9.(2024·湖州吴兴、长兴)
【问题情境】在综合实践课上，老师组织同学开展了探究角与角的数量关系的数学活动，如图1，$AB// CD$，$G$，$E$是直线$AB$上的两点，连结$CE$，$DG$交于点$F$。
【探索发现】(1)判断$∠ CDG$，$∠ EFD$和$∠ CEG$之间的数量关系，并说明理由。
【深入探究】如图2，过点$D$作$DH⊥ CE$，交$CE$的延长线于点$H$，交$AB$于点$K$，过点$E$作$EM$分别交$DF$，$CD$于点$M$，$N$。
(2)若$DF$平分$∠ CDH$，$∠ MEF=\frac{1}{3}∠ GEF=\frac{1}{3}∠ GDH$，求$∠ DME$的度数。
(3)如图3，在(2)的条件下，将三角形$KHE$绕着点$E$以每秒$5°$的速度逆时针旋转。旋转时间为$t$，当边$KE$与射线$EG$重合时停止，则在旋转过程中，当边$HK$与三角形$MEG$的某一边平行时，直接写出此时$t$的值。

9.(1)解:$∠EFD=∠CDG+∠CEG$。理由如下:$∠EFD=180°-(180°-∠BGD-∠CEG)=∠BGD+∠CEG$。因为$AB// CD$,所以$∠CDG=∠BGD$,所以$∠EFD=∠CDG+∠CEG$。
(2)解:因为$AB// CD$,所以$∠HCD=∠GEF$。因为$∠MEF=\frac{1}{3}∠GEF=\frac{1}{3}∠GDH$,所以$∠GEF=∠GDH$。因为DF平分$∠CDH$,所以$∠HDC=2∠GDH=2∠GEF$。因为$DH⊥CE$,所以$∠HCD+∠HDC=90°$,所以$3∠GEF=90°$,所以$∠GEF=30°$,所以$∠MEF=\frac{1}{3}∠GEF=10°$,所以$∠GEM=∠GEF+∠MEF=40°$,$∠GDC=∠GDH=30°$。因为$AB// CD$,所以$∠EGD=∠GDC=30°$,所以$∠DME=180°-(180°-∠EGD-∠GEM)=∠EGD+∠GEM=70°$。
(3)$t=6 \mathrm{ s},12 \mathrm{ s},20 \mathrm{ s}$。 解析:由(2)可得$∠HEK=∠C=30°$,$∠HKE=∠HDC=60°$,$∠H=90°$。设三角形EHK旋转后的三角形为三角形$EH'K'$,点H,K的对应点为$H',K'$。①当$K'H'// GM$时,延长$H'K'$交AB于点I,示意图如图1。所以$∠H'IE=∠EGM=30°$。又因为$∠H'=∠EHK=90°$,所以$∠H'EI=60°$,所以$∠H'EH=60°-∠HEK=30°$,所以$t=\frac{30°}{5°}=6(\mathrm{s})$;②当$H'K'// EG$时,示意图如图2。所以$∠GEK'=180°-∠K'=120°$,所以$∠GEH'=∠GEK'-∠H'EK'=120°-30°=90°$,所以$∠HEH'=∠GEH-∠GEH'=(180°-∠HEK)-90°=150°-90°=60°$,所以$t=\frac{60°}{5°}=12(\mathrm{s})$;当$H'K'// EM$时,示意图如图3。所以$∠H'EM=∠H'=90°$,所以$∠H'EG=90°-∠GEM=90°-40°=50°$,所以$∠H'EH=180°-∠H'EG-∠HEK=180°-50°-30°=100°$,所以$t=\frac{100°}{5°}=20(\mathrm{s})$。综上所述,$t=6 \mathrm{ s}$或$12 \mathrm{ s}$或$20 \mathrm{ s}$。