既考查了函数图象上点的坐标与函数解析式的对应关系，也考查了分割法求解坐标系内不规则图形面积的思路，解题关键是准确求出交点坐标，合理拆分图形简化计算。
【难度系数】
0.7

16. (16分)如图,抛物线$y=x^2+bx+6$经过$x$轴上两点$A,B$,点$B$的坐标为$(3,0)$,与$y$轴相交于点$C$.
(1)求抛物线的函数表达式式;
(2)连接$AC,BC$,求$△ ABC$的面积.

16. (1)把$B(3,0)$代入$y=x^2+bx+6$,
得$0=9+3b+6$,解得$b=-5$.
$\therefore$抛物线的函数表达式为$y=x^2-5x+6$.
(2)$\because$抛物线的函数表达式为$y=x^2-5x+6$,
令$y=0$,得$x^2-5x+6=0$,
解得$x_1=2,x_2=3$,
$\therefore A(2,0),B(3,0)$.
令$x=0$,$\therefore y=6$,$\therefore C(0,6)$,
$\therefore AB=1,OC=6$,
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· OC=\dfrac{1}{2}× 1× 6=3$.

【分析】
(1) 求抛物线的函数表达式时，已知解析式仅含未知参数b，且抛物线过点B(3,0)，因此可将点B的坐标代入解析式，得到关于b的一元一次方程，解方程求出b即可确定解析式。
(2) 求△ABC的面积，首先需要确定三个顶点的坐标：点B坐标已知，点A是抛物线与x轴的另一交点，令y=0解一元二次方程即可得到A点坐标；点C是抛物线与y轴的交点，令x=0即可得到C点坐标。由于AB在x轴上，△ABC的底为AB的长度，高为点C到x轴的距离（即OC的长度），代入三角形面积公式即可计算出结果。
【解析】
(1) 将点B(3,0)代入抛物线解析式$y=x^2+bx+6$，得：
$0=3^2+3b+6$，即$0=9+3b+6$，
解得$b=-5$，
因此抛物线的函数表达式为$y=x^2-5x+6$。
(2) 对于抛物线$y=x^2-5x+6$，
令$y=0$，可得方程$x^2-5x+6=0$，
因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=3$，
因此点A坐标为$(2,0)$，已知点B坐标为$(3,0)$，则$AB=3-2=1$。
令$x=0$，得$y=0^2-5×0+6=6$，因此点C坐标为$(0,6)$，则OC的长度为6。
根据三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× OC=\frac{1}{2}×1×6=3$。
【答案】
(1) $y=x^2-5x+6$；(2) $3$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数与坐标轴的交点；三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，侧重对基础知识点和常规解题方法的考查，解题逻辑清晰，掌握二次函数的基本性质、一元二次方程的解法以及坐标系中图形面积的计算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.85