登录
1. 已知一组数据 3,2,1,5,7,6,求其离差平方和.
答案
由题意,得这组数据的平均数为$\frac{1}{6} × (3+2+1+5+7+6)$
$=4$,则离差平方和为$(3-4)^2+(2-4)^2+(1-4)^2+(5-4)^2+(7-4)^2+(6-4)^2=1+4+9+1+9+4=28.$
$=4$,则离差平方和为$(3-4)^2+(2-4)^2+(1-4)^2+(5-4)^2+(7-4)^2+(6-4)^2=1+4+9+1+9+4=28.$
解析
【分析】
计算一组数据的离差平方和，需按照固定步骤求解：首先明确离差平方和的定义，即各数据与本组数据平均数的差的平方的总和。因此第一步先计算这组数据的算术平均数；第二步依次计算每个数据与平均数的差的平方；最后将所有平方值相加，即可得到离差平方和。
【解析】
首先计算该组数据的平均数：
$\overline{x}=\frac{1}{6}×(3+2+1+5+7+6)=4$
再根据离差平方和的定义计算：
离差平方和$=(3-4)^2+(2-4)^2+(1-4)^2+(5-4)^2+(7-4)^2+(6-4)^2$
$=1+4+9+1+9+4$
$=28$
【答案】
28
【知识点】
平均数计算、离差平方和计算
【点评】
本题是数据离散程度相关的基础题型，重点考察离差平方和的计算逻辑，只要牢记“先求平均数、再算差的平方和”的步骤，运算时细心即可得分。
【难度系数】
0.85
计算一组数据的离差平方和，需按照固定步骤求解：首先明确离差平方和的定义，即各数据与本组数据平均数的差的平方的总和。因此第一步先计算这组数据的算术平均数；第二步依次计算每个数据与平均数的差的平方；最后将所有平方值相加，即可得到离差平方和。
【解析】
首先计算该组数据的平均数：
$\overline{x}=\frac{1}{6}×(3+2+1+5+7+6)=4$
再根据离差平方和的定义计算：
离差平方和$=(3-4)^2+(2-4)^2+(1-4)^2+(5-4)^2+(7-4)^2+(6-4)^2$
$=1+4+9+1+9+4$
$=28$
【答案】
28
【知识点】
平均数计算、离差平方和计算
【点评】
本题是数据离散程度相关的基础题型，重点考察离差平方和的计算逻辑，只要牢记“先求平均数、再算差的平方和”的步骤，运算时细心即可得分。
【难度系数】
0.85
2. 甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩(单位:分)如下:15,18,15,24,按照“组内离差平方和最小”的方法,将竞赛成绩分成两组.
答案
将4个数据从小到大排序为15,15,18,24.
把4个数据分成两组,共有3种情况:
第一种情况:第一组1个数据{15},离差平方和为0,
第二组3个数据{15,18,24},平均数是$\frac{15+18+24}{3}=19$,
离差平方和为$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=42$,
故第一种情况的组内离差平方和为$0+42=42$;
第二种情况:第一组2个数据{15,15},平均数是$\frac{15+15}{2}=15$,离差平方和为0,
第二组2个数据{18,24},平均数是$\frac{18+24}{2}=21$,离差平方和为$(18-21)^2+(24-21)^2=18$,
故第二种情况的组内离差平方和为$0+18=18$;
第三种情况:第一组3个数据{15,15,18},平均数是$\frac{15+15+18}{3}=16$,离差平方和为$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=6$,
第二组1个数据{24},离差平方和为0,
故第三种情况的组内离差平方和为$0+6=6$.
因为$6＜18＜42$,
所以第三种情况的组内离差平方和最小,
所以将竞赛成绩分成的两组是{15,15,18},{24}.
把4个数据分成两组,共有3种情况:
第一种情况:第一组1个数据{15},离差平方和为0,
第二组3个数据{15,18,24},平均数是$\frac{15+18+24}{3}=19$,
离差平方和为$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=42$,
故第一种情况的组内离差平方和为$0+42=42$;
第二种情况:第一组2个数据{15,15},平均数是$\frac{15+15}{2}=15$,离差平方和为0,
第二组2个数据{18,24},平均数是$\frac{18+24}{2}=21$,离差平方和为$(18-21)^2+(24-21)^2=18$,
故第二种情况的组内离差平方和为$0+18=18$;
第三种情况:第一组3个数据{15,15,18},平均数是$\frac{15+15+18}{3}=16$,离差平方和为$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=6$,
第二组1个数据{24},离差平方和为0,
故第三种情况的组内离差平方和为$0+6=6$.
因为$6＜18＜42$,
所以第三种情况的组内离差平方和最小,
所以将竞赛成绩分成的两组是{15,15,18},{24}.
解析
【分析】
要解决本题，核心目标是找到总组内离差平方和最小的分组方案。首先我们可以先将数据从小到大排序，方便后续分组；其次4个数据分成两组，共3种不重复的分法：1个+3个、2个+2个、3个+1个。接下来对每种分组，分别计算两组的离差平方和（即每组内各数据与本组平均数的差的平方和），再求和得到该分组的总组内离差平方和，最后比较三种情况的总和，最小的对应的分组就是答案。
【解析】
首先将4个数据从小到大排序为：15，15，18，24。
4个数据分成两组共有3种情况，分别计算如下：
1. 第一种分组：$\{15\}$和$\{15,18,24\}$
第一组$\{15\}$的离差平方和为0；
第二组平均数：$\frac{15+18+24}{3}=19$，离差平方和为$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=42$；
总组内离差平方和：$0+42=42$。
2. 第二种分组：$\{15,15\}$和$\{18,24\}$
第一组平均数：$\frac{15+15}{2}=15$，离差平方和为0；
第二组平均数：$\frac{18+24}{2}=21$，离差平方和为$(18-21)^2+(24-21)^2=18$；
总组内离差平方和：$0+18=18$。
3. 第三种分组：$\{15,15,18\}$和$\{24\}$
第一组平均数：$\frac{15+15+18}{3}=16$，离差平方和为$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=6$；
第二组$\{24\}$的离差平方和为0；
总组内离差平方和：$6+0=6$。
比较三种情况的总离差平方和：$6＜18＜42$，因此第三种分组总组内离差平方和最小。
【答案】
两组分别为$\{15,15,18\}$和$\{24\}$
【知识点】
平均数计算、离差平方和计算、数据的离散程度
【点评】
本题主要考查对离差平方和的理解与计算能力，解题关键是不重不漏枚举出所有可能的分组，准确计算每组的平均数和离差平方和后比较总大小即可，计算时要注意避免运算错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，核心目标是找到总组内离差平方和最小的分组方案。首先我们可以先将数据从小到大排序，方便后续分组；其次4个数据分成两组，共3种不重复的分法：1个+3个、2个+2个、3个+1个。接下来对每种分组，分别计算两组的离差平方和（即每组内各数据与本组平均数的差的平方和），再求和得到该分组的总组内离差平方和，最后比较三种情况的总和，最小的对应的分组就是答案。
【解析】
首先将4个数据从小到大排序为：15，15，18，24。
4个数据分成两组共有3种情况，分别计算如下：
1. 第一种分组：$\{15\}$和$\{15,18,24\}$
第一组$\{15\}$的离差平方和为0；
第二组平均数：$\frac{15+18+24}{3}=19$，离差平方和为$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=42$；
总组内离差平方和：$0+42=42$。
2. 第二种分组：$\{15,15\}$和$\{18,24\}$
第一组平均数：$\frac{15+15}{2}=15$，离差平方和为0；
第二组平均数：$\frac{18+24}{2}=21$，离差平方和为$(18-21)^2+(24-21)^2=18$；
总组内离差平方和：$0+18=18$。
3. 第三种分组：$\{15,15,18\}$和$\{24\}$
第一组平均数：$\frac{15+15+18}{3}=16$，离差平方和为$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=6$；
第二组$\{24\}$的离差平方和为0；
总组内离差平方和：$6+0=6$。
比较三种情况的总离差平方和：$6＜18＜42$，因此第三种分组总组内离差平方和最小。
【答案】
两组分别为$\{15,15,18\}$和$\{24\}$
【知识点】
平均数计算、离差平方和计算、数据的离散程度
【点评】
本题主要考查对离差平方和的理解与计算能力，解题关键是不重不漏枚举出所有可能的分组，准确计算每组的平均数和离差平方和后比较总大小即可，计算时要注意避免运算错误。
【难度系数】
0.7
3. 国庆节10月1日至4日期间，某景区每天的游客人数如下表所示：
根据组内离差平方和最小的原则，将这4天的数据分为两组应该如何分？
根据组内离差平方和最小的原则，将这4天的数据分为两组应该如何分？
答案
将数据从小到大排列为3,4,4,5,
若分为{3},{4,4,5},则$\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=\frac{4+4+5}{3}=\frac{13}{3}$,
$S_1^2=0,S_2^2=(4-\frac{13}{3})^2+(4-\frac{13}{3})^2+(5-\frac{13}{3})^2=\frac{2}{3}$,
$S_1^2+S_2^2=\frac{2}{3}$;
若分为{3,4},{4,5},则$\overline{x}_1=\frac{7}{2},\overline{x}_2=\frac{9}{2}$,
$S_1^2=(3-\frac{7}{2})^2+(4-\frac{7}{2})^2=\frac{1}{2}$,
$S_2^2=(4-\frac{9}{2})^2+(5-\frac{9}{2})^2=\frac{1}{2},S_1^2+S_2^2=1$,
若分为{3,4,4},{5},则$\overline{x}_1=\frac{11}{3},\overline{x}_2=5$,
$S_1^2=(3-\frac{11}{3})^2+(4-\frac{11}{3})^2+(4-\frac{11}{3})^2=\frac{2}{3},S_2^2=0$,
$S_1^2+S_2^2=\frac{2}{3}$,
综上,若按组内离差平方和最小原则,则分为{3},{4,4,5}或{3,4,4},{5}.
若分为{3},{4,4,5},则$\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=\frac{4+4+5}{3}=\frac{13}{3}$,
$S_1^2=0,S_2^2=(4-\frac{13}{3})^2+(4-\frac{13}{3})^2+(5-\frac{13}{3})^2=\frac{2}{3}$,
$S_1^2+S_2^2=\frac{2}{3}$;
若分为{3,4},{4,5},则$\overline{x}_1=\frac{7}{2},\overline{x}_2=\frac{9}{2}$,
$S_1^2=(3-\frac{7}{2})^2+(4-\frac{7}{2})^2=\frac{1}{2}$,
$S_2^2=(4-\frac{9}{2})^2+(5-\frac{9}{2})^2=\frac{1}{2},S_1^2+S_2^2=1$,
若分为{3,4,4},{5},则$\overline{x}_1=\frac{11}{3},\overline{x}_2=5$,
$S_1^2=(3-\frac{11}{3})^2+(4-\frac{11}{3})^2+(4-\frac{11}{3})^2=\frac{2}{3},S_2^2=0$,
$S_1^2+S_2^2=\frac{2}{3}$,
综上,若按组内离差平方和最小原则,则分为{3},{4,4,5}或{3,4,4},{5}.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们遵循以下思路：首先明确分组规则是将4天数据分为两个非空组，目标是两组的组内离差平方和之和最小。第一步，先将游客人数数据从小到大排序，列举所有可能的非空分组：4个数据分两组，共有3种分法，分别是1个数据和3个数据为一组、2个数据和2个数据为一组、3个数据和1个数据为一组。第二步，针对每一种分组，分别计算两组的平均数，再算出每组的组内离差平方和，求和得到该分组的总离差平方和。第三步，比较三种分组的总离差平方和，总离差平方和最小的分组即为所求。
【解析】
首先将4天的游客人数（单位：千人）从小到大排列为：3，4，4，5，分别计算三种分组的总离差平方和：
1. 分组为$\{3\},\{4,4,5\}$：
第一组平均数$\overline{x}_1=3$，组内离差平方和$S_1^2=(3-3)^2=0$；
第二组平均数$\overline{x}_2=\frac{4+4+5}{3}=\frac{13}{3}$，组内离差平方和$S_2^2=(4-\frac{13}{3})^2+(4-\frac{13}{3})^2+(5-\frac{13}{3})^2=\frac{2}{3}$；
总离差平方和为$S_1^2+S_2^2=0+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$。
2. 分组为$\{3,4\},\{4,5\}$：
第一组平均数$\overline{x}_1=\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}$，组内离差平方和$S_1^2=(3-\frac{7}{2})^2+(4-\frac{7}{2})^2=\frac{1}{2}$；
第二组平均数$\overline{x}_2=\frac{4+5}{2}=\frac{9}{2}$，组内离差平方和$S_2^2=(4-\frac{9}{2})^2+(5-\frac{9}{2})^2=\frac{1}{2}$；
总离差平方和为$S_1^2+S_2^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$。
3. 分组为$\{3,4,4\},\{5\}$：
第一组平均数$\overline{x}_1=\frac{3+4+4}{3}=\frac{11}{3}$，组内离差平方和$S_1^2=(3-\frac{11}{3})^2+(4-\frac{11}{3})^2+(4-\frac{11}{3})^2=\frac{2}{3}$；
第二组平均数$\overline{x}_2=5$，组内离差平方和$S_2^2=(5-5)^2=0$；
总离差平方和为$S_1^2+S_2^2=\frac{2}{3}+0=\frac{2}{3}$。
对比可知，第一种和第三种分组的总离差平方和最小。
【答案】
共有两种分法：①10月4日为一组，10月1日、10月2日、10月3日为另一组；②10月2日为一组，10月1日、10月3日、10月4日为另一组（或按数值分为$\{3\},\{4,4,5\}$或$\{3,4,4\},\{5\}$）。
【知识点】
离差平方和计算，平均数计算，数据分组
【点评】
本题主要考查对离差平方和的理解与应用，解题的关键是不重不漏地列举出所有可能的分组，再通过准确计算平均数和离差平方和比较得出结果，计算过程中要注意避免运算错误。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们遵循以下思路：首先明确分组规则是将4天数据分为两个非空组，目标是两组的组内离差平方和之和最小。第一步，先将游客人数数据从小到大排序，列举所有可能的非空分组：4个数据分两组，共有3种分法，分别是1个数据和3个数据为一组、2个数据和2个数据为一组、3个数据和1个数据为一组。第二步，针对每一种分组，分别计算两组的平均数，再算出每组的组内离差平方和，求和得到该分组的总离差平方和。第三步，比较三种分组的总离差平方和，总离差平方和最小的分组即为所求。
【解析】
首先将4天的游客人数（单位：千人）从小到大排列为：3，4，4，5，分别计算三种分组的总离差平方和：
1. 分组为$\{3\},\{4,4,5\}$：
第一组平均数$\overline{x}_1=3$，组内离差平方和$S_1^2=(3-3)^2=0$；
第二组平均数$\overline{x}_2=\frac{4+4+5}{3}=\frac{13}{3}$，组内离差平方和$S_2^2=(4-\frac{13}{3})^2+(4-\frac{13}{3})^2+(5-\frac{13}{3})^2=\frac{2}{3}$；
总离差平方和为$S_1^2+S_2^2=0+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$。
2. 分组为$\{3,4\},\{4,5\}$：
第一组平均数$\overline{x}_1=\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}$，组内离差平方和$S_1^2=(3-\frac{7}{2})^2+(4-\frac{7}{2})^2=\frac{1}{2}$；
第二组平均数$\overline{x}_2=\frac{4+5}{2}=\frac{9}{2}$，组内离差平方和$S_2^2=(4-\frac{9}{2})^2+(5-\frac{9}{2})^2=\frac{1}{2}$；
总离差平方和为$S_1^2+S_2^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$。
3. 分组为$\{3,4,4\},\{5\}$：
第一组平均数$\overline{x}_1=\frac{3+4+4}{3}=\frac{11}{3}$，组内离差平方和$S_1^2=(3-\frac{11}{3})^2+(4-\frac{11}{3})^2+(4-\frac{11}{3})^2=\frac{2}{3}$；
第二组平均数$\overline{x}_2=5$，组内离差平方和$S_2^2=(5-5)^2=0$；
总离差平方和为$S_1^2+S_2^2=\frac{2}{3}+0=\frac{2}{3}$。
对比可知，第一种和第三种分组的总离差平方和最小。
【答案】
共有两种分法：①10月4日为一组，10月1日、10月2日、10月3日为另一组；②10月2日为一组，10月1日、10月3日、10月4日为另一组（或按数值分为$\{3\},\{4,4,5\}$或$\{3,4,4\},\{5\}$）。
【知识点】
离差平方和计算，平均数计算，数据分组
【点评】
本题主要考查对离差平方和的理解与应用，解题的关键是不重不漏地列举出所有可能的分组，再通过准确计算平均数和离差平方和比较得出结果，计算过程中要注意避免运算错误。
【难度系数】
0.6
4. 如果把数据 9,6,3,5,12 分成三组,根据组内离差平方和最小的原则,应该如何分?
答案
将数据从小到大排列为3,5,6,9,12,
若分为{3},{5},{6,9,12},则$\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=5,\overline{x}_3=9$,
$S_1^2=0,S_2^2=0,S_3^2=18,S_1^2+S_2^2+S_3^2=18$;
若分为{3},{5,6},{9,12},则$\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=\frac{11}{2},\overline{x}_3=\frac{21}{2}$,
$S_1^2=0,S_2^2=\frac{1}{2},S_3^2=\frac{9}{2},S_1^2+S_2^2+S_3^2=5$;
若分为{3},{5,6,9},{12},则$\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=\frac{20}{3},\overline{x}_3=12$,
$S_1^2=0,S_2^2=\frac{26}{3},S_3^2=0,S_1^2+S_2^2+S_3^2=\frac{26}{3}$;
若分为{3,5},{6},{9,12},则$\overline{x}_1=4,\overline{x}_2=6,\overline{x}_3=\frac{21}{2}$,
$S_1^2=2,S_2^2=0,S_3^2=\frac{9}{2},S_1^2+S_2^2+S_3^2=\frac{13}{2}$;
若分为{3,5},{6,9},{12},则$\overline{x}_1=4,\overline{x}_2=\frac{15}{2},\overline{x}_3=12$,
$S_1^2=2,S_2^2=\frac{9}{2},S_3^2=0,S_1^2+S_2^2+S_3^2=\frac{13}{2}$;
若分为{3,5,6},{9},{12},则$\overline{x}_1=\frac{14}{3},\overline{x}_2=9,\overline{x}_3=12$,
$S_1^2=\frac{14}{3},S_2^2=0,S_3^2=0,S_1^2+S_2^2+S_3^2=\frac{14}{3}$.
故若按组内离差平方和最小的原则,应该分为{3,5,6},{9},{12}.
若分为{3},{5},{6,9,12},则$\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=5,\overline{x}_3=9$,
$S_1^2=0,S_2^2=0,S_3^2=18,S_1^2+S_2^2+S_3^2=18$;
若分为{3},{5,6},{9,12},则$\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=\frac{11}{2},\overline{x}_3=\frac{21}{2}$,
$S_1^2=0,S_2^2=\frac{1}{2},S_3^2=\frac{9}{2},S_1^2+S_2^2+S_3^2=5$;
若分为{3},{5,6,9},{12},则$\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=\frac{20}{3},\overline{x}_3=12$,
$S_1^2=0,S_2^2=\frac{26}{3},S_3^2=0,S_1^2+S_2^2+S_3^2=\frac{26}{3}$;
若分为{3,5},{6},{9,12},则$\overline{x}_1=4,\overline{x}_2=6,\overline{x}_3=\frac{21}{2}$,
$S_1^2=2,S_2^2=0,S_3^2=\frac{9}{2},S_1^2+S_2^2+S_3^2=\frac{13}{2}$;
若分为{3,5},{6,9},{12},则$\overline{x}_1=4,\overline{x}_2=\frac{15}{2},\overline{x}_3=12$,
$S_1^2=2,S_2^2=\frac{9}{2},S_3^2=0,S_1^2+S_2^2+S_3^2=\frac{13}{2}$;
若分为{3,5,6},{9},{12},则$\overline{x}_1=\frac{14}{3},\overline{x}_2=9,\overline{x}_3=12$,
$S_1^2=\frac{14}{3},S_2^2=0,S_3^2=0,S_1^2+S_2^2+S_3^2=\frac{14}{3}$.
故若按组内离差平方和最小的原则,应该分为{3,5,6},{9},{12}.
解析
【分析】
组内离差平方和反映组内数据的离散程度，值越小说明组内数据越接近，因此要让总离差平方和最小，需将数值接近的数分到同一组。解题思路如下：第一步先将数据从小到大排序，因为非连续的分组会导致组内数据差异更大、离差平方和更高，所以仅需考虑连续分段的分组方式；第二步明确5个数据分3组（每组至少1个）的所有可能类型：1个+1个+3个、1个+2个+2个，列举所有符合的连续分组；第三步分别计算每种分组的总组内离差平方和，比较大小后找到总和最小的分组即可。
【解析】
首先将数据从小到大排列为：3，5，6，9，12，分情况计算各分组的总离差平方和：
1. 分组为$\{3\},\{5\},\{6,9,12\}$：
$\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=5,\overline{x}_3=\frac{6+9+12}{3}=9$
$S_1^2=0,S_2^2=0,S_3^2=(6-9)^2+(9-9)^2+(12-9)^2=18$
总离差平方和：$0+0+18=18$
2. 分组为$\{3\},\{5,6\},\{9,12\}$：
$\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=\frac{5+6}{2}=\frac{11}{2},\overline{x}_3=\frac{9+12}{2}=\frac{21}{2}$
$S_1^2=0,S_2^2=(5-\frac{11}{2})^2+(6-\frac{11}{2})^2=\frac{1}{2},S_3^2=(9-\frac{21}{2})^2+(12-\frac{21}{2})^2=\frac{9}{2}$
总离差平方和：$0+\frac{1}{2}+\frac{9}{2}=5$
3. 分组为$\{3\},\{5,6,9\},\{12\}$：
$\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=\frac{5+6+9}{3}=\frac{20}{3},\overline{x}_3=12$
$S_1^2=0,S_2^2=(5-\frac{20}{3})^2+(6-\frac{20}{3})^2+(9-\frac{20}{3})^2=\frac{26}{3},S_3^2=0$
总离差平方和：$\frac{26}{3}\approx8.67$
4. 分组为$\{3,5\},\{6\},\{9,12\}$：
$\overline{x}_1=\frac{3+5}{2}=4,\overline{x}_2=6,\overline{x}_3=\frac{21}{2}$
$S_1^2=(3-4)^2+(5-4)^2=2,S_2^2=0,S_3^2=\frac{9}{2}$
总离差平方和：$2+\frac{9}{2}=6.5$
5. 分组为$\{3,5\},\{6,9\},\{12\}$：
$\overline{x}_1=4,\overline{x}_2=\frac{6+9}{2}=\frac{15}{2},\overline{x}_3=12$
$S_1^2=2,S_2^2=(6-\frac{15}{2})^2+(9-\frac{15}{2})^2=\frac{9}{2},S_3^2=0$
总离差平方和：$2+\frac{9}{2}=6.5$
6. 分组为$\{3,5,6\},\{9\},\{12\}$：
$\overline{x}_1=\frac{3+5+6}{3}=\frac{14}{3},\overline{x}_2=9,\overline{x}_3=12$
$S_1^2=(3-\frac{14}{3})^2+(5-\frac{14}{3})^2+(6-\frac{14}{3})^2=\frac{14}{3},S_2^2=0,S_3^2=0$
总离差平方和：$\frac{14}{3}\approx4.67$
比较所有总离差平方和：$\frac{14}{3}＜5＜6.5＜\frac{26}{3}＜18$，因此$\{3,5,6\},\{9\},\{12\}$是符合要求的分组。
【答案】
分为$\{3,5,6\}$、$\{9\}$、$\{12\}$
【知识点】
离差平方和计算，平均数计算，分类讨论
【点评】
本题重点考察对离差平方和意义的理解，离差平方和越小代表组内数据波动越小、相似度越高。解题时先排序再仅讨论连续分组的方式可大幅减少计算量，需注意计算过程细心，避免运算错误。
【难度系数】
0.6
组内离差平方和反映组内数据的离散程度，值越小说明组内数据越接近，因此要让总离差平方和最小，需将数值接近的数分到同一组。解题思路如下：第一步先将数据从小到大排序，因为非连续的分组会导致组内数据差异更大、离差平方和更高，所以仅需考虑连续分段的分组方式；第二步明确5个数据分3组（每组至少1个）的所有可能类型：1个+1个+3个、1个+2个+2个，列举所有符合的连续分组；第三步分别计算每种分组的总组内离差平方和，比较大小后找到总和最小的分组即可。
【解析】
首先将数据从小到大排列为：3，5，6，9，12，分情况计算各分组的总离差平方和：
1. 分组为$\{3\},\{5\},\{6,9,12\}$：
$\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=5,\overline{x}_3=\frac{6+9+12}{3}=9$
$S_1^2=0,S_2^2=0,S_3^2=(6-9)^2+(9-9)^2+(12-9)^2=18$
总离差平方和：$0+0+18=18$
2. 分组为$\{3\},\{5,6\},\{9,12\}$：
$\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=\frac{5+6}{2}=\frac{11}{2},\overline{x}_3=\frac{9+12}{2}=\frac{21}{2}$
$S_1^2=0,S_2^2=(5-\frac{11}{2})^2+(6-\frac{11}{2})^2=\frac{1}{2},S_3^2=(9-\frac{21}{2})^2+(12-\frac{21}{2})^2=\frac{9}{2}$
总离差平方和：$0+\frac{1}{2}+\frac{9}{2}=5$
3. 分组为$\{3\},\{5,6,9\},\{12\}$：
$\overline{x}_1=3,\overline{x}_2=\frac{5+6+9}{3}=\frac{20}{3},\overline{x}_3=12$
$S_1^2=0,S_2^2=(5-\frac{20}{3})^2+(6-\frac{20}{3})^2+(9-\frac{20}{3})^2=\frac{26}{3},S_3^2=0$
总离差平方和：$\frac{26}{3}\approx8.67$
4. 分组为$\{3,5\},\{6\},\{9,12\}$：
$\overline{x}_1=\frac{3+5}{2}=4,\overline{x}_2=6,\overline{x}_3=\frac{21}{2}$
$S_1^2=(3-4)^2+(5-4)^2=2,S_2^2=0,S_3^2=\frac{9}{2}$
总离差平方和：$2+\frac{9}{2}=6.5$
5. 分组为$\{3,5\},\{6,9\},\{12\}$：
$\overline{x}_1=4,\overline{x}_2=\frac{6+9}{2}=\frac{15}{2},\overline{x}_3=12$
$S_1^2=2,S_2^2=(6-\frac{15}{2})^2+(9-\frac{15}{2})^2=\frac{9}{2},S_3^2=0$
总离差平方和：$2+\frac{9}{2}=6.5$
6. 分组为$\{3,5,6\},\{9\},\{12\}$：
$\overline{x}_1=\frac{3+5+6}{3}=\frac{14}{3},\overline{x}_2=9,\overline{x}_3=12$
$S_1^2=(3-\frac{14}{3})^2+(5-\frac{14}{3})^2+(6-\frac{14}{3})^2=\frac{14}{3},S_2^2=0,S_3^2=0$
总离差平方和：$\frac{14}{3}\approx4.67$
比较所有总离差平方和：$\frac{14}{3}＜5＜6.5＜\frac{26}{3}＜18$，因此$\{3,5,6\},\{9\},\{12\}$是符合要求的分组。
【答案】
分为$\{3,5,6\}$、$\{9\}$、$\{12\}$
【知识点】
离差平方和计算，平均数计算，分类讨论
【点评】
本题重点考察对离差平方和意义的理解，离差平方和越小代表组内数据波动越小、相似度越高。解题时先排序再仅讨论连续分组的方式可大幅减少计算量，需注意计算过程细心，避免运算错误。
【难度系数】
0.6
