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三、解答题(本大题共52分)
13. (12 分)(1)计算:$\sin^{2}45° - 2\cos 30° - |\tan 60° - 2|$；
(2)解方程:$-5x^{2} + 10x + 15 = 0$.
13. (12 分)(1)计算:$\sin^{2}45° - 2\cos 30° - |\tan 60° - 2|$；
(2)解方程:$-5x^{2} + 10x + 15 = 0$.
答案
13. (1)原式$=\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}-(2-\sqrt{3})=-\dfrac{3}{2}.$
(2)$x_1=3,x_2=-1.$
(2)$x_1=3,x_2=-1.$
解析
【分析】
(1) 本题是特殊角三角函数的混合运算，解题思路清晰：首先要准确记忆30°、45°、60°的三角函数值并代入原式；其次判断绝对值内式子的正负，根据绝对值的性质化简绝对值；最后去括号合并同类项即可得到结果。
(2) 本题是解一元二次方程，解题时先观察方程系数的特点，先将方程两边同时除以公因式简化系数，再选择简便的因式分解法求解即可，也可根据自身掌握情况选择配方法、公式法计算。
【解析】
(1) 先代入特殊角的三角函数值：
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$
$\because \sqrt{3}＜2$，$\therefore |\tan60° - 2|=2-\sqrt{3}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 2×\frac{\sqrt{3}}{2} - (2-\sqrt{3})\\&=\frac{1}{2} - \sqrt{3} -2 + \sqrt{3}\\&=-\frac{3}{2}\end{aligned}$
(2) 解方程$-5x^2 +10x +15=0$：
第一步，方程两边同时除以$-5$化简得：
$x^2 - 2x -3 =0$
第二步，对左边因式分解得：
$(x-3)(x+1)=0$
第三步，令两个因式分别为0：
$x-3=0$ 或 $x+1=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=-1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\dfrac{3}{2}}$；(2) $\boldsymbol{x_1=3,x_2=-1}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、绝对值的化简、一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础运算题，侧重考查基础知识的掌握和运算的细心程度。第一问的易错点是记错特殊角三角函数值、去绝对值时符号出错；第二问先化简方程系数可大幅降低计算量，熟练掌握一元二次方程的多种解法可灵活选择最简便的方式解题。
【难度系数】
0.8
(1) 本题是特殊角三角函数的混合运算，解题思路清晰：首先要准确记忆30°、45°、60°的三角函数值并代入原式；其次判断绝对值内式子的正负，根据绝对值的性质化简绝对值；最后去括号合并同类项即可得到结果。
(2) 本题是解一元二次方程，解题时先观察方程系数的特点，先将方程两边同时除以公因式简化系数，再选择简便的因式分解法求解即可，也可根据自身掌握情况选择配方法、公式法计算。
【解析】
(1) 先代入特殊角的三角函数值：
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$
$\because \sqrt{3}＜2$，$\therefore |\tan60° - 2|=2-\sqrt{3}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 2×\frac{\sqrt{3}}{2} - (2-\sqrt{3})\\&=\frac{1}{2} - \sqrt{3} -2 + \sqrt{3}\\&=-\frac{3}{2}\end{aligned}$
(2) 解方程$-5x^2 +10x +15=0$：
第一步，方程两边同时除以$-5$化简得：
$x^2 - 2x -3 =0$
第二步，对左边因式分解得：
$(x-3)(x+1)=0$
第三步，令两个因式分别为0：
$x-3=0$ 或 $x+1=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=-1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\dfrac{3}{2}}$；(2) $\boldsymbol{x_1=3,x_2=-1}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、绝对值的化简、一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础运算题，侧重考查基础知识的掌握和运算的细心程度。第一问的易错点是记错特殊角三角函数值、去绝对值时符号出错；第二问先化简方程系数可大幅降低计算量，熟练掌握一元二次方程的多种解法可灵活选择最简便的方式解题。
【难度系数】
0.8
14. (12分)射击集训队在一个月的集训中,对甲、乙两名运动员进行了10次测试,成绩如下:
甲:9,6,6,8,7,6,6,8,8,6;
乙:4,5,7,6,8,7,8,8,8,9.
如果你是教练员,会选择哪位运动员参加比赛?请说明理由.
甲:9,6,6,8,7,6,6,8,8,6;
乙:4,5,7,6,8,7,8,8,8,9.
如果你是教练员,会选择哪位运动员参加比赛?请说明理由.
答案
14. 选择甲运动员参加比赛.理由如下:
甲运动员成绩:$\bar{x}_甲 = \dfrac{9+6+6+8+7+6+6+8+8+6}{10}=7,$
乙运动员成绩:$\bar{x}_乙 = \dfrac{4+5+7+6+8+7+8+8+8+9}{10}=7,$
$\therefore s_甲^2 = \dfrac{1}{10} × [(9-7)^2 + (6-7)^2 × 5 + (7-7)^2 + (8-7)^2 × 3] = 1.2,$
$s_乙^2 = \dfrac{1}{10} × [(4-7)^2 + (5-7)^2 + (6-7)^2 + (7-7)^2 × 2 + (8-7)^2 × 4 + (9-7)^2] = 2.2.$
$\because s_甲^2 ＜ s_乙^2,$
$\therefore$ 甲的成绩比较稳定,
$\therefore$ 选择甲运动员参加比赛.
甲运动员成绩:$\bar{x}_甲 = \dfrac{9+6+6+8+7+6+6+8+8+6}{10}=7,$
乙运动员成绩:$\bar{x}_乙 = \dfrac{4+5+7+6+8+7+8+8+8+9}{10}=7,$
$\therefore s_甲^2 = \dfrac{1}{10} × [(9-7)^2 + (6-7)^2 × 5 + (7-7)^2 + (8-7)^2 × 3] = 1.2,$
$s_乙^2 = \dfrac{1}{10} × [(4-7)^2 + (5-7)^2 + (6-7)^2 + (7-7)^2 × 2 + (8-7)^2 × 4 + (9-7)^2] = 2.2.$
$\because s_甲^2 ＜ s_乙^2,$
$\therefore$ 甲的成绩比较稳定,
$\therefore$ 选择甲运动员参加比赛.
解析
【分析】
要选拔参赛运动员，需结合成绩的平均水平和稳定性两个维度判断：首先计算两人的平均成绩，平均成绩更高的整体水平更好；若平均成绩相同，则计算方差比较稳定性，方差越小说明成绩波动越小、发挥越稳定，更适合参赛。解题时先计算甲乙的平均成绩，再计算方差，根据比较结果即可得出结论。
【解析】
1. 计算甲乙两人的平均成绩：
$\bar{x}_甲 = \dfrac{9+6+6+8+7+6+6+8+8+6}{10}=7$
$\bar{x}_乙 = \dfrac{4+5+7+6+8+7+8+8+8+9}{10}=7$
两人平均成绩相同，整体水平相当。
2. 计算甲乙两人成绩的方差，判断稳定性：
$s_甲^2 = \dfrac{1}{10} × [(9-7)^2 + 5×(6-7)^2 + (7-7)^2 + 3×(8-7)^2] = 1.2$
$s_乙^2 = \dfrac{1}{10} × [(4-7)^2 + (5-7)^2 + (6-7)^2 + 2×(7-7)^2 + 4×(8-7)^2 + (9-7)^2] = 2.2$
$\because s_甲^2 ＜ s_乙^2$，$\therefore$ 甲的成绩波动更小，发挥更稳定。
【答案】
选择甲运动员参加比赛。理由：甲、乙两人10次测试的平均成绩均为7，甲的成绩方差为1.2，小于乙的成绩方差2.2，甲的成绩更稳定，故选派甲参赛。
【知识点】
平均数计算；方差计算；方差的意义
【点评】
本题考查统计知识在实际决策中的应用，解题关键是明确选拔的核心需求，结合平均数、方差两个统计量的含义综合判断，解题时需注意统计量计算的准确性，避免因计算失误导致判断错误。
【难度系数】
0.7
要选拔参赛运动员，需结合成绩的平均水平和稳定性两个维度判断：首先计算两人的平均成绩，平均成绩更高的整体水平更好；若平均成绩相同，则计算方差比较稳定性，方差越小说明成绩波动越小、发挥越稳定，更适合参赛。解题时先计算甲乙的平均成绩，再计算方差，根据比较结果即可得出结论。
【解析】
1. 计算甲乙两人的平均成绩：
$\bar{x}_甲 = \dfrac{9+6+6+8+7+6+6+8+8+6}{10}=7$
$\bar{x}_乙 = \dfrac{4+5+7+6+8+7+8+8+8+9}{10}=7$
两人平均成绩相同，整体水平相当。
2. 计算甲乙两人成绩的方差，判断稳定性：
$s_甲^2 = \dfrac{1}{10} × [(9-7)^2 + 5×(6-7)^2 + (7-7)^2 + 3×(8-7)^2] = 1.2$
$s_乙^2 = \dfrac{1}{10} × [(4-7)^2 + (5-7)^2 + (6-7)^2 + 2×(7-7)^2 + 4×(8-7)^2 + (9-7)^2] = 2.2$
$\because s_甲^2 ＜ s_乙^2$，$\therefore$ 甲的成绩波动更小，发挥更稳定。
【答案】
选择甲运动员参加比赛。理由：甲、乙两人10次测试的平均成绩均为7，甲的成绩方差为1.2，小于乙的成绩方差2.2，甲的成绩更稳定，故选派甲参赛。
【知识点】
平均数计算；方差计算；方差的意义
【点评】
本题考查统计知识在实际决策中的应用，解题关键是明确选拔的核心需求，结合平均数、方差两个统计量的含义综合判断，解题时需注意统计量计算的准确性，避免因计算失误导致判断错误。
【难度系数】
0.7
