一、选择题
1.(2024·温州)把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分(B为长方形),再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中,记一张A纸片的面积为$S_1$,一张B纸片的面积为$S_2$,若$S_1 - S_2 = 10$,则图2中阴影部分面积为 ()


A.10
B.12
C.14
D.16

1.C 解析:设这张正方形纸片边长为p,B的长为a,宽为b,则$S_1=p^2-ab,S_2=ab$,又由题图2中为正方形,得$p+2b=p-b+p$,即$p=3b$。又因为$S_1-S_2=10$,所以$9b^2-ab-ab=10$,即$9b^2-2ab=10$,① 故题图2中阴影面积为$S_{阴影}=(p+2b)^2-2p^2=p^2+4b^2+4pb-2p^2=4b^2+12b^2-9b^2=7b^2$,又由题图2易知$a=p-b=2b$,② 由①②得$b^2=2$,所以$S_{阴影}=14$。故选C。

2.(2025·玉环)如图,在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形,构造了一个大正方形ABCD,并画出阴影部分图形。现将阴影部分图形面积记作$S_1$,每一个边长为b的小正方形面积记作$S_2$,若$S_1=4S_2$,则$\frac{a}{b}$的值是 （）

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{7}$
D.$\frac{4}{7}$

2.A 解析:由已知,可得$S_1=$正方形ABCD的面积$-$空白部分面积$=(a+2b)^2-\frac{1}{2}b^2×2-\frac{1}{2}a(2b+a)-\frac{1}{2}(a+b)·(a+b)=a^2+4ab+4b^2-b^2-ab-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b^2-ab=\frac{5}{2}b^2+2ab,S_2=b^2$。又因为$S_1=4S_2$,所以$\frac{5}{2}b^2+2ab=4b^2$,即$4a=3b$,所以$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$。

3.(2025·慈溪)如图,正方形ABCD和长方形EFGH的面积相等,点E,F分别在边AB,BC上,FG过点D,连结DH,三角形DGH的面积为1。若记AE长为x,CF长为y,当x,y的值发生变化时,下列代数式的值不变的是
()

A.$x+y$
B.$xy$
C.$x^2+y^2$
D.$\frac{x}{y}$

3.B 解析: 如图,连结DE,CE,并设AB=a。易得三角形DGH的面积+三角形DEF的面积$=\frac{1}{2}·$长方形EFGH的面积,三角形EDC的面积$=\frac{1}{2}·$正方形ABCD的面积,故由题意,得三角形DGH的面积+三角形DEF的面积=三角形EDC的面积。又因为三角形EDC的面积+三角形EFC的面积=三角形DEF的面积+三角形DFC的面积,所以三角形DGH的面积=三角形DFC的面积$-$三角形EFC的面积$=\frac{1}{2}· ay-\frac{1}{2}y(a-x)=\frac{1}{2}ay-\frac{1}{2}ay+\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}xy$。又因为三角形DGH的面积为1,所以$\frac{1}{2}xy=1$,即$xy=2$。故选B。

4.(2024·诸暨)在长方形ABCD(AB＞AD)内,将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片(a＞b),按图1、图2、图3三种方式放置(图2与图3中有重叠部分),长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图1中阴影部分的面积为$ S_1 $,图2中阴影部分的面积为$ S_2 $,图3中阴影部分的面积为$ S_3 $。当$ b=1 $时,$ S_2=S_3 $;当$ a=2,b=1 $时,$ S_2+S_3=2S_1+1 $。所以AB的长度为。

4.$\frac{7}{2}$ 解析:由题意,得$\begin{cases} S_1=AB· BC-a^2-2b^2, \\ S_2=AB· BC-b^2-a^2+ab-b· BC, \\ S_3=AB· BC-a^2+ab-b· AB。 \end{cases}$
由当$b=1$时,$S_2=S_3$和当$a=2,b=1$时,$S_2+S_3=2S_1+1$,分别得$\begin{cases} AB=BC+1, \\ BC+AB=6。 \end{cases}$故解得$AB=\frac{7}{2}$。