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1. 八年级(1)班的小强同学期中考试语文、数学、外语、物理、政治、历史、地理、生物八门功课的成绩(单位:分)分别是92,95,96,93,98,93,94,99,试求八门功课成绩的方差.
答案
∵八门功课成绩的平均数为(92+95+96+93+98+93+94+99)÷8=95(分)，
∴八门功课成绩的方差为$\frac{1}{8} × [(92-95)^2+(95-95)^2+(96-95)^2+(93-95)^2+(98-95)^2+(93-95)^2+(94-95)^2+(99-95)^2]=5.5$。
解析
【分析】
要求一组数据的方差，需按照方差的计算逻辑分步进行：第一步先计算这组数据的算术平均数，第二步计算每个数据与平均数的差的平方，第三步将所有平方值求和后除以数据的总个数，即可得到方差。计算过程中需注意四则运算、平方运算的准确性，避免计算失误。
【解析】
首先计算八门功课成绩的平均数：
$\bar{x}=(92+95+96+93+98+93+94+99)÷8=760÷8=95$（分）
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$代入数据计算：
$s^2=\frac{1}{8}×[(92-95)^2+(95-95)^2+(96-95)^2+(93-95)^2+(98-95)^2+(93-95)^2+(94-95)^2+(99-95)^2]$
$=\frac{1}{8}×(9+0+1+4+9+4+1+16)$
$=\frac{1}{8}×44=5.5$
【答案】
5.5
【知识点】
平均数计算；方差计算
【点评】
本题是基础类运算题，主要考查方差的计算方法，牢记方差的计算步骤，运算时细心即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要求一组数据的方差，需按照方差的计算逻辑分步进行：第一步先计算这组数据的算术平均数，第二步计算每个数据与平均数的差的平方，第三步将所有平方值求和后除以数据的总个数，即可得到方差。计算过程中需注意四则运算、平方运算的准确性，避免计算失误。
【解析】
首先计算八门功课成绩的平均数：
$\bar{x}=(92+95+96+93+98+93+94+99)÷8=760÷8=95$（分）
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$代入数据计算：
$s^2=\frac{1}{8}×[(92-95)^2+(95-95)^2+(96-95)^2+(93-95)^2+(98-95)^2+(93-95)^2+(94-95)^2+(99-95)^2]$
$=\frac{1}{8}×(9+0+1+4+9+4+1+16)$
$=\frac{1}{8}×44=5.5$
【答案】
5.5
【知识点】
平均数计算；方差计算
【点评】
本题是基础类运算题，主要考查方差的计算方法，牢记方差的计算步骤，运算时细心即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
2. 甲、乙两人参加某项体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
(1)分别求出两人得分的平均数和方差；
(2)根据折线图和上面的计算结果，对两人的训练成绩作出评价.
(1)分别求出两人得分的平均数和方差；
(2)根据折线图和上面的计算结果，对两人的训练成绩作出评价.
答案
(1)$\overline{x}_甲=(10+13+12+14+16)÷5=13$，
$\overline{x}_乙=(13+14+12+12+14)÷5=13$，
$s^2_甲=\frac{1}{5} × [(10-13)^2+(13-13)^2+(12-13)^2+(14-13)^2+(16-13)^2]=4$，
$s^2_乙=\frac{1}{5} × [(13-13)^2+(14-13)^2+(12-13)^2+(12-13)^2+(14-13)^2]=0.8$。
(2)甲、乙两人水平相当；乙的成绩较稳定，但甲的成绩呈上升趋势。
$\overline{x}_乙=(13+14+12+12+14)÷5=13$，
$s^2_甲=\frac{1}{5} × [(10-13)^2+(13-13)^2+(12-13)^2+(14-13)^2+(16-13)^2]=4$，
$s^2_乙=\frac{1}{5} × [(13-13)^2+(14-13)^2+(12-13)^2+(12-13)^2+(14-13)^2]=0.8$。
(2)甲、乙两人水平相当；乙的成绩较稳定，但甲的成绩呈上升趋势。
解析
【分析】
解决本题首先要从折线统计图中准确提取甲、乙两人五次测试的成绩：甲的五次成绩依次为10、13、12、14、16，乙的五次成绩依次为13、14、12、12、14。
第(1)问计算平均数时，用两人各自的总成绩除以测试次数5即可；计算方差时，按照方差公式，先求每个数据与平均数的差的平方，再求这些平方值的平均数即可。
第(2)问评价成绩时，平均数相同说明两人平均水平相当；方差越小说明成绩波动越小、越稳定；再结合折线的走势判断成绩的变化趋势即可。
【解析】
(1) 先提取两人的五次测试成绩：
甲的成绩：10、13、12、14、16
乙的成绩：13、14、12、12、14
计算平均数：
$\overline{x}_甲=(10+13+12+14+16)÷5=13$
$\overline{x}_乙=(13+14+12+12+14)÷5=13$
计算方差：
$s^2_甲=\frac{1}{5} × [(10-13)^2+(13-13)^2+(12-13)^2+(14-13)^2+(16-13)^2]$
$=\frac{1}{5}×(9+0+1+1+9)=4$
$s^2_乙=\frac{1}{5} × [(13-13)^2+(14-13)^2+(12-13)^2+(12-13)^2+(14-13)^2]$
$=\frac{1}{5}×(0+1+1+1+1)=0.8$
(2) 对比统计量和折线图：甲乙平均数相同，说明两人总体水平相当；乙方差更小，说明乙的成绩更稳定；从折线走势看，甲的成绩整体呈上升趋势，进步明显。
【答案】
(1)$\overline{x}_甲=(10+13+12+14+16)÷5=13$，
$\overline{x}_乙=(13+14+12+12+14)÷5=13$，
$s^2_甲=\frac{1}{5} × [(10-13)^2+(13-13)^2+(12-13)^2+(14-13)^2+(16-13)^2]=4$，
$s^2_乙=\frac{1}{5} × [(13-13)^2+(14-13)^2+(12-13)^2+(12-13)^2+(14-13)^2]=0.8$。
(2)甲、乙两人水平相当；乙的成绩较稳定，但甲的成绩呈上升趋势。
【知识点】
平均数计算，方差计算，折线统计图分析
【点评】
本题是统计部分的典型习题，考查了从折线统计图提取信息的能力、平均数和方差的计算能力，以及结合统计量含义分析数据的能力，贴合统计知识的实际应用场景。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要从折线统计图中准确提取甲、乙两人五次测试的成绩：甲的五次成绩依次为10、13、12、14、16，乙的五次成绩依次为13、14、12、12、14。
第(1)问计算平均数时，用两人各自的总成绩除以测试次数5即可；计算方差时，按照方差公式，先求每个数据与平均数的差的平方，再求这些平方值的平均数即可。
第(2)问评价成绩时，平均数相同说明两人平均水平相当；方差越小说明成绩波动越小、越稳定；再结合折线的走势判断成绩的变化趋势即可。
【解析】
(1) 先提取两人的五次测试成绩：
甲的成绩：10、13、12、14、16
乙的成绩：13、14、12、12、14
计算平均数：
$\overline{x}_甲=(10+13+12+14+16)÷5=13$
$\overline{x}_乙=(13+14+12+12+14)÷5=13$
计算方差：
$s^2_甲=\frac{1}{5} × [(10-13)^2+(13-13)^2+(12-13)^2+(14-13)^2+(16-13)^2]$
$=\frac{1}{5}×(9+0+1+1+9)=4$
$s^2_乙=\frac{1}{5} × [(13-13)^2+(14-13)^2+(12-13)^2+(12-13)^2+(14-13)^2]$
$=\frac{1}{5}×(0+1+1+1+1)=0.8$
(2) 对比统计量和折线图：甲乙平均数相同，说明两人总体水平相当；乙方差更小，说明乙的成绩更稳定；从折线走势看，甲的成绩整体呈上升趋势，进步明显。
【答案】
(1)$\overline{x}_甲=(10+13+12+14+16)÷5=13$，
$\overline{x}_乙=(13+14+12+12+14)÷5=13$，
$s^2_甲=\frac{1}{5} × [(10-13)^2+(13-13)^2+(12-13)^2+(14-13)^2+(16-13)^2]=4$，
$s^2_乙=\frac{1}{5} × [(13-13)^2+(14-13)^2+(12-13)^2+(12-13)^2+(14-13)^2]=0.8$。
(2)甲、乙两人水平相当；乙的成绩较稳定，但甲的成绩呈上升趋势。
【知识点】
平均数计算，方差计算，折线统计图分析
【点评】
本题是统计部分的典型习题，考查了从折线统计图提取信息的能力、平均数和方差的计算能力，以及结合统计量含义分析数据的能力，贴合统计知识的实际应用场景。
【难度系数】
0.8
[数学与生活融合]为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取5台进行测试，两种电子钟走时误差的数据如下表(单位:秒):
(1)计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差.
(2)根据经验,走时稳定性较好的电子钟质量更优.若两种类型的电子钟价格相同,请问:你买哪种电子钟?为什么?
(1)计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差.
(2)根据经验,走时稳定性较好的电子钟质量更优.若两种类型的电子钟价格相同,请问:你买哪种电子钟?为什么?
答案
(1)$\overline{x}_甲=\frac{1-3-4+4+2}{5}=0$(秒)，
$\overline{x}_乙=\frac{4-3-1+2-2}{5}=0$(秒)，
$s^2_甲=\frac{1^2+3^2+4^2+4^2+2^2}{5}=\frac{46}{5}$，
$s^2_乙=\frac{4^2+3^2+1^2+2^2+2^2}{5}=\frac{34}{5}$。
(2)乙种。
因为$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙$，$s^2_甲＞s^2_乙$，
所以乙种电子钟走时更稳定，质量更优。
$\overline{x}_乙=\frac{4-3-1+2-2}{5}=0$(秒)，
$s^2_甲=\frac{1^2+3^2+4^2+4^2+2^2}{5}=\frac{46}{5}$，
$s^2_乙=\frac{4^2+3^2+1^2+2^2+2^2}{5}=\frac{34}{5}$。
(2)乙种。
因为$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙$，$s^2_甲＞s^2_乙$，
所以乙种电子钟走时更稳定，质量更优。
解析
【分析】
解决本题首先明确解题步骤：第一问求方差，需先计算两组数据的平均数，再代入方差公式计算即可；第二问判断电子钟质量，走时稳定性由方差决定，方差越小数据波动越小、走时越稳定，在平均走时误差相同的前提下，比较方差大小就能得出结论。
【解析】
(1) 先计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数：
$\overline{x}_甲=\frac{1-3-4+4+2}{5}=0$(秒)
$\overline{x}_乙=\frac{4-3-1+2-2}{5}=0$(秒)
再根据方差公式计算两种电子钟走时误差的方差：
$s^2_甲=\frac{1^2+(-3)^2+(-4)^2+4^2+2^2}{5}=\frac{46}{5}$
$s^2_乙=\frac{4^2+(-3)^2+(-1)^2+2^2+(-2)^2}{5}=\frac{34}{5}$
(2) 选择购买乙种电子钟。
理由：因为$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙$，说明两种电子钟的平均走时水平一致，且$s^2_甲＞s^2_乙$，方差越小说明走时波动越小，稳定性越好，因此乙种电子钟走时更稳定，质量更优。
【答案】
(1) 甲种电子钟走时误差的方差为$\frac{46}{5}$，乙种电子钟走时误差的方差为$\frac{34}{5}$；
(2) 买乙种电子钟，因为两种电子钟平均走时误差相同，乙的方差更小，走时更稳定，质量更优。
【知识点】
平均数计算、方差计算、方差的意义
【点评】
本题结合生活实际场景考查统计知识的应用，解题关键是掌握方差的计算方法，理解方差越小数据波动越小、稳定性越强的性质，能有效锻炼学生用统计知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
解决本题首先明确解题步骤：第一问求方差，需先计算两组数据的平均数，再代入方差公式计算即可；第二问判断电子钟质量，走时稳定性由方差决定，方差越小数据波动越小、走时越稳定，在平均走时误差相同的前提下，比较方差大小就能得出结论。
【解析】
(1) 先计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数：
$\overline{x}_甲=\frac{1-3-4+4+2}{5}=0$(秒)
$\overline{x}_乙=\frac{4-3-1+2-2}{5}=0$(秒)
再根据方差公式计算两种电子钟走时误差的方差：
$s^2_甲=\frac{1^2+(-3)^2+(-4)^2+4^2+2^2}{5}=\frac{46}{5}$
$s^2_乙=\frac{4^2+(-3)^2+(-1)^2+2^2+(-2)^2}{5}=\frac{34}{5}$
(2) 选择购买乙种电子钟。
理由：因为$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙$，说明两种电子钟的平均走时水平一致，且$s^2_甲＞s^2_乙$，方差越小说明走时波动越小，稳定性越好，因此乙种电子钟走时更稳定，质量更优。
【答案】
(1) 甲种电子钟走时误差的方差为$\frac{46}{5}$，乙种电子钟走时误差的方差为$\frac{34}{5}$；
(2) 买乙种电子钟，因为两种电子钟平均走时误差相同，乙的方差更小，走时更稳定，质量更优。
【知识点】
平均数计算、方差计算、方差的意义
【点评】
本题结合生活实际场景考查统计知识的应用，解题关键是掌握方差的计算方法，理解方差越小数据波动越小、稳定性越强的性质，能有效锻炼学生用统计知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
