5.(2025·常山)如图,将边长分别为2,3,5的正方形GBIR,AFNE,CJQH放置在长方形ABCD内,阴影部分的面积分别为$S_1,S_2$,若$S_1=S_2$,则长方形ABCD的周长是。

5.26 解析:设$AB=x,AD=y$,则$FG=AB-AF-GB=x-3-2=x-5$,$PF=AD-QJ=y-5$,$PN=FN-PF=3-(y-5)=8-y$,$QP=AF+QH-AB=3+5-x=8-x$,故由$S_1=S_2$,得$(x-5)(y-5)=(8-y)(8-x)$,即得$x+y=13$,所以长方形ABCD的周长是$2(AB+AD)=2(x+y)=26$。

6.(2025·杭州上城)四张正方形纸片ABCD,BEFG,GFHI,CKJI如图放置,使得D,C,K三点共线。设正方形ABCD,正方形CKJI的面积分别为$S_1,S_2$。
(1)若$AB=5,BE=3$,则阴影部分的面积=。
(2)若阴影部分的面积与三角形$JFH$的面积差为5,则$S_1+S_2=$。

6.(1)$\frac{19}{2}$ (2)20 解析:(1)阴影部分的面积=三角形ACG面积+三角形AFG面积$=\frac{1}{2}×5×2+\frac{1}{2}×3×3=\frac{19}{2}$。
(2)设$AB=a,BE=b$,则$CI=IJ=HF+FE-AB=2b-a$,$CG=AD-BG=AB-BE=a-b$,所以由阴影部分的面积与三角形JFH的面积差为5,得$\frac{1}{2}(a-b)a+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}b[b-(2b-a)]=5$,化简,得$a^2+2b^2-2ab=10$,故$S_1+S_2=a^2+(2b-a)^2=a^2+4b^2+a^2-4ab=2(a^2-2ab+2b^2)=2×10=20$。

7.(2025·嵊州)图1是把两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片放置在长方形内,图2是把两个边长为b的正方形纸片和一个边长为a的正方形纸片放置在长方形内,阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分。设图1中阴影部分面积为$S_1$,图2中阴影部分面积为$S_2$。若$AB=m,a-b=\frac{m}{10}$,则$S_2 - S_1=\underline{\hspace{2em}}$(用含m的代数式表示)。

7.$\frac{m^2}{10}$ 解析:设$BC=n$,则$S_1=(m-a)(n-b)+(n-2a)(m-b)$,$S_2=(m-b)(n-a)+(n-2b)(m-a)$,所以$S_2-S_1=(m-b)(n-a)+(n-2b)(m-a)-[(m-a)(n-b)+(n-2a)(m-b)]=(m-b)[(n-a)-(n-2a)]+(m-a)·[(n-2b)-(n-b)]=(m-b)a+[-(m-a)b]=ma-ab-bm+ab=(a-b)m$。因为$a-b=\frac{m}{10}$,所以$S_2-S_1=\frac{m^2}{10}$。

三、解答题
8.(2025·台州路桥)如图,正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b,其中a大于2b。
(1)若$a=6,b=2$,求阴影部分的面积。
(2)请用含a,b的代数式表示阴影部分的面积。
(3)若图中空白部分的面积比阴影部分的面积大2.5,且a,b为整数,求a的值。

8.解: (1)如图,延长AD,GF交于点E。易得阴影部分的面积=长方形ABGE的面积$-$三角形ABD的面积$-$三角形BCF的面积$-$三角形DEF的面积$=(6+2)×6-\frac{1}{2}×6^2-\frac{1}{2}×6×2-\frac{1}{2}×(6-2)×2=20$。
(2)由(1),得阴影部分的面积为$(a+b)a-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b(a-b)=a^2+ab-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2$。
(3)空白部分的面积=三角形ABD的面积+三角形BCF的面积$=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}ab$。故由题意,得$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2+2.5$,整理,得$(a-b)b=5$。因为a,b为正整数,且a大于2b,所以$\begin{cases} a-b=5, \\ b=1。 \end{cases}$即$\begin{cases} a=6, \\ b=1。 \end{cases}$故a的值为6。