登录
2.如图,小明试图用这个方法推导圆面积公式,请帮助他完成推导过程。(4分)
答案
2.三角形的高为r,底为$2×π×r$。因为三角形的面积=底×高÷2=$2×π×r×r÷2=πr^2$,所以圆的面积公式是$πr^2$。
解析
【分析】
推导圆面积公式时，可运用转化思想：将圆分割成若干个同心圆，沿半径剪开后展开成近似三角形的图形，该图形的面积与圆的面积相等。接下来确定这个近似三角形的底和高，再利用三角形面积公式计算，即可推导出圆的面积。
【解析】
把圆分割成足够多的同心圆，沿半径剪开后展开，得到近似三角形的图形。这个三角形的高等于圆的半径$ r $，三角形的底等于圆的周长，即$ 2π r $。
根据三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}×底×高 $，代入底和高计算：
$ S=\frac{1}{2}×2π r×r=π r^2 $，因此圆的面积公式为$ π r^2 $。
【答案】
圆的面积公式为$π r^2$
【知识点】
圆面积推导、三角形面积公式
【点评】
本题通过剪拼转化的方法，将未知的圆面积转化为已知的三角形面积推导，体现了转化的数学思想，帮助理解圆面积公式的由来。
【难度系数】
0.6
推导圆面积公式时，可运用转化思想：将圆分割成若干个同心圆，沿半径剪开后展开成近似三角形的图形，该图形的面积与圆的面积相等。接下来确定这个近似三角形的底和高，再利用三角形面积公式计算，即可推导出圆的面积。
【解析】
把圆分割成足够多的同心圆，沿半径剪开后展开，得到近似三角形的图形。这个三角形的高等于圆的半径$ r $，三角形的底等于圆的周长，即$ 2π r $。
根据三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}×底×高 $，代入底和高计算：
$ S=\frac{1}{2}×2π r×r=π r^2 $，因此圆的面积公式为$ π r^2 $。
【答案】
圆的面积公式为$π r^2$
【知识点】
圆面积推导、三角形面积公式
【点评】
本题通过剪拼转化的方法，将未知的圆面积转化为已知的三角形面积推导，体现了转化的数学思想，帮助理解圆面积公式的由来。
【难度系数】
0.6
五、解决问题(共20分)
1.开心果商店购进20箱梨,购进梨的箱数是橘子的$\frac{5}{6}$,商店购进了多少箱橘子?(4分)
1.开心果商店购进20箱梨,购进梨的箱数是橘子的$\frac{5}{6}$,商店购进了多少箱橘子?(4分)
答案
1.$20÷\frac{5}{6}=24$(箱) 答:商店购进了24箱橘子。
解析
【分析】首先明确题目中的数量关系，将商店购进橘子的箱数看作单位“1”，已知购进梨的箱数是橘子的$\frac{5}{6}$，且梨的箱数为20箱，属于“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题，需用除法计算，即梨的箱数除以对应分率$\frac{5}{6}$，即可得到橘子的箱数。
【解析】$20÷\frac{5}{6}=20×\frac{6}{5}=24$（箱）
答：商店购进了24箱橘子。
【答案】24箱
【知识点】分数除法应用题；单位“1”的确定
【点评】本题是分数除法的基础应用题，核心是找准单位“1”，理解“已知部分量和对应分率，求单位‘1’的量用除法”的数量关系，难度较低，适合巩固分数除法的应用。
【难度系数】0.6
【解析】$20÷\frac{5}{6}=20×\frac{6}{5}=24$（箱）
答：商店购进了24箱橘子。
【答案】24箱
【知识点】分数除法应用题；单位“1”的确定
【点评】本题是分数除法的基础应用题，核心是找准单位“1”，理解“已知部分量和对应分率，求单位‘1’的量用除法”的数量关系，难度较低，适合巩固分数除法的应用。
【难度系数】0.6
2.小青记录了自己班5名同学的跳远成绩，170 cm记为0 cm，记录数据如下表，这5名同学的平均成绩是多少？（单位：cm）（4分）
答案
2.$170+(30-5+10-5+0)÷5=176$(cm) 答:这5名同学的平均成绩是176 cm。
解析
【分析】要计算5名同学的平均成绩，需先理解表格中记录的成绩是相对于基准数170cm的差值，因此先求出这5个差值的平均数，再加上基准数170cm，就能得到平均成绩。具体步骤为：先计算所有差值的和，再除以5得到平均差值，最后将平均差值与基准数相加。
【解析】1. 计算5名同学成绩的差值总和：$30 + (-5) + 10 + (-5) + 0 = 30$；
2. 计算平均差值：$30 ÷ 5 = 6$；
3. 计算平均成绩：$170 + 6 = 176$（cm）。
【答案】176 cm
【知识点】平均数计算、正负数应用
【点评】本题结合实际跳远场景，考查正负数的意义和平均数的计算，利用基准数法简化运算，属于基础应用题，核心是理解记录数据与基准数的关系。
【难度系数】0.6
【解析】1. 计算5名同学成绩的差值总和：$30 + (-5) + 10 + (-5) + 0 = 30$；
2. 计算平均差值：$30 ÷ 5 = 6$；
3. 计算平均成绩：$170 + 6 = 176$（cm）。
【答案】176 cm
【知识点】平均数计算、正负数应用
【点评】本题结合实际跳远场景，考查正负数的意义和平均数的计算，利用基准数法简化运算，属于基础应用题，核心是理解记录数据与基准数的关系。
【难度系数】0.6
3.有很多相同的椅子叠放在一起，一把椅子的高度是51 cm，5把椅子叠加的高度是75 cm，10把椅子叠放在一起的高度是多少？（4分）
答案
3.$(75-51)÷(5-1)=6$(cm) $51+6×(10-1)=105$(cm) 答:10把椅子叠放在一起的高度是105 cm。
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确叠放椅子的高度变化规律：1把椅子高度为51cm，5把椅子高度为75cm，先算出5把比1把多的椅子数量和对应的高度差，从而得到每多叠1把椅子增加的高度，再据此计算10把椅子的总高度。
【解析】
1. 计算5把椅子比1把椅子多的数量：$5 - 1 = 4$（把）
2. 计算5把椅子比1把椅子多的高度：$75 - 51 = 24$（cm）
3. 求出每多叠1把椅子增加的高度：$24 ÷ 4 = 6$（cm）
4. 计算10把椅子比1把椅子多的数量：$10 - 1 = 9$（把）
5. 计算10把椅子的总高度：$51 + 6×9 = 51 + 54 = 105$（cm）
【答案】
105 cm
【知识点】
实际问题中的数量关系、规律计算
【点评】
本题是叠放物体高度的典型应用问题，核心是通过已知条件找到叠放时的高度变化规律，再利用规律求解，考查学生分析和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先明确叠放椅子的高度变化规律：1把椅子高度为51cm，5把椅子高度为75cm，先算出5把比1把多的椅子数量和对应的高度差，从而得到每多叠1把椅子增加的高度，再据此计算10把椅子的总高度。
【解析】
1. 计算5把椅子比1把椅子多的数量：$5 - 1 = 4$（把）
2. 计算5把椅子比1把椅子多的高度：$75 - 51 = 24$（cm）
3. 求出每多叠1把椅子增加的高度：$24 ÷ 4 = 6$（cm）
4. 计算10把椅子比1把椅子多的数量：$10 - 1 = 9$（把）
5. 计算10把椅子的总高度：$51 + 6×9 = 51 + 54 = 105$（cm）
【答案】
105 cm
【知识点】
实际问题中的数量关系、规律计算
【点评】
本题是叠放物体高度的典型应用问题，核心是通过已知条件找到叠放时的高度变化规律，再利用规律求解，考查学生分析和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.5
