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一、选择题(每小题4分,共24分)
1. 已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=\sqrt{5}$,$AC=1$,那么$\tan A$等于(
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$2$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
1. 已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=\sqrt{5}$,$AC=1$,那么$\tan A$等于(
B
).A.$\dfrac{1}{2}$
B.$2$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
答案
1.B
解析
【分析】
本题是直角三角形中求锐角正切值的问题，解题思路如下：第一步，已知直角三角形的斜边和一条直角边，可利用勾股定理先求出另一条直角边BC的长度；第二步，根据正切的定义，锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值，找到∠A的对边和邻边，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1^2}=\sqrt{5 - 1}=\sqrt{4}=2$
根据正切的定义，$\tan A$是$∠ A$的对边与邻边的比值，即$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}$
代入$BC=2$，$AC=1$，得$\tan A=\frac{2}{1}=2$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、正切的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查勾股定理和锐角正切定义的应用，解题时需注意区分锐角的对边和邻边，牢记相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
本题是直角三角形中求锐角正切值的问题，解题思路如下：第一步，已知直角三角形的斜边和一条直角边，可利用勾股定理先求出另一条直角边BC的长度；第二步，根据正切的定义，锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值，找到∠A的对边和邻边，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1^2}=\sqrt{5 - 1}=\sqrt{4}=2$
根据正切的定义，$\tan A$是$∠ A$的对边与邻边的比值，即$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}$
代入$BC=2$，$AC=1$，得$\tan A=\frac{2}{1}=2$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、正切的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查勾股定理和锐角正切定义的应用，解题时需注意区分锐角的对边和邻边，牢记相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
2. (雅安中考)若关于$x$的一元二次方程$x^2 + 6x + c = 0$配方后得到方程$(x + 3)^2 = 2c$，则$c$的值为(
A.$-3$
B.$0$
C.$3$
D.$9$
C
).A.$-3$
B.$0$
C.$3$
D.$9$
答案
2.C
解析
【分析】
解题可以从两个方向入手：①先对给定的一元二次方程按照配方法的步骤配方，再和题目给出的配方后方程对比，建立关于c的等式求解；②将题目给出的配方后方程展开整理为一般形式，和原方程的对应项系数相等，建立等式求解c。配方法的核心是给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式，按照这个规则操作即可。
【解析】
我们用配方法的思路求解：
1. 对原方程$x^2 + 6x + c = 0$移项，把常数项移到等号右侧，得：$x^2 + 6x = -c$
2. 给方程两边同时加一次项系数一半的平方：一次项系数为6，一半是3，平方为9，因此得：$x^2 + 6x + 9 = -c + 9$
3. 左边整理为完全平方式，得：$(x + 3)^2 = 9 - c$
4. 结合题目给出的配方结果$(x + 3)^2 = 2c$，可得等式：$9 - c = 2c$
5. 解上述一元一次方程：移项得$3c = 9$，解得$c = 3$
【答案】
C
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于配方法应用的基础题型，核心考查配方法的操作规则，只要熟练掌握配方时“等式两边同时加一次项系数一半的平方”的要点，即可快速建立等式求解，失分率较低。
【难度系数】
0.8
解题可以从两个方向入手：①先对给定的一元二次方程按照配方法的步骤配方，再和题目给出的配方后方程对比，建立关于c的等式求解；②将题目给出的配方后方程展开整理为一般形式，和原方程的对应项系数相等，建立等式求解c。配方法的核心是给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式，按照这个规则操作即可。
【解析】
我们用配方法的思路求解：
1. 对原方程$x^2 + 6x + c = 0$移项，把常数项移到等号右侧，得：$x^2 + 6x = -c$
2. 给方程两边同时加一次项系数一半的平方：一次项系数为6，一半是3，平方为9，因此得：$x^2 + 6x + 9 = -c + 9$
3. 左边整理为完全平方式，得：$(x + 3)^2 = 9 - c$
4. 结合题目给出的配方结果$(x + 3)^2 = 2c$，可得等式：$9 - c = 2c$
5. 解上述一元一次方程：移项得$3c = 9$，解得$c = 3$
【答案】
C
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于配方法应用的基础题型，核心考查配方法的操作规则，只要熟练掌握配方时“等式两边同时加一次项系数一半的平方”的要点，即可快速建立等式求解，失分率较低。
【难度系数】
0.8
3. 在$△ ABC ∽ △ DEF$，相似比为$2:3$，则$△ ABC$与$△ DEF$的面积比为（
A.$2:3$
B.$3:2$
C.$4:9$
D.$9:4$
C
）.A.$2:3$
B.$3:2$
C.$4:9$
D.$9:4$
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，解题思路如下：第一步先明确已知条件：△ABC与△DEF相似，且△ABC与△DEF的相似比为2:3；第二步回忆相似三角形的核心性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方；第三步注意相似比的前后对应关系，不要颠倒两个三角形的顺序，计算相似比的平方后即可得到面积比，对应选出正确选项即可。
【解析】
解：已知$△ ABC ∽ △ DEF$，相似比为$2:3$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
可得$△ ABC$与$△ DEF$的面积比为$(2:3)^2=4:9$，因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是牢记相似三角形面积比和相似比的对应关系，解题时需注意相似比的前后顺序，避免出现忘记平方、颠倒前后项的常见错误。
【难度系数】
0.8
本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，解题思路如下：第一步先明确已知条件：△ABC与△DEF相似，且△ABC与△DEF的相似比为2:3；第二步回忆相似三角形的核心性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方；第三步注意相似比的前后对应关系，不要颠倒两个三角形的顺序，计算相似比的平方后即可得到面积比，对应选出正确选项即可。
【解析】
解：已知$△ ABC ∽ △ DEF$，相似比为$2:3$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
可得$△ ABC$与$△ DEF$的面积比为$(2:3)^2=4:9$，因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是牢记相似三角形面积比和相似比的对应关系，解题时需注意相似比的前后顺序，避免出现忘记平方、颠倒前后项的常见错误。
【难度系数】
0.8
4. 已知二次函数$y=ax^2 - 2ax + c$的图象过点$(-1,0)$，则方程$ax^2 - 2ax + c = 0$的解为（
A.$x_1=-3,x_2=-1$
B.$x_1=3,x_2=1$
C.$x_1=3,x_2=-1$
D.$x_1=-3,x_2=1$
C
）.A.$x_1=-3,x_2=-1$
B.$x_1=3,x_2=1$
C.$x_1=3,x_2=-1$
D.$x_1=-3,x_2=1$
答案
4.C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以利用二次函数的性质和它与一元二次方程的关系来思考：首先先求出给定二次函数的对称轴，再结合二次函数图象关于对称轴对称的特点，根据已知的一个与x轴的交点坐标，求出另一个交点坐标，而一元二次方程$ax^2 - 2ax + c = 0$的解就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，由此即可得到方程的解。
【解析】
第一步：求二次函数的对称轴
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
本题中二次函数为$y=ax^2 - 2ax + c$，对应$b=-2a$，代入对称轴公式得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即抛物线的对称轴为直线$x=1$。
第二步：利用对称性求另一个与x轴的交点
已知二次函数图象过点$(-1,0)$，即抛物线与x轴的一个交点横坐标为$-1$。
因为抛物线关于对称轴对称，两个交点到对称轴的距离相等，设另一个交点横坐标为$x_2$，则：
$1 - (-1) = x_2 - 1$
计算得$x_2=3$。
第三步：确定方程的解
一元二次方程$ax^2 - 2ax + c = 0$的解就是二次函数$y=ax^2 - 2ax + c$图象与x轴交点的横坐标，因此方程的解为$x_1=-1$，$x_2=3$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数对称轴计算
2.二次函数的对称性
3.二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题重点考查二次函数的基本性质及其与对应一元二次方程的联系，利用抛物线的对称性求解无需代入点坐标计算解析式，能大幅简化运算过程，是二次函数章节的常见题型，需熟练掌握对称轴计算方法和对称性的应用。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以利用二次函数的性质和它与一元二次方程的关系来思考：首先先求出给定二次函数的对称轴，再结合二次函数图象关于对称轴对称的特点，根据已知的一个与x轴的交点坐标，求出另一个交点坐标，而一元二次方程$ax^2 - 2ax + c = 0$的解就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，由此即可得到方程的解。
【解析】
第一步：求二次函数的对称轴
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
本题中二次函数为$y=ax^2 - 2ax + c$，对应$b=-2a$，代入对称轴公式得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即抛物线的对称轴为直线$x=1$。
第二步：利用对称性求另一个与x轴的交点
已知二次函数图象过点$(-1,0)$，即抛物线与x轴的一个交点横坐标为$-1$。
因为抛物线关于对称轴对称，两个交点到对称轴的距离相等，设另一个交点横坐标为$x_2$，则：
$1 - (-1) = x_2 - 1$
计算得$x_2=3$。
第三步：确定方程的解
一元二次方程$ax^2 - 2ax + c = 0$的解就是二次函数$y=ax^2 - 2ax + c$图象与x轴交点的横坐标，因此方程的解为$x_1=-1$，$x_2=3$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数对称轴计算
2.二次函数的对称性
3.二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题重点考查二次函数的基本性质及其与对应一元二次方程的联系，利用抛物线的对称性求解无需代入点坐标计算解析式，能大幅简化运算过程，是二次函数章节的常见题型，需熟练掌握对称轴计算方法和对称性的应用。
【难度系数】
0.7
5. 如图,已知$\odot O$的半径是2,点$A,B,C$在$\odot O$上,若四边形$OABC$为菱形,则图中阴影部分的面积为(
A.$\dfrac{2}{3}π -2\sqrt{3}$
B.$\dfrac{2}{3}π -\sqrt{3}$
C.$\dfrac{4}{3}π -2\sqrt{3}$
D.$\dfrac{4}{3}π -\sqrt{3}$
C
).A.$\dfrac{2}{3}π -2\sqrt{3}$
B.$\dfrac{2}{3}π -\sqrt{3}$
C.$\dfrac{4}{3}π -2\sqrt{3}$
D.$\dfrac{4}{3}π -\sqrt{3}$
答案
5.C
解析
【分析】
要求图中阴影部分的面积，可采用割补法：两个阴影部分的面积和等于扇形OAC的面积减去菱形OABC的面积。首先结合菱形四边相等、圆的半径相等的性质，判断出△OAB、△OBC均为等边三角形，得出圆心角∠AOC的度数，再分别计算扇形面积和菱形面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
连接OB，
∵ 四边形OABC是菱形，⊙O半径为2，
∴ OA=AB=BC=OC=OB=2，
∴ △OAB和△OBC均为等边三角形，
∴ ∠AOB=∠BOC=60°，即∠AOC=120°。
1. 计算扇形OAC的面积：
扇形面积公式为$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=120，r=2得：
$S_{扇形OAC}=\frac{120π × 2^2}{360}=\frac{4π}{3}$
2. 计算菱形OABC的面积：
菱形OABC由两个边长为2的等边三角形组成，单个等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}× 边长^2$，
所以$S_{菱形OABC}=2× \frac{\sqrt{3}}{4}× 2^2=2\sqrt{3}$
3. 计算阴影面积：
$S_{阴影}=S_{扇形OAC}-S_{菱形OABC}=\frac{4π}{3}-2\sqrt{3}$
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算；菱形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的不规则图形面积计算问题，核心是用割补法将阴影面积转化为规则图形面积的差，解题的关键是结合菱形和圆的性质求出圆心角的度数，再代入对应公式计算即可。
【难度系数】
0.6
要求图中阴影部分的面积，可采用割补法：两个阴影部分的面积和等于扇形OAC的面积减去菱形OABC的面积。首先结合菱形四边相等、圆的半径相等的性质，判断出△OAB、△OBC均为等边三角形，得出圆心角∠AOC的度数，再分别计算扇形面积和菱形面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
连接OB，
∵ 四边形OABC是菱形，⊙O半径为2，
∴ OA=AB=BC=OC=OB=2，
∴ △OAB和△OBC均为等边三角形，
∴ ∠AOB=∠BOC=60°，即∠AOC=120°。
1. 计算扇形OAC的面积：
扇形面积公式为$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=120，r=2得：
$S_{扇形OAC}=\frac{120π × 2^2}{360}=\frac{4π}{3}$
2. 计算菱形OABC的面积：
菱形OABC由两个边长为2的等边三角形组成，单个等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}× 边长^2$，
所以$S_{菱形OABC}=2× \frac{\sqrt{3}}{4}× 2^2=2\sqrt{3}$
3. 计算阴影面积：
$S_{阴影}=S_{扇形OAC}-S_{菱形OABC}=\frac{4π}{3}-2\sqrt{3}$
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算；菱形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的不规则图形面积计算问题，核心是用割补法将阴影面积转化为规则图形面积的差，解题的关键是结合菱形和圆的性质求出圆心角的度数，再代入对应公式计算即可。
【难度系数】
0.6
6. 如图,点 C 在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,过点 C 的直线与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B,且$AB=BC$,若$△ AOB$的面积为 1,则 k 的值为(
A.1
B.2
C.3
D.4
D
).A.1
B.2
C.3
D.4
答案
6.D 解析:如图所示,过点 C 作$CD ⊥ x$轴于点 D,连接 OC.
$\because AB=BC,CD ⊥ AD,$
$\therefore AO=OD,$
$\therefore S_{△ COD} = S_{△ AOC} = 2S_{△ ABO} = 2.$
根据$S_{△ COD} = \frac{k}{2}$可知,$k=4.$
故选D.
解析
【分析】
要求反比例函数中k的值，可优先利用反比例函数k的几何意义求解：过反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形面积为$\frac{|k|}{2}$。首先过点C作CD⊥x轴，结合AB=BC的条件，可推出O是AD的中点，再通过等底同高的三角形面积相等，推导得到△COD的面积，最后代入k的几何意义公式即可求出k的值。
【解析】
过点C作$CD ⊥ x$轴于点D，连接OC。
$\because AB=BC$，$△ AOB$和$△ BOC$以AB、BC为底时，高均为点O到直线AC的距离，
$\therefore S_{△ BOC}=S_{△ AOB}=1$，即$S_{△ AOC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}=2$。
又$\because OB ⊥ x$轴，$CD ⊥ x$轴，
$\therefore OB // CD$，结合$AB=BC$，可得O为AD中点，即$AO=OD$。
$△ AOC$和$△ COD$以AO、OD为底时，高均为点C到x轴的距离，
$\therefore S_{△ COD}=S_{△ AOC}=2$。
根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ COD}=\frac{1}{2}|k|$，
$\because$ 反比例函数图象在第一象限，$k＞0$，
$\therefore \frac{1}{2}k=2$，解得$k=4$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义，等底同高三角形面积性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是反比例函数与三角形面积的综合常考题，解题核心是构造符合反比例函数k的几何意义的直角三角形，再结合线段相等的条件推导面积关系，熟练掌握这类辅助线的构造思路能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
要求反比例函数中k的值，可优先利用反比例函数k的几何意义求解：过反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形面积为$\frac{|k|}{2}$。首先过点C作CD⊥x轴，结合AB=BC的条件，可推出O是AD的中点，再通过等底同高的三角形面积相等，推导得到△COD的面积，最后代入k的几何意义公式即可求出k的值。
【解析】
过点C作$CD ⊥ x$轴于点D，连接OC。
$\because AB=BC$，$△ AOB$和$△ BOC$以AB、BC为底时，高均为点O到直线AC的距离，
$\therefore S_{△ BOC}=S_{△ AOB}=1$，即$S_{△ AOC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}=2$。
又$\because OB ⊥ x$轴，$CD ⊥ x$轴，
$\therefore OB // CD$，结合$AB=BC$，可得O为AD中点，即$AO=OD$。
$△ AOC$和$△ COD$以AO、OD为底时，高均为点C到x轴的距离，
$\therefore S_{△ COD}=S_{△ AOC}=2$。
根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ COD}=\frac{1}{2}|k|$，
$\because$ 反比例函数图象在第一象限，$k＞0$，
$\therefore \frac{1}{2}k=2$，解得$k=4$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义，等底同高三角形面积性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是反比例函数与三角形面积的综合常考题，解题核心是构造符合反比例函数k的几何意义的直角三角形，再结合线段相等的条件推导面积关系，熟练掌握这类辅助线的构造思路能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题4分,共24分)
7. 一元二次方程$7x^2=2x$的解为$\underline{\hspace{5cm}}$.
7. 一元二次方程$7x^2=2x$的解为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
7. $x_1=0,x_2=\dfrac{2}{7}$
解析
【分析】
求解该一元二次方程时，首先要注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个解。正确的解题思路是先通过移项将方程右边化为0，再对左边的多项式提取公因式进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，最后分别求解两个一次方程即可得到原方程的全部解。
【解析】
首先对原方程移项，使方程右边为0：
$7x^2 - 2x = 0$
对左边提取公因式$x$进行因式分解：
$x(7x - 2) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”，可得：
$x = 0$ 或 $7x - 2 = 0$
解一元一次方程$7x - 2 = 0$，得$x = \frac{2}{7}$
综上，原方程的解为$x_1=0, x_2=\frac{2}{7}$
【答案】
$x_1=0,x_2=\dfrac{2}{7}$
【知识点】
1. 一元二次方程求解 2. 因式分解法解方程
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，核心考查因式分解法的应用，解题时需注意不要随意在方程两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.9
求解该一元二次方程时，首先要注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个解。正确的解题思路是先通过移项将方程右边化为0，再对左边的多项式提取公因式进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，最后分别求解两个一次方程即可得到原方程的全部解。
【解析】
首先对原方程移项，使方程右边为0：
$7x^2 - 2x = 0$
对左边提取公因式$x$进行因式分解：
$x(7x - 2) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”，可得：
$x = 0$ 或 $7x - 2 = 0$
解一元一次方程$7x - 2 = 0$，得$x = \frac{2}{7}$
综上，原方程的解为$x_1=0, x_2=\frac{2}{7}$
【答案】
$x_1=0,x_2=\dfrac{2}{7}$
【知识点】
1. 一元二次方程求解 2. 因式分解法解方程
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，核心考查因式分解法的应用，解题时需注意不要随意在方程两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.9
8. 若圆锥母线的长为 10 cm，高为 8 cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为$\underline{\hspace{5em}}$cm.（结果用π表示）
答案
8. $12π$
解析
【分析】
要计算圆锥侧面展开图的弧长，首先需明确：圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长，因此解题的核心是先求出底面圆的半径。已知圆锥的母线长和高，圆锥的母线、高、底面半径可构成直角三角形，其中母线为斜边，可通过勾股定理求出底面半径，再代入圆的周长公式即可得到弧长。
【解析】
设圆锥的底面半径为$ r $ cm，已知圆锥母线长$ l=10 $ cm，高$ h=8 $ cm。
根据圆锥的性质，母线、高、底面半径构成直角三角形，由勾股定理可得：
$ r=\sqrt{l^2 - h^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6 $
因为圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，所以弧长为：
$ 2π r=2π × 6=12π $（cm）
【答案】
$ 12π $
【知识点】
圆锥的展开图特征；勾股定理；圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥相关的基础计算题，解题关键是建立圆锥侧面展开图与圆锥底面的等量关系，结合勾股定理即可求解，是几何中常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥侧面展开图的弧长，首先需明确：圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长，因此解题的核心是先求出底面圆的半径。已知圆锥的母线长和高，圆锥的母线、高、底面半径可构成直角三角形，其中母线为斜边，可通过勾股定理求出底面半径，再代入圆的周长公式即可得到弧长。
【解析】
设圆锥的底面半径为$ r $ cm，已知圆锥母线长$ l=10 $ cm，高$ h=8 $ cm。
根据圆锥的性质，母线、高、底面半径构成直角三角形，由勾股定理可得：
$ r=\sqrt{l^2 - h^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6 $
因为圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，所以弧长为：
$ 2π r=2π × 6=12π $（cm）
【答案】
$ 12π $
【知识点】
圆锥的展开图特征；勾股定理；圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥相关的基础计算题，解题关键是建立圆锥侧面展开图与圆锥底面的等量关系，结合勾股定理即可求解，是几何中常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
9. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ A=90°$，$∠ C:∠ B=1:2$，则 $\sin B=\underline{\hspace{5em}}$.
答案
9. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
解题时先利用直角三角形的性质，明确直角三角形的两个锐角之和为90°，再结合∠C与∠B的比例关系求出∠B的具体度数，最后代入对应特殊角的正弦值即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$
∴ $∠ B + ∠ C = 90°$（直角三角形两锐角互余）
又
∵ $∠ C:∠ B=1:2$，设$∠ C=x$，$∠ B=2x$
则 $x + 2x = 90°$
解得 $x=30°$
∴ $∠ B=2x=60°$
∴ $\sin B=\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
1. 直角三角形的性质
2. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直角三角形内角的关系以及常见特殊锐角的三角函数值，计算量小，只要牢记相关性质和特殊角函数值即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时先利用直角三角形的性质，明确直角三角形的两个锐角之和为90°，再结合∠C与∠B的比例关系求出∠B的具体度数，最后代入对应特殊角的正弦值即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$
∴ $∠ B + ∠ C = 90°$（直角三角形两锐角互余）
又
∵ $∠ C:∠ B=1:2$，设$∠ C=x$，$∠ B=2x$
则 $x + 2x = 90°$
解得 $x=30°$
∴ $∠ B=2x=60°$
∴ $\sin B=\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
1. 直角三角形的性质
2. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直角三角形内角的关系以及常见特殊锐角的三角函数值，计算量小，只要牢记相关性质和特殊角函数值即可得分。
【难度系数】
0.8
10. 已知$2x - 3y = 0$，则$\dfrac{x + y}{y} =$
$\dfrac{5}{2}$
.答案
10. $\dfrac{5}{2}$
解析
【分析】
解题思路：已知条件是关于x、y的二元一次方程，所求为含x、y的分式的值。我们可以先通过已知等式推导x与y的比值，再将所求分式拆分变形，代入比值计算；也可以用其中一个未知数表示另一个未知数，代入所求分式约分得到结果，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一：
∵$2x-3y=0$，且分式分母$y≠0$
∴移项得$2x=3y$，两边同时除以$2y$可得$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{2}$
将所求分式拆分变形：$\dfrac{x+y}{y}=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{y}=\dfrac{x}{y}+1$
把$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{2}$代入上式得：$\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}$
方法二：
∵$2x-3y=0$
∴移项变形得$x=\dfrac{3}{2}y$
将$x=\dfrac{3}{2}y$代入$\dfrac{x+y}{y}$得：
$\dfrac{\dfrac{3}{2}y + y}{y}=\dfrac{\dfrac{5}{2}y}{y}=\dfrac{5}{2}$（$y≠0$，可直接约分化简）
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
代数式求值、等式的性质、分式化简
【点评】
本题是基础计算题，主要考查代数式的变形能力，掌握分式拆分或者代入消元的方法就能快速解题，注意分式有意义的隐含条件$y≠0$即可。
【难度系数】
0.9
解题思路：已知条件是关于x、y的二元一次方程，所求为含x、y的分式的值。我们可以先通过已知等式推导x与y的比值，再将所求分式拆分变形，代入比值计算；也可以用其中一个未知数表示另一个未知数，代入所求分式约分得到结果，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一：
∵$2x-3y=0$，且分式分母$y≠0$
∴移项得$2x=3y$，两边同时除以$2y$可得$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{2}$
将所求分式拆分变形：$\dfrac{x+y}{y}=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{y}=\dfrac{x}{y}+1$
把$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{2}$代入上式得：$\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}$
方法二：
∵$2x-3y=0$
∴移项变形得$x=\dfrac{3}{2}y$
将$x=\dfrac{3}{2}y$代入$\dfrac{x+y}{y}$得：
$\dfrac{\dfrac{3}{2}y + y}{y}=\dfrac{\dfrac{5}{2}y}{y}=\dfrac{5}{2}$（$y≠0$，可直接约分化简）
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
代数式求值、等式的性质、分式化简
【点评】
本题是基础计算题，主要考查代数式的变形能力，掌握分式拆分或者代入消元的方法就能快速解题，注意分式有意义的隐含条件$y≠0$即可。
【难度系数】
0.9
11. 若反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象过$A(2,-3)$，则$m=$______.
答案
11. $-6$
解析
【分析】
该题考察的是关于反比例函数的知识，解题思路如下：
1. 首先，题目给了一个反比例函数$y=\dfrac$，并且给出了一个点$A(2,-3)$，要求$m$，只需要把这个点$A$的$x=2$代入，就可以得到关于$m$的一元一次方程，就可以得到$m=-6$。
2. 该题属于基础题，属于送分题。
【解析】
1. 点$A(2,-3)$在反比例函数$y=\dfrac{x}{m}$的图像上，所以把$x=2$代入到$m/x$，得到$-3=m/2$，解得$m=-6$。
2. 所以$m=-6$。
【答案】$-6$
【知识点】
1. 2. 3.
【点评】
该题考察的是关于$x$的反比例函数的知识，属于基础题，主要考察学生对反比例函数的掌握程度，要求学生能够正确代入计算。
【难度系数0.85
该题考察的是关于反比例函数的知识，解题思路如下：
1. 首先，题目给了一个反比例函数$y=\dfrac$，并且给出了一个点$A(2,-3)$，要求$m$，只需要把这个点$A$的$x=2$代入，就可以得到关于$m$的一元一次方程，就可以得到$m=-6$。
2. 该题属于基础题，属于送分题。
【解析】
1. 点$A(2,-3)$在反比例函数$y=\dfrac{x}{m}$的图像上，所以把$x=2$代入到$m/x$，得到$-3=m/2$，解得$m=-6$。
2. 所以$m=-6$。
【答案】$-6$
【知识点】
1. 2. 3.
【点评】
该题考察的是关于$x$的反比例函数的知识，属于基础题，主要考察学生对反比例函数的掌握程度，要求学生能够正确代入计算。
【难度系数0.85
12. 已知$A(0,3)$，$B(2,3)$是抛物线$y=-x^2+bx+c$上两点，则该抛物线的顶点坐标是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
12. $(1,4)$
解析
【分析】
解题思路：第一步，已知抛物线上两个点的坐标，可将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，求解得到b、c的值，确定抛物线的解析式；第二步，将得到的一般式解析式通过配方法转化为顶点式，即可直接读出顶点坐标。也可以先观察到A、B两点纵坐标相同，可知两点关于抛物线对称轴对称，先求出对称轴，快速得到b的值，再求c的值，进一步计算顶点纵坐标。
【解析】
将$A(0,3)$、$B(2,3)$代入抛物线解析式$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}c=3 \\-2^2 + 2b + c = 3\end{cases}$
把$c=3$代入第二个方程：
$-4 + 2b + 3 = 3$
化简得：$2b -1 =3$，解得$b=2$
所以抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$
用配方法将解析式转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+3\\&=-(x^2-2x)+3\\&=-(x^2-2x+1-1)+3\\&=-(x-1)^2 +1 +3\\&=-(x-1)^2 +4\end{aligned}$
所以抛物线的顶点坐标为$(1,4)$
【答案】
$(1,4)$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点坐标；二次函数对称性
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题核心是利用抛物线上点的坐标特征求出解析式的未知系数，再通过配方法转化为顶点式即可得到顶点坐标，也可利用二次函数对称性简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解题思路：第一步，已知抛物线上两个点的坐标，可将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，求解得到b、c的值，确定抛物线的解析式；第二步，将得到的一般式解析式通过配方法转化为顶点式，即可直接读出顶点坐标。也可以先观察到A、B两点纵坐标相同，可知两点关于抛物线对称轴对称，先求出对称轴，快速得到b的值，再求c的值，进一步计算顶点纵坐标。
【解析】
将$A(0,3)$、$B(2,3)$代入抛物线解析式$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}c=3 \\-2^2 + 2b + c = 3\end{cases}$
把$c=3$代入第二个方程：
$-4 + 2b + 3 = 3$
化简得：$2b -1 =3$，解得$b=2$
所以抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$
用配方法将解析式转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+3\\&=-(x^2-2x)+3\\&=-(x^2-2x+1-1)+3\\&=-(x-1)^2 +1 +3\\&=-(x-1)^2 +4\end{aligned}$
所以抛物线的顶点坐标为$(1,4)$
【答案】
$(1,4)$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点坐标；二次函数对称性
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题核心是利用抛物线上点的坐标特征求出解析式的未知系数，再通过配方法转化为顶点式即可得到顶点坐标，也可利用二次函数对称性简化计算过程。
【难度系数】
0.8
