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1. (2025·盐城期中)定义:如图,点C、点D把线段AB分割成AC,CD和BD,若以AC,CD,BD为边的三角形是一个直角三角形,则称点C、点D是线段AB的勾股分割点.已知点M、点N是线段AB的勾股分割点,$AM=2,MN=3$,则$BN=$
$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$
.答案
$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$ 解析:①当 MN 为最长线段时,$\because$ 点 M,N 是线段 AB 的勾股分割点,$\therefore BN=\sqrt{MN^{2}-AM^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}.$
②当 BN 为最长线段时,$\because$ 点 M,N 是线段 AB 的勾股分割点,$\therefore BN=\sqrt{MN^{2}+AM^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}.$综上所述,$BN=$$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}.$
②当 BN 为最长线段时,$\because$ 点 M,N 是线段 AB 的勾股分割点,$\therefore BN=\sqrt{MN^{2}+AM^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}.$综上所述,$BN=$$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}.$
2. (2025·淮安期中)我们知道,负数没有算术平方根,但对于三个互不相等的负整数,若两两乘积的算术平方根都是整数,则称这三个数为“完美组合数”.例如:-1,-4,-9这三个数, $\sqrt{(-9)×(-4)} = 6$, $\sqrt{(-9)×(-1)} = 3$, $\sqrt{(-4)×(-1)} = 2$,其结果6,3,2都是整数,所以-1,-4,-9这三个数称为“完美组合数”.
(1)-3,-12,-27这三个数
(2)若三个数-5,m,-20是“完美组合数”,其中有两个数乘积的算术平方根为15,求m的值.
(1)-3,-12,-27这三个数
是
“完美组合数”(填“是”或“不是”).(2)若三个数-5,m,-20是“完美组合数”,其中有两个数乘积的算术平方根为15,求m的值.
答案
(1) 是 解析:$\because \sqrt{(-3) ×(-12)}=\sqrt{36}=6,$$\sqrt{(-3) ×(-27)}=\sqrt{81}=9,\sqrt{(-12) ×(-27)}=\sqrt{324}=18,$其中 6,9,18 都是整数,$\therefore -3,-12,-27$ 这三个数是“完美组合数”.
(2) 当$\sqrt{-5m}=15$时,则$-5m=225$,解得$m=-45.$$\because \sqrt{(-45) ×(-20)}=\sqrt{900}=30,\sqrt{(-5) ×(-20)}=$$\sqrt{100}=10$,且 10,15,30 都是整数,$\therefore$ 此时满足-5,m,-20是“完美组合数”. 当$\sqrt{-20m}=15$时,则$-20m=225$,解得$m=-\dfrac{45}{4}$,不满足 m 是整数,不符合题意. 综上所述,$m=-45.$
(2) 当$\sqrt{-5m}=15$时,则$-5m=225$,解得$m=-45.$$\because \sqrt{(-45) ×(-20)}=\sqrt{900}=30,\sqrt{(-5) ×(-20)}=$$\sqrt{100}=10$,且 10,15,30 都是整数,$\therefore$ 此时满足-5,m,-20是“完美组合数”. 当$\sqrt{-20m}=15$时,则$-20m=225$,解得$m=-\dfrac{45}{4}$,不满足 m 是整数,不符合题意. 综上所述,$m=-45.$
3. (2026·泰州期末)【定义1】对于给定的两个函数,任取自变量$x$的一个值,当$x ≥ 0$时,它们对应的函数值相等;当$x＜0$时,它们对应的函数值互为相反数.我们称这样的两个函数互为“友好函数”.
例如:一次函数$y=x-1$,它的“友好函数”为
$y=\begin{cases} x-1(x ≥ 0),\\ -x+1(x＜0).\\ \end{cases}$
【定义2】平面直角坐标系中将经过点$(0,b)$且垂直于$y$轴的直线记为直线$y=b$.
已知一次函数$y=2x-4$,请回答下列问题:
(1)该一次函数的“友好函数”为;
(2)已知点$A(a,2)$在该一次函数的“友好函数”的图象上,求$a$的值;
(3)当$-1 ≤ x ≤ 1$时,求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值;
(4)已知直线$y=b$与该一次函数的“友好函数”的图象只有一个交点,直接写出$b$的取值范围.
例如:一次函数$y=x-1$,它的“友好函数”为
$y=\begin{cases} x-1(x ≥ 0),\\ -x+1(x＜0).\\ \end{cases}$
【定义2】平面直角坐标系中将经过点$(0,b)$且垂直于$y$轴的直线记为直线$y=b$.
已知一次函数$y=2x-4$,请回答下列问题:
(1)该一次函数的“友好函数”为;
(2)已知点$A(a,2)$在该一次函数的“友好函数”的图象上,求$a$的值;
(3)当$-1 ≤ x ≤ 1$时,求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值;
(4)已知直线$y=b$与该一次函数的“友好函数”的图象只有一个交点,直接写出$b$的取值范围.
答案
(1)$y=\begin{cases} 2x-4(x ≥ 0),\\ -2x+4(x ＜ 0)\\ \end{cases}$ 解析:由题意,根据“友好函数”的定义,当$x ≥ 0$时,$y=2x-4$,$\therefore$ 当$x ＜ 0$时,$y=-2x+4.$
(2) 由题意,①当$a ≥ 0$时,$\because$ 点$A(a,2)$在该一次函数的“友好函数”的图象上,$\therefore 2a-4=2$,$\therefore a=3$,符合题意;
②当$a ＜ 0$时,$\because$ 点$A(a,2)$在该一次函数的“友好函数”的图象上,$\therefore -2a+4=2$,$\therefore a=1 ＞ 0$,不符合题意. 综上,$a=3.$
(3) 当$-1 ≤ x ＜ 0$时,$y=-2x+4$,y 随 x 的增大而减小,$\therefore$ 当$x=-1$时,y 有最大值为 6,当$x ＜ 0$时,$y ＞ 4$,且 x 越大,y 越接近 4;
当$0 ≤ x ≤ 1$时,$y=2x-4$,y 随 x 的增大而增大,$\therefore$ 当$x=0$时,y 有最小值为-4,当$x=1$时,y 有最大值为-2.
综上所述,该一次函数的“友好函数”的最大值为 6,最小值为-4.
(4)$-4 ≤ b ≤ 4.$ 解析:由题意,画出一次函数$y=2x-4$的“友好函数”$y=\begin{cases} 2x-4(x ≥ 0),\\ -2x+4(x ＜ 0)\\ \end{cases}$的图象如下,$\because$ 直线$y=b$与该一次函数的“友好函数”的图象只有一个交点,$\therefore -4 ≤$$b ≤ 4.$
(2) 由题意,①当$a ≥ 0$时,$\because$ 点$A(a,2)$在该一次函数的“友好函数”的图象上,$\therefore 2a-4=2$,$\therefore a=3$,符合题意;
②当$a ＜ 0$时,$\because$ 点$A(a,2)$在该一次函数的“友好函数”的图象上,$\therefore -2a+4=2$,$\therefore a=1 ＞ 0$,不符合题意. 综上,$a=3.$
(3) 当$-1 ≤ x ＜ 0$时,$y=-2x+4$,y 随 x 的增大而减小,$\therefore$ 当$x=-1$时,y 有最大值为 6,当$x ＜ 0$时,$y ＞ 4$,且 x 越大,y 越接近 4;
当$0 ≤ x ≤ 1$时,$y=2x-4$,y 随 x 的增大而增大,$\therefore$ 当$x=0$时,y 有最小值为-4,当$x=1$时,y 有最大值为-2.
综上所述,该一次函数的“友好函数”的最大值为 6,最小值为-4.
(4)$-4 ≤ b ≤ 4.$ 解析:由题意,画出一次函数$y=2x-4$的“友好函数”$y=\begin{cases} 2x-4(x ≥ 0),\\ -2x+4(x ＜ 0)\\ \end{cases}$的图象如下,$\because$ 直线$y=b$与该一次函数的“友好函数”的图象只有一个交点,$\therefore -4 ≤$$b ≤ 4.$
