5. (一)问题提出(问题提出下的(1)(2)(3)问不需要作答)
(1)平面直角坐标系中,如果 A,B 是 x 轴上的两点,它们对应的横坐标分别是 $x_A,x_B$,C,D 是y 轴上的两点,它们对应的纵坐标分别是 $y_C$,$y_D$,那么 A,B 两点间的距离,C,D 两点间的距离分别是多少?
(2)平面直角坐标系中任意一点 $P(x,y)$ 到原点的距离是多少?
(3)已知平面上的两点 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$,如何求 $P_1,P_2$ 两点间的距离 $|P_1P_2|$?
(二)问题探究
(1)求平面直角坐标系中 x 轴上的两点 $E(5,$$0),F(-2,0)$ 之间的距离,可以借助绝对值表示 $|EF|=|5-(-2)|=7$,同理,y 轴上的两点$M(0,3),N(0,5)$ 之间的距离 $|MN|=|3-5|=2$.
结论:在平面直角坐标系中,如果 A,B 是 x 轴上的两点,它们对应的横坐标分别是 $x_A,x_B$,那么 A,B 两点间的距离 $|AB|=$;C,D是 y 轴上的两点,它们对应的纵坐标分别是 $y_C$,$y_D$,那么 C,D 两点间的距离 $|CD|=$.
(2)如图①,平面直角坐标系中一点 $B(3,4)$,过点 B 向 x 轴作垂线,垂足为 M,由勾股定理得 $|OB|=$.
结论:平面直角坐标系中任意一点 $P(x,y)$ 到原点的距离 $|OP|=$.
(3)如图②,要求 AB 或 DE 的长度,可以转化为求 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 或 $\mathrm{Rt}△ DEF$ 的斜边长,例如:从坐标系中发现:$D(-7,5),E(4,-3),F(-7,-3)$,所以 $|DF|=|5-(-3)|=8$,$|EF|=|4-(-7)|=11$,由勾股定理,得 $|DE|=\sqrt{8^2+11^2}=\sqrt{185}$.在图③中,设 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$,试用 $x_1,x_2$,$y_1,y_2$ 表示 $|P_1P_2|=$.

(三)拓展应用
试用以上所得结论解决如下问题:
已知 $A(0,1),B(4,3)$.
(1)C 为坐标轴上的点,且使得 $△ ABC$ 是以 AB为底边的等腰三角形,求点 C 的坐标;
(2)在坐标轴上有一点 M,使 $△ ABM$ 是以 AB为直角边的直角三角形,直接写出点 M 的坐标.

问题探究: (1) $|x_A-x_B|$ $|y_C-y_D|$ 解析: 根据题中定义即可得到 $|AB|=|x_A-x_B|$, $|CD|=|y_C-y_D|.$
(2) $5$ $\sqrt{x^2+y^2}$ 解析: 平面直角坐标系中一点 $B(3,4)$, 过点 $B$ 向 $x$ 轴作垂线, 垂足为 $M$, $|OM|=3$, $|BM|=4$, 由勾股定理得 $|OB|=5$; 结论: 平面直角坐标系中任意一点 $P(x,y)$到原点的距离 $|OP|=\sqrt{x^2+y^2}.$
(3) $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ 解析: 在题图③中, $P_1(x_1,y_1)$,$P_2(x_2,y_2)$, $|P_1C|=y_1-y_2$, $|P_2C|=x_1-x_2$, $|P_1P_2|=$$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.$
拓展应用: (1) 当点 $C$ 在 $x$ 轴上时, 设 $C(x,0)$, $\because △ ABC$ 是以 $AB$ 为底边的等腰三角形, $\therefore AC=BC$, $\therefore \sqrt{(0-x)^2+(1-0)^2}=$$\sqrt{(4-x)^2+(3-0)^2}$, 解得 $x=3$, $\therefore C(3,0)$; 当点 $C$ 在 $y$ 轴上时, 设 $C(0,y)$, $\because △ ABC$ 是以 $AB$ 为底边的等腰三角形, $\therefore AC=BC$, $\therefore \sqrt{(0-0)^2+(1-y)^2}=\sqrt{(4-0)^2+(3-y)^2}$,解得 $y=6$, $\therefore C(0,6)$. 综上, 点 $C$ 的坐标为 $(3,0)$ 或 $(0,6).$
(2) 点 $M$ 的坐标为 $(\dfrac{1}{2},0)$ 或 $(\dfrac{11}{2},0)$ 或 $(0,11).$
解析: 当 $∠ BAM=90°$ 时, 如图①, 设 $M(a,0)$, $\because ∠ AOM=$$90°$, $\therefore AM^2=1+a^2$. $\because ∠ BAM=90°$, $\therefore AM^2+AB^2=BM^2$, $\therefore(1+$$a^2)+[(4-0)^2+(3-1)^2]=(4-a)^2+(3-0)^2$, 解得 $a=$$\dfrac{1}{2}$, $\therefore M(\dfrac{1}{2},0).$

当 $∠ ABM=90°$ 时, 如图②, 当点 $M$ 在 $x$ 轴上时 (在 $M_2$ 处),设 $M_2(a,0)$, 则 $AM_2^2=1+a^2$, $\because ∠ ABM_2=90°$, $\therefore AB^2+$$BM_2^2=AM_2^2$, $\therefore[(4-0)^2+(3-1)^2]+[(4-a)^2+(3-0)^2]=1+$$a^2$, 解得 $a=\dfrac{11}{2}$, $\therefore M_2(\dfrac{11}{2},0);$
当点 $M$ 在 $y$ 轴上时 (在 $M_1$ 处), 设 $M_1(0,b)$, 则 $AM_1=b-$$1$, $\because AB^2+BM_1^2=AM_1^2$, $\therefore[(4-0)^2+(3-1)^2]+[(4-0)^2+$$(3-b)^2]=(b-1)^2$, 解得 $b=11$, $\therefore M_1(0,11)$. 综上, 点 $M$ 的坐标为 $(\dfrac{1}{2},0)$ 或 $(\dfrac{11}{2},0)$ 或 $(0,11).$