4. (2025·扬州期末)定义:在$△ ABC$中,若$BC=$$a$,$AC=b$,$AB=c$,$a$,$b$,$c$满足$ac+a^{2}=b^{2}$,则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题:
(1)如图①所示,若等腰三角形$ABC$是“类勾股三角形”,$AB=BC$,$AC＞AB$,求$∠ A$的度数.
(2)如图②所示,在$△ ABC$中,$∠ B=2∠ A$,且$∠ C＞∠ A$. 求证:$△ ABC$为“类勾股三角形”.小明同学想到可以在$AB$上找一点$D$使得$AD=$$CD$,再作$CE⊥ BD$.
①探索$△ CDB$的形状并说明理由;
②请你帮助小明完成证明过程.

(1)$\because AB=BC$,$AC ＞ AB$,$\therefore a=c$,$b ＞ c$.$\because △ ABC$是“类勾股三角形”,$\therefore ac+a^{2}=b^{2}$,$\therefore c^{2}+a^{2}=b^{2}$,$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形,$\therefore ∠ A=45^{ \circ }.$
(2) ①等腰三角形,理由如下:$\because AD=CD$,$\therefore ∠ A= ∠ ACD$,$\therefore ∠ CDB= ∠ ACD+ ∠ A=2 ∠ A$.$\because ∠ B=2 ∠ A$,$\therefore ∠ CDB=$$∠ B$,$\therefore △ CDB$是等腰三角形.
②由①得$CD=CB=a$,$\therefore AD=CD=a$,$\therefore DB=AB-AD=c-a.$$\because CE ⊥ AB$,$\therefore DE=BE=\dfrac{1}{2}(c-a)$,$\therefore AE=AD+DE=\dfrac{1}{2}(c+a).$在$\mathrm{Rt} △ ACE$中,$CE^{2}=AC^{2}-AE^{2}=b^{2}-\left \lbrack\dfrac{1}{2}(c+a)\right \rbrack^{2}$,在$\mathrm{Rt} △ BCE$中,$CE^{2}=BC^{2}-BE^{2}=a^{2}-\left \lbrack\dfrac{1}{2}(c-a)\right \rbrack^{2}$,$\therefore b^{2}-$$\left \lbrack\dfrac{1}{2}(c+a)\right \rbrack^{2}=a^{2}-\left \lbrack\dfrac{1}{2}(c-a)\right \rbrack^{2}$,$\therefore b^{2}=ac+a^{2}$,$\therefore △ ABC$是“类勾股三角形”.

5. 定义:在平面直角坐标系中,对于任意一次函数 $y=k x+b(k ≠ 0)$ 的图象,作该图象在直线$x=m$ 的右侧部分关于直线 $x=m$ 的轴对称图形,与原图象在直线 $x=m$ 的右侧部分及与直线 $x=m$ 的交点共同构成一个新函数的图象,则这个新函数叫作原函数关于直线 $x=m$ 的“V型函数”.例如:图①就是一次函数 $y=x+2$关于直线 $x=-1$ 的“V型函数”图象.
(1)请在图②中画出函数 $y=x+2$ 关于直线 $x=$0的“V型函数”图象;
(2)若函数 $y=x+10$ 关于直线 $x=m$ 的“V型函数”图象与x轴只有一个交点,则 $m=$;
(3)如图③,点 $C(-12,0)$,以OC为斜边在x轴上方作等腰 $\mathrm{Rt}△ OCB$,当函数 $y=x+10$关于直线 $x=m$ 的“V型函数”图象与$△ OCB$的边只有两个交点时,求m的取值范围.

(1) 如图①所示.
(2)-10 解析:令$y=0$,则$0=x+10$,解得$x=-10$.$\because$ 函数$y=$$x+10$关于直线$x=m$的“V 型函数”图象与 x 轴只有一个交点,$\therefore m=-10.$
(3) 在等腰$\mathrm{Rt} △ OCB$中,点$C(-12,0)$,$\therefore OC=12$,$\therefore$ 点$B(-6,6)$,$\therefore$ 直线 OB 的表达式为$y=-x$. 解方程$x+10=-x$,得$x=-5$. 由(2)知直线$y=x+10$与 x 轴的交点为$(-10,0)$,当$-10 ＜ m ＜ -5$时,函数$y=x+10$关于直线$x=m$的“V 型函数”图象与$△ OCB$的边只有两个交点;$\because$ 直线$y=x+10$与$△ OCB$的边已经有两个交点,$\therefore$ 函数$y=x+10$关于直线$x=m$的“V 型函数”图象与$△ OCB$的边不能再有交点,即函数$y=x+10$关于直线$x=m$的“V 型函数”图象与 x 轴的交点(较靠左的一个)在点$C(-12,0)$的左侧. 如图②.$\because C(-12,0)$与点$(-10,0)$关于直线$x=-11$对称,$\therefore m=-11$时,函数$y=x+10$关于直线$x=m$的“V 型函数”图象经过点$C(-12,0)$,$\therefore$ 当函数$y=x+10$关于直线$x=m$的“V 型函数”图象与$△ OCB$的边只有两个交点时,m 的取值范围为$-10 ＜ m ＜ -5$或$m ＜ -11.$